长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？ 【问题提出】 日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍 微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。试从数学的角度加以解释。 【模型假设】 为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形。 （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角 度看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件。 （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 地面是相对平坦的。因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰 (即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。 【建立模型】 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有 拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生 本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到 一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转 180o 度后，椅子仍在原地。 把长方形绕它的对称中心O 旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度 q这一变量就表示了椅子 的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 如下图所示，设椅脚连线为长方形 ABCD ，以对角线 AC 所在的直线为 x轴，对称中心O 为原点，建 立平面直角坐标系。 

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度 q后，长方形 ABCD 转至 1 1 1 A BC D 的位置，这样就可以用旋转角 1 q(0<=q<=p)表示出椅子绕点O 旋转 q后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。 由于椅子在不同的位置是 q的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是 q的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是 q的函数．而由假设（3）可知，椅 子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的 q，其函数值至少有三个同时为 0 。因此， 只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形 ABCD 是中心对称图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转 180o 后，长方形位置不变，但A ,C 和 B , D 对换了。因此，记 A 、B 两脚与地面竖直距离之和为 ( )f q ，C 、 D 两脚与地面竖直距离之和为 ( )g q ，其中 [ pÎ ]0, q ，从而将原问题数学化。 数学模型：已知 ( )f q 和 ( )g q 是 q的非负连续函数，对任意 q，f(q0)*g(q0)=0，证明：存在 q 0 pÎ 0, [ ， ] 使得 ( ) f q 0 = g q ( ) 0 = 成立。 0 【求解模型】 如果 ( ) f 0 g= 0 ( ) = ，那么结论成立。 0 如果 ( )0f 与 ( )0g 不同时为零，不妨设 ( )0 f > ， ( )0 g 0 = 。这时，将长方形 ABCD 绕点O 逆时针旋 0 转角度 180o 后，点 A , B 分别与C , D 互换，但长方形 ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知， f ( ) p = g ( )0 ， ( ) 0f = g p ( ) 。而由 ( )0 f > ， ( )0 g 0 = ，得 ( ) 0 f p = ， ( ) 0 g p > 。 0 令 ( ) q h = f q - ( ) 又 ( ) h 0 = f 0 - ( ) g q ( ) ，由 ( )f q 和 ( )g q 的连续性知 ( )h q 也是连续函数。 g 0 ( ) > ， ( ) h p 0 = f ( ) p - g ( ) 0 p < ，,根据连续函数介值定理，必存在 q 0 Î ( 0, p ) 使 得 ( )0 h q = ，即 ( ) q 0 f 0 = g q ( ) 0 ； 又因为 f(q0)*g(q0)=0，所以 ( ) f q 0 = g q ( ) 0 = 。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 0 【评注】 用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键。本模型的巧妙之处就在于用变量 q表示椅子的位 置，用 q的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离。运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地 面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳。