2007年江苏扬州大学数学分析考研真题.doc

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2007 年江苏扬州大学数学分析考研真题 1、用极限定义求下列极限: 2) lim n n  n 3) lim 1 x  x  2 x    1 x  n x  n 4) x 1 sin   x ) . 1) 2 lim n n n ! lim (sin x  2、计算: 1)  dx (1 x ) x 2) sin  1 1  2 x x dx 3)  0 xe 2 cos xdx 4) 1  0 (1  2 )nx dx 3、有理数 r 满足 2 r  , 利用确界定义求这些有理数 r 所形成集合的上下确界. 2 4、证明: 若 lim n x n   , 则 x lim n  x 1  x 2 x n    n  , 并举例说明反之不成立. x 5、证明函数 ( ) f x      1 x 0, x  0 2 x sin , x  0 有不连续的导函数.

6、设函数 ( ) f x 在(   内定义且在 0 x  处连续, 对所有的 ,x y ,有 ) , ( f x  y )  ( ) f x  ( ) f y , 证明: ( ) f x 在 (   内一致连续. ) , 7、设函数 ( ) f x 在(   上连续, 方程 ( f ) , ( )) f x x 有解, 则方程 ( ) f x x 有解. 8、设函数 ( ) f x 在[ , ]a b 上有二阶连续导数, 且 ( f a b  2 ) 0  , 设 M  sup | [ , ] x a b  ( ) | f x . 证明: | b  a ( ) f x dx |  ( M b a  24 3 ) . 9、设函数 ( ) f x 在[0, ) 上连续, 证明: 1) 若 ( ) 0, f x  x   , 则函数 [0, ) x    ( ) x  0 x 0 tf f ( ) t dt ( ) t dt 递增; 2) 若函数 ( ) f x 递减, 则函数   ( ) x x 1   x a 0 f ( ) t dt 也递减.

10、设 ,m n 为正整数且其中至少一个为奇数, 证明:  x 2  y 2 2  a m n x y dxdy  0.

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