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随机有限元法介绍.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.35M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    第 7 章 随机有限元法 §7.1 绪论 结构工程中存在诸多的不确定性因素，从结构材料性能参数到所 承受的主要荷载，如车流、阵风或地震波，无不存在随机性。在有限 单元法已成为分析复杂结构的强有力的工具和广泛使用的数值方法 的今天，人们已不满足精度越来越高的确定性有限元计算，而设法用 这一强有力的工具去研究工程实践中存在的大量不确定问题。随机有 限元法（Stochastic FEM）,也称概率有限元法（Probabilistic FEM） 正是随机分析理论与有限元方法相结合的产物，是在传统的有限元方 法的基础上发展起来的随机的数值分析方法。 最初是 Monte-Carlo 法与有限元法直接结合，形成独特的统计有 限元方法。Astill 和 Shinozuka（1972）首先将 Monte-Carlo 法引入 结构的随机有限元法分析。该法通过在计算机上产生的样本函数来模 拟系统的随机输入量的概率特征，并对于每个给定的样本点，对系统 进行确定性的有限元分析，从而得到系统的随机响应的概率特征。由 于是直接建立在大量确定性有限元计算的基础上，计算量极大，不适 用于大型结构，而且最初的直接 Monte-Carlo 法还不是真正意义上的 随机有限元法。但与随后的摄动随机有限元法（PSFEM）相比，当样 本容量足够大时，Monte-Carlo 有限元法的结果更可靠也更精确。 结构系统的随机分析一般可分为两大类：一类是统计方法，另一 类是非统计方法。因此，随机有限元法同样也有统计逼近和非统计逼 1
    近两种类型。前者通过样本试验收集原始的数据资料，运用概率和统 计理论进行分析和整理，然后作出科学推断。这里，样本试验和数据 处理的工作量很大，随着计算机的普及和发展，数值模拟法，如蒙特 卡罗（Monte Carlo）模拟，已成为最常用的统计逼近法。后者从本 质上来说是利用分析工具找出结构系统的（确定的或随机的）输出随 机信号与输入随机信号之间的关系，采用随机分析与求解系统控制方 程相结合的方法得到输出信号的各阶随机统计量的数字特征（如各阶 原点矩或中心矩）。 在 20 世纪 70 年代初， Cambou 首先采用一次二阶矩方法研究线 弹性问题。由于这种方法将随机变量的影响量进行 Taylor 级数展开， 就称之为 Taylor 展开法随机有限元（TSFEM）。Shinozuka 和 Astill （1972)分别独立运用摄动技术研究了随机系统的特征值问题。随后， Handa（1975）等人在考虑随机变量波动性时采用一阶和二阶摄动技 术 ，并 将这 种 摄动 法 随机 有限 元 成功 地 应用 于框 架 结构 分 析。 Vanmarcke 等人（1983）提出随机场的局部平均理论，并将它引入随 机有限元。局部平均理论是用随机场函数在每一个离散单元上的局部 平均的随机变量来代表该单元的统计量的近似理论。Liu W. K.等人 （1986、1988）的系列工作，提供了一种“主模态”技术，运用随机 变量的特征正交化方法，将满秩的协方差矩阵变换为对角矩阵，减少 计算工作量，对摄动随机有限元法的发展做出贡献，此外，提出了一 个随机变分原理。 Yamazaki 和 Shinozuka(1987)创造性地将算子的 Neumann 级数展 2
    开式引入随机有限元的列式工作。从本质上讲，Neumann 级数展开方 法也是一类正则的小参数摄动方法，正定的随机刚度矩阵和微小的随 机扰动量是两个基本要求，这两个基本要求保证了摄动解的正则性和 收敛性，其优点在于摄动形式较简单并可以得到近似解的高阶统计 量。Shinozuka 等人（1987）将随机场函数的 Monte-Carlo 模拟与随 机刚度矩阵的 Neumann 级数展开式结合,得到具有较好计算精度和效 率的一类 Neumann 随机有限元列式（称 NSFEM）。Benaroya 等（1988） 指出，将出现以随机变分原理为基础的随机有限元法来逐渐取代以摄 动法为基础的随机有限元法。Spanos 和 Ghanem 等人（1989，1991） 结合随机场函数的 Karhuen-Loeve 展式和 Galerkin（迦辽金）射影 方法建立了相应的随机有限元列式，并撰写了随机有限元法领域的第 一本专著《随机有限元谱方法》。 国内对随机有限元的研究起步较晚。吴世伟等人（1988）提出随 机有限元的直接偏微分法及相应的可靠度计算方法。陈虬、刘先斌等 人（1989、1991）提出一种新的随机场离散模型，建立了等参局部平 均单元，并基于变分原理研究了一类随机有限元法的收敛性和误差 界。 Papadrakakis(1995)采用预处理共轭梯度法给出了空间框架的 非 线 性 随 机 有 限 元 列 式 。 Schorling 和 Bucher(1996) 基 于 Monte-Carlo 技术，采用响应面法研究几何非线性时的可靠度随机有 限元方法。刘宁（1996）则基于偏微分法，给出了三维弹塑性随机有 限元列式。随机有限元法的数学理论研究和非线性随机问题的有限元 3
    分析工作还有待深入。 自 20 世纪 80 年代以来，随机有限元法已在工程结构可靠性、安 全性分析领域以及在各种随机激励下结构响应变异研究领域中得到 应用，如应用于大型水利工程的重力坝、拱坝的可靠度计算；应用于 非线性瞬态响应分析；结构振动中随机阻尼对响应的影响；结构分析 的随机识别；复杂结构地震响应的随机分析和两相动力系统的随机模 拟等等。随着理论研究的深入，随机有限元将得到更加广泛的应用。 §7.2 随机有限元的控制方程[22] 从随机有限元控制方程的获得来看，随机有限元可分为 Taylor 展 开法随机有限元（TSFEM）、摄动法随机有限元(PSFEM)以及 Neumann 展开 Monte-Carlo 法随机有限元（NSFEM）。 ● Taylor 展开法随机有限元 该随机有限元法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机 变量均值点处进行 Taylor 级数展开（取一阶或二阶），经过适当的数 学处理得出所需的计算方程式。有限元静力分析控制方程的矩阵形式 为: KU = F (7.2.1) 式中,U 为位移矩阵，F 为等效节点荷载列阵，K 为整体刚度矩阵 K   B e T DBdv (7.2.2) 其中，B 为形变矩阵,D 为材料弹性矩阵。在计算出节点位移 U 后，即 由下式求得应力列阵σ σ= DBU (7.2.3) 4
    设 基 本 随 机 变 量 为 X  ( XX , 1 ,  , nX T ) 2 ， 将 位 移 U 在 均 值 点 X  ( XX , 1 ,  , 2 T nX ) 处一阶 Taylor 级数展开，并在两边同时取均值 （数学期望），得   XUUE     1 FK (7.2.4) 式中：符号 E[·]表示求均值，任一结点位移 U 的方差可由下式计算：  UVar   n n  i 1  j 1  U  X  i  U  X  j XX  Cov ( XX  XX , i ) j (7.2.5) 式中：符号 Var[·]表示求方差；Cov(Xi,Xj)为 Xi 和 Xj 的协方差。 其中 U  X  i  X  i  K (1  F  X  i  D  X  i BU   U i K  X  UDB  X  i ) (7.2.6) (7.2.7) 同样将σ在均值点处 Taylor 展开，也有与上面类似的表达式。可 见，TSFEM 关键在于对有限元方程式直接进行偏微分计算，计算出有 限元输出量对随机变量的梯度，故该法也称直接偏微分法或梯度分析 法。 由于一阶 TSFEM 只需一次形成刚度矩阵，也只需一次求刚度矩阵 的逆，因此效率较高。但由于忽略了二阶以上的高次项，使 TSFEM 对 随机变量的变异性有所限制。一般要求一阶 TSFEM 随机变量的变异系 数小于 0.3。如果随机变量的变异系数较大，可以采用有限元控制方 程的二阶 Taylor 展开： 2 U  XX  i j 1   K     2 F  XX  i j  K  X  i U  X  j  K  X  i U  X  j  2 K  XX  i j U     (7.2.8) 5
    2  XX  i j  2 D  XX  i j BU  D  X  i UB  X  j  D  X  j  UB  X  i  DB 2 U  XX  i j (7.2.9) 上式可见，二阶 TSFEM 可以放宽随机变量变异性大小的限制，但随机 变量数目较多时，计算量将十分庞大，而且一阶或二阶 TSFEM 均无法 计算响应量三阶以上的统计特性。 由于 TSFEM 简单明了、效率高，为我国许多学者所采用。 ● 摄动法随机有限元 摄动技术最初被用于非线性力学分析。Handa 等人成功地将一阶、 二阶摄动技术用于随机问题，给出摄动法有限元列式。该法假定基本 随机变量在均值点处产生微小摄动，利用 Taylor 级数把随机变量表 示为确定部分和由摄动引起的随机部分，从而将有限元控制方程（非 线性的）转化为一组线性的递推方程，求解得出位移的统计特性，进 而求出应力的统计特性。 假设 i 为随机变量 iX 在均值点 iX 处的微小摄动量，即  i X  i X 。 i 于是 KK  0  n  i 1   i K    i  1 2 n  i , j  j 1  i 2 K    i j (7.2.10) 对于 U、F，也有类似上式 K 的表达式，式中：K0、U0、F0 分别为 K、U、 F 在随机变量均值点的值。根据二阶摄动法，可得 FK 0 1  0 0 U  KU     i 1  0    KUF       i i  0    (7.2.11) (7.2.12) 6
    2 U    i j  1  K 0     2 F    i j  U 0 2 UK K      i j KU         i j i j 由上式可得位移的均值和协方差：  UUE    1 2 n  i 1  1  n j n U  ijCov (  j , i )   UCov  n n  i 1  n j 1  n  UU i  j ( Cov  j , i )  EUU  jk  i (  k j i ) n n  i 1  j 1  k 1   n n  j 1  k 1  l 1  i 1   EUU  kl  ij (  l () E () E E  ( ) k k j i l j i      ) (7.2.13) (7.2.14) (7.2.15) 由于任何量的随机性都可以引入摄动量，而且更易于考虑非线性 问题，因此 PSEFEM 适用范围较广，对于结构几何特性的随机性（包 括随机边界问题）易得出随机有限元控制方程。一阶 PSFEM 和一阶 TSFEM 一样，只需一次形成刚度矩阵、一次对刚度矩阵求逆，计算效 率较高。但 PSFEM 需以微小的摄动量为条件，一般应小于均值的 20% 或 30%。 ● Neumann 展开 Monte-Carlo 随机有限元 20 世纪 80 年代后期，Shinozuka 等人提出基于 Neumann 展开式的 随机有限元法，使 Monte-Carlo 法与有限元法较完美地结合起来。 Monte-Carlo 法是最直观、最精确、获取信息最多、对非线性问题最 有效的计算统计方法。Neumann 展开式的引入是为了解决矩阵求逆的 效率问题。如果对每一次随机抽样，只需形成刚度矩阵，进行前代、 回代以及矩阵乘和矩阵加减，而无需矩阵分解，则可大大减少工作量。 在一般有限元控制方程 KU = F 中，假定荷载 F 为确定值，在随机 变量波动值的影响下刚度矩阵 K 分解为 K = K0+ΔK，根据 Neumann 级 数展开，有 7
    K - 1=(K 0+Δ K) - 1=(I-P+P 2-P 3+… )K 0 - 1 (7.2.16) 式中：K0 为随机变量均值处的刚度矩阵；ΔK 为刚度矩阵的波动量；I 为单位矩阵。对于 Monte-Carlo 随机抽样，刚度矩阵只改变ΔK 项， 而 P = K0 -1ΔK U0 = K0 -1F (7.2.17) (7.2.18) 将式（7.2.16）代入式（7.2.1），并利用式（7.2.17）和式（7.2.18）， 得 U = U 0-PU 0+P 2U 0-P 3U 0+… (7.2.19) 令 Ui=PiU0，则得如下的递推公式： U = U 0+U 1+U 2+… Ui=-K0 -1ΔKUi-1 (i=1,2,3,…) (7.2.20) (7.2.21) 由式（7.2.18）求出 U0 后，可由式（7.2.21）求出 Ui(i=1,2,3,…)。 上述三种方法中，NSFEM 可以方便地调用确定性有限元的计算程 序，而 TSFEM 在编程上较为复杂，PSFEM 则更为复杂。由于采用 Monte-Carlo 随机模拟技术，NSFEM 不受随机变量波动范围的限制， 当变异系数小于 0.2 时，NSFEM 与一阶 TSFEM 或一阶 PSFEM 精度相当； 当变异系数大于 0.2 时，后两者已不能满足精度要求，但 NSFEM 仍能 得出满意的结果。 §7.3 随机场的离散模型 许多物理现象和物体系统具有随机分布特性，包括系统本身的不 确定或系统的激励和响应的不确定，都可以模型化为随机空间分布的 8
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