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2018重庆高考文科数学真题及答案.doc
2018 重庆高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．
i 2 3i
A． 3 2i
2．已知集合
A
A． 3
B． 3 2i
，
1,3,5,7
B
B． 5
C． 3 2i
D． 3 2i
2,3,4,5
，则 A B
3,5
C．
D．
1,2,3,4,5,7
3．函数
f x
x
e
x
e
2
x
的图像大致为
4．已知向量 a ， b 满足|
| 1a ，
a b
1
，则 (2
a
a b
)
A．4
B．3
C．2
D．0
5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率
为
A． 0.6
6．双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
B． 0.5
C． 0.4
D． 0.3
1(
a
0,
b
的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
0)
A．
y
2
x
B．
y
3
x
C．
y
2
2
x
D．
y
3
2
x
7．在 ABC△ 中，
cos
C ，
2
5
5
BC ，
1
AC ，则 AB
5
A． 4 2
8．为计算
S
1
1
2
1
3
B． 30
1
1
1
99 100
4
C． 29
D． 2 5
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
开始
N
T
0,
0
1i
是
i
100
否
N N
1
i
1
1
T T
i
A．
i
C．
1
i
3
i
i
S N T
S输出
结束
B．
i
i
i
D．
2
i
4
9．在正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中， E 为棱 1CC 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切
值为
A． 2
2
10．若 ( )
f x
A． π
4
B． 3
2
C． 5
2
cos
x
sin
x
在[0,
]a 是减函数，则 a 的最大值是
B． π
2
C． 3π
4
D． 7
2
D． π
11．已知 1F ， 2F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 1
PF
PF ，且
2
PF F
1
2
60
，
则 C 的离心率为
1
A．
3
2
12．已知 ( )
f x 是定义域为 (
B． 2
3
的奇函数，满足 (1
)
f
,
C． 3 1
2
x
)
D． 3 1
f
(1
．若 (1) 2
，则
x
)
f
f
(1)
f
(2)
f
(3)
f
(50)
A． 50
B．0
C．2
D．50
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。、
13．曲线 2ln
y
x
在点 (1, 0) 处的切线方程为__________．
14．若 ,x y 满足约束条件
≥
≥
0,
0,
则 z
x
x
x
2
2
5
5
y
3
y
0,
≤
的最大值为__________．
x
y
15．已知
tan(
α
5π
4
)
，则 tan α __________．
1
5
16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30 ，若 SAB△
的面积为 8 ，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，已知 1
a ， 3
7
S ．
15
（1）求{ }na 的通项公式；
（2）求 nS ，并求 nS 的最小值．
18．（12 分）
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回
归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1, 2,
,17 ）建立模型①：
ˆ
y
30.4 13.5
t
；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1, 2,
, 7 ）建
立模型②： ˆ
y
99 17.5
t
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12 分）
如图，在三棱锥 P ABC
中，
AB BC
2 2
，
点．
PA PB PC AC
，O 为 AC 的中
4
（1）证明： PO 平面 ABC ；
（2）若点 M 在棱 BC 上，且
MC MB
2
，求点 C 到平面 POM 的距离．
20．（12 分）
设抛物线
4
C y
x：
2
|
AB ．
| 8
的焦点为 F ，过 F 且斜率为 (
k k 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，
0)
（1）求 l 的方程
（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
21．（12 分）
已知函数
f x
3
x
a x
2
1
3
．
x
1
（1）若 3
a ，求 ( )
f x 的单调区间；
（2）证明： ( )
f x 只有一个零点．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x
y
2cos ,
θ
4sin
θ
（ θ 为参数），直线 l 的参数方
程为
cos ,
1
α
x
t
sin
2
y
α
t
（ t 为参数）．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设函数 ( ) 5 |
f x
x a
|
|
x
．
2 |
（1）当 1a 时，求不等式 ( )
f x ≥ 的解集；
0
（2）若 ( )
f x ≤ ，求 a 的取值范围．
1
绝密★启用前
一、选择题
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．A
8．B
9．C
10．C
11．D
12．C
二、填空题
13．y=2x–2
14．9
15．
3
2
16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15．
由 a1=–7 得 d=2．
所以{an}的通项公式为 an=2n–9．
（2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y=–30.4+13.5t上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很
好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额
有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据
建立的线性模型 y$ =99+17.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到
的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说
明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）因为 AP=CP=AC=4，O为 AC的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= 2 3 ．
连结 OB．因为 AB=BC= 2
2
AC ，所以△ABC为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB=
1
2
AC =2．
由 2
OP OB
2
2
PB
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM．
故 CH的长为点 C到平面 POM的距离．
由题设可知 OC=
1
2
所以 OM= 2 5
3
，CH=
AC =2，CM=
OC MC
，∠ACB=45°．
2
3
sin
OM
BC = 4 2
3
ACB
= 4 5
5
．
所以点 C到平面 POM的距离为 4 5
5
．
20．解：
（1）由题意得 F（1，0），l的方程为 y=k（x–1）（k>0）．
设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
1)
由
y
y
(
k x
2
4
x
得 2 2
k x
(2
k
2
4)
x
2
k
．
0
2
16
k
16 0
，故
x
1
x
2
4
2
2
2
k
k
．
所以
AB
AF
BF
(
x
1
1)
(
x
2
1)
4
2
2
4
k
k
．
由题设知
4
2
2
4
k
k
，解得 k=–1（舍去），k=1．
8
因此 l的方程为 y=x–1．
（2）由（1）得 AB的中点坐标为（3，2），所以 AB的垂直平分线方程为
y
，即
3)
2
(
x
y
x ．
5
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
y
0
x
0
(
x
0
2
1)
5
，
(
y
0
x
0
2
2
1)
16.
x
解得 0
y
0
3
x
，
或 0
2
y
0
11
，
6.
因此所求圆的方程为
(
x
2
3)
(
y
2
2)
16
或
(
x
11)
2
(
y
2
6)
144
．
21．解：
（1）当 a=3 时，f（x）=
1
3
3
x
2
3
x
3
x
，f′（x）= 2
x
3
6
x
．
3
令 f′（x）=0 解得 x= 3 2 3
或 x= 3 2 3
．
当 x∈（–∞， 3 2 3
）∪（ 3 2 3
，+∞）时，f′（x）>0；
当 x∈（ 3 2 3
， 3 2 3
）时，f′（x）<0．
故 f（x）在（–∞，3 2 3
），（ 3 2 3
，+∞）单调递增，在（ 3 2 3
，3 2 3
）
单调递减．
（2）由于 2
x
3
2
x
x
x
2
3)
x
2
1)
x
3
a
0
．
1
≥0，仅当 x=0 时 g ′（x）=0，
x ，所以 ( )
1 0
f x 等价于
0
设 ( )g x =
2
x
3
x
x
3
a
1
，则 g ′（x）=
2
(
x x
2
(
x
2
所以 g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多
有一个零点．
又 f（3a–1）=
2
6
a
2
a
1
3
6(
a
1
6
2
)
零点．
综上，f（x）只有一个零点．
22．解：
，f（3a+1）=
0
1
6
1
3
，故 f（x）有一个
0
（1）曲线 C 的直角坐标方程为
2
x
4
．
1
2
y
16
y
当 cos
0 时， l 的直角坐标方程为 tan
x
2 tan
，
当 cos
0 时， l 的直角坐标方程为 1x ．
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程
(1 3cos
2
)
t
2
4(2cos
sin )
t
．①
8 0
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以①有两个解，设为 1t ， 2t ，则
t
1
t ．
0
2
t
又 由 ① 得 1
t
2
4(2cos
1 3cos
sin )
2
k
tan
．
2
23．解：
（1）当 1a 时，
( )
f x
， 故 2cos
sin
， 于 是 直 线 l 的 斜 率
0
4,
2
x
2, 1
2
x
x
x
x
6,
1,
2,
2.
可得 ( )
f x 的解集为{ | 2
．
3}
0
x
x
（2） ( ) 1
f x 等价于|
x a
|
|
x
．
2 | 4
而|
x a
|
|
x
，且当 2
x 时等号成立．故 ( ) 1
f x 等价于|
2 |
2 |
a
|
a ．
2 | 4
由|
a 可得
2 | 4
a 或 2
a ，所以 a 的取值范围是 (
6
, 6]
[2,
)
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