地理数学方法及其应用.pdf

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书资料大小：4.20M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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地理数学方法及其应用 Mathematical Methods for Geography （2008 年）陈彦光 ◎编著北京大学城市与环境学院

研究生地理数学方法摘要摘要本书面向地理学问题，讲述了常用数学方法的基本原理和应用实例。全书分为五大部分、二十四章。第一部分讲述基本概念和知识，属于基础内容；第二部分讲述相关分析和回归分析，包括线性回归、非线性回归、logistic 回归、虚拟变量回归以及基于回归分析的模型选择等方法；第三部分讲述多元统计分析，包括主成分分析、因子分析和聚类分析等方法；第四部分讲述时空过程分析，包括时（空）间序列分析、Markov 链、R/S 分析等方法；第五部分讲述系统分析，包括线性规划、层次分析法和模糊综合评价等方法。本书作为北京大学研究生地理数学方法教材试用多年，其特点是简明、详细，便于自学者使用。在讲解原理的过程中穿插了大量实例，读者可以通过实例解析了解有关方法的应用要领和分析思路。本书可以供地理学、生态学、环境科学、地质学、经济学、城市规划学等诸多领域的学生、研究人员以至工程技术人员学习或参考。

研究生地理数学方法序言序朋友，您手上的书是陈彦光博士在北大的研究生教材《地理数学方法及其应用》。应他之邀，在卷首写几句我对数量地理的感受，作为序。与今天的高考制度不同，1959 年我通过文科科目加试数学进入北大经济地理专业。当时北大地质地理系基本上用的是前苏联莫斯科大学的教学计划，但是对地理学的理解接受的主要是哈特向的观点，即地理学的性质在于研究区域差异，区域的独特性是地理研究的核心。大一时大名鼎鼎的李同孚先生教我们高等数学（我还是课代表），遗憾的是后面的专业课根本就没有用上数学。每周 6 学时的中国区域经济地理和外国区域经济地理各上了两个学期，是最大的课程。其它的重头戏还有工业地理、交通地理、农业地理等。这些课给了我们比较扎实的地理基础知识，但同学之间也有出于不满足的一种疑问，难道地理学就是描述吗？我们学的数学有什么用？我的毕业论文虽然做得很精心，基本上也没有脱离定性的分析和描述。1964 年大学毕业后，我被留校任教。不料，接着是“四清”和文化大革命，接近十年没有接触业务。直到七十年代，为了配合当时的地理教育革命，北大地理系办过两份油印刊物《地理译丛》（1973－1974）和《城市规划参考资料》（1978－1979），小心翼翼地从欧美、苏联、日本的最新刊物上了解国外地理学动向。结果令教员们大吃一惊，在中国关起门来埋头于阶级斗争的同时，世界的地理学，特别是西方人文地理学已经发生了根本的变革，“计量运动”不仅发生，并已进入尾声，对人文地理学产生了重大的影响。我翻译的三篇文章： “学校教学和城市地理：一些新的方法”，“计算机在地理学中的过去、现在、将来”和“中国城市人口估算”，都与数学方法、运用计算机、提取遥感数据有关，使我立即产生了业务上的紧迫感。1981 年 10 月，香港梁蕲善教授在北大地理系完整开设数量地理学课（当时叫计量地理学）。抓住这个机会，我学了一点数量地理学的皮毛。这门课深深地影响了我，使我在后来的研究里尽量用可被检验的数据和数量分析说话，觉得这样心里才比较踏实；同时也坚定了我通过学术研究寻找规律性的信念。尽管国外其它学派对计量学派有种种非议，展开了大量的争论，但我始终认为，地理学的理论化是必要的，寻找规律的理想是可敬的。关键是对规律的理解。由于人文地理研究对象的特殊性，规律性在尺度上是有层次的，窃以为这可以把不同学派的观点互补融合起来。改革开放以后，我国的数量地理学开始起步，北大在其中起了一定的积极作用。1985 年，以北大杨吾扬教授为首，发起成立了中国地理学会数量地理专业研究组。1986 年 10 月 6－25 日，中国地理学会在武汉举办城市与区域规划动态模型讲习班，研究组副组长北大朱德威先生主讲“地理系统动态模型与系统动态学”，华中工学院邓聚龙教授讲“灰色系统理论、方法与应用”，武汉数字工程研究所吴学谋研究员讲“泛系方法论”。这次讲习班虽然不能与美国 1955 年华盛顿小组的第一个地理学数量方法讨论班相类比，却也算得上中国数量地理普及与发展的一件大事。1993 年数量地理专业组换届，成立由华东师大张超教授领衔的数量地理专业委员会，北大朱德威教授留任副主任委员。朱德威在北大地理系讲授的研究生课《数学在地理学中的应用》在国内盛名远扬。遗憾的是他 1995 年退休以后，居然一时找不到合适的教员，教本科数量地理的教员又出国未归，有好几年北大停开了本科和研究生的数量地理课。我给好几届的学生说过：“没有数量地理学的地理系，不是一流的地理系”。有一年，一位在香港浸会大学地理系任教的朋友，当面向我抱怨：“你们北大来的一个学生，怎么不懂地理数学方法？不会使用 SPSS 软件？! ”这件事深深地刺激我，必须尽快解决这个问题。大约在 1996/97 年，河南信阳师范学院陈彦光的名字引起我的关注，发现他经常在刊物上发表数量地理的论文，很多与城市地理有关。大概是缘分，不久我们有了直接接触。我很 - 1 -

研究生地理数学方法序言快认定这一位既出身地理又擅长数学的思想活跃的年轻人，是北大地理系所需要的人才。双方经过许多艰苦的努力，2001 年，他正式在北大攻读博士学位，同时兼任研究生地理数学方法的教学工作，实现了我“复活”北大数量地理课的心愿。又经过许多难以想象的曲折，拿到博士学位以后，他终于成了我的北大同事。在北大这个舞台上，他兢兢业业致力于《地理数学方法》的教学，教学效果很好，不仅吸引了许多校外的学生，还赢得不少请教问题的“回头客”。这本书就是他多年辛勤教学的积累。我愿意把这本“建模思想－实例分析－软件操作”融为一体的数量地理学教材推荐给地理界的朋友们。特别对在校的青年学生说一句：此书值得一读。这套教材计划分四册，第一本是数量地理的基本原理和方法，第二本是基于 Excel 的地理数据分析。后面两本分别是基于 Mathcad 的地理数据分析和基于 SPSS 的地理数据分析。这次出版了前面两本，我希望作者趁热打铁，尽快出齐，保持其完整性。陈彦光的专业方向和知识取向是“城市与理论地理学”，数量地理仅是其中侧重于统计分析的一个部分。十余年来他以城市地理学的已有理论为起点，对城市化过程、城乡人口异速生长、城市体系空间结构、城市人口规模分布等传统领域的非线性研究，已经取得了不少进展，在理论深度上有了升华。这些领域过去我接触过，因而有一些直接的感受。此外，作者不时有一些理论思考、新概念、新模型，有时超出我的知识基础，作为导师，我更多的是给他支持，为他提供发展的条件和空间。他还常常呼吁地理学特别是人文地理学的基础理论建设，有时不被人们理解。我知道，他的本意并非要掀掉传统地理学或应用地理学的什么“屋顶”，他的目标不过是希望为理论地理学建设打开一个小小的“窗户”，提醒人们不要忘记上世纪四、五十年代地理在美国一些著名大学面临灭亡的危机。凭我多年来对他的了解，陈彦光是一位有才华的严肃学者，我为他已经取得的成绩而欣慰。希望作者戒骄戒躁，进一步提高综合素质，扩大国内、国际的学术交流，要听得进各种意见，包括不理解的、反对的甚至反对错了的意见，要“闻过则喜”，志存高远，不以国内论短长，朝着世界一流水平继续努力。 2008 年 8 月 28 日撰写，9 月 2 日修改 - 2 -

研究生地理数学方法前言前言西方地理学有两大源流：一是天文－地理学源流，可以追溯到古希腊的埃拉托色尼（Eratosthenes）和托勒密（Ptolemy），到德国洪堡德（Alexander von Humboldt，1769-1858）之后中断，直到计量运动时期才逐步复兴；二是历史－地理学源流，可以追溯到古希腊的希罗多德（Herodotus）和斯特拉博（Strabo），到德国的李特尔（Carl Ritter，1779-1859）那里得到进一步发扬。第一个源流在研究方法上重视数学描述，第二个源流则与数学方法无关。由于德国哲学家康德（Immanuel Kant，1724-1804）的巨大影响，地理学研究的数学传统一度被局限在自然地理学的很小领域，整个地理学被定位在区域描述的学科范畴。当代地理学延续的主要是历史－地理学路线。德国理论地理学家克里斯塔勒（Walter Christaller， 1893-1969）的中心地理论在地理学计量运动之前一直得不到地理界的承认，与当时的地理学传统不无关系。然而，源于历史－地理学源流的区域地理学派在方法论是有别于标准科学的。该学派的鼎盛之日，也是地理学巨大危机潜伏之时。上个世纪五十年代，美国地理学面临着一场灭顶之灾。在这种背景下，地理学的“计量革命”终于爆发。经过十年的努力和发展，计数概念、定量思想在地理界终于深入人心。计量革命在上个世纪六十年代初期基本上就已经结束。但是，继之而起的地理学理论革命却无可奈何地不了了之。一般说来，数学方法应用于一门学科，主要行使两种功能：一是作为观测数据的整理手段，二是构造假设和发展理论的辅助工具。在地理学的计量运动过程中，数学方法作为地理观测数据整理手段的功能被过分夸大，在构造假设、建立模型和发展理论方面却没有取得突破性的进展（R.P. Moss）。理论革命的挫折，导致了数学方法在地理学中的影响逐渐下降。上个世纪七十年代之后，地理学的区域思潮悄然回归。在地理学的计量运动时期，定量地理学派与定性地理学派一度形成严峻对立的两大阵营。但是，到了九十年代的时候，两派敌对情绪逐渐冰释。人们开始重新思考地理学的定性与定量的区别，标志在于如下三个方面。其一，定性地理学家利用计算机程序包展开对访谈文本和其他原始文件进行系统分析方面的兴趣迅速增长。其二，定量地理学家在处理人文地理学问题方面的能力已经准备就绪。一方面，政治、社会和文化问题可以经过量化形成他们进行分析的数据基础；另一方面，他们也开始注重思考自己的发现、地图和其他研究成果中更为广泛的人文意义。其三，理论家和学科史学家较之从前已经能够更为认真地对待地理学定性、定量倾向交替发展的复杂历史——定性－定量的杂合过程构成地理学学科的过去和今天（C. Philo 等）。今天，如果有人还将地理学的定性研究与定量研究对立起来，那其观念就退回到上个世纪七十年代之前了。其实，早在上个世纪六十年代初，就有人喊出了“打倒二分法”的口号。将地理学研究方法简单地定性、定量二元化，就像将地理学研究内容自然、人文二元化一样，对学科有害无益。当代很多的地理学者，其研究是定性、定量有机结合，无法对其进行简单的二元归类。走定性－定量相结合的道路，既是地理学研究的现实特征，也是地理学发展的长远趋势。对于地理专业的学生而言，学习数学方法，不仅是能够掌握一种描述语言和一些分析技巧，更是一种十分重要的思维训练。有人打了一个比方，说数学工具对于科学研究工作者而言，是望远镜和显微镜。没有数学工具，不懂得数学方法，一个勤奋、严谨、聪慧的学者照样能够取得重大科学成就，对那些以实验为研究支撑的领域尤其如此。但是，有了数学工具，就有了显微镜，有了望远镜，可以看得更细，望得更远。达尔文的科学成就可谓登峰造极——他的进化论被誉为影响人类思想的五大学说之一，但他到晚年依然后悔当初没有学习数学工具，恐怕就是意识到自己巨 - 3 -

研究生地理数学方法前言大学术成就背后的思维手段欠缺了。如今时过境迁，与达尔文时代大不相同。今天的科学研究更重视的不是单人皮马的奋斗，而是小组协作、团队创造。对于单个研究人员而言，是否掌握数学方法无关紧要。但是，对于一个团队、一个研究小组，理当具备掌握数学方法的研究成员——知识结构齐备，功能才会更强。至于一个学术共同体，数学方法的重要性更是不言而喻了。作者在课堂上反复强调数学方法的对地理学的重要意义，消息传出，一度一起误解乃至曲解，以为本人强调所有地理工作者都需要掌握数学方法。作者所谓的地理数学方法的重要性，是就整体而言，不是就个体来说，在此顺便澄清。国内许多重点大学如今都打出了创造国际一流大学的旗号，这是一种令人振奋的现象。无论如何，“不想当元帅的士兵不是好士兵”，没有远大目标的高校永远成就不了国际一流高校。然而，理想和愿望毕竟是一厢情愿，关键在于如何创造国际一流。“一流水平”路在何方？将人才源源不断地送到欧洲、送到美国去深造？派人到国际科学中心学习，当然是非常重要而且不可替代的发展途径，但绝对不是唯一的途径，更不是解决问题的根本途径。要知道，我们的科技在历史上也曾一度遥遥领先——西方有学者估计，当今世界上的重要技术，至少有一半起源于中国！作者丝毫无意借助“我的先人比你强”的阿 Q 精神来自我安慰。作者想要说明的一个事实是：地理学的研究对象就在自己的脚下。只有与地球表面的自然和人文系统直接沟通，我们才能进行最原初的创造；只有开展最原初的创造，才有可能领导潮流。如果我们将希望单纯地寄托在欧美，我们只能亦步亦趋、在追随中创造，而难以在创造中引领。西方科学的领先地位，根本上来自与大自然和人类社会的直接沟通和深度思索，而不是派人到更高级的天外文明那里学习的结果。我们要创造一流的大学，就得培养一流的人才。以地理科学为例，培养一流人才，至少要重视如下三个方面。第一，我们的学生要学会直接与地理系统沟通，建立原初的理论和学说。要想与地理系统直接沟通，一方面我们要有切实有效的实验手段，另一方面要掌握研究对象自身的语言。三百多年前，伽利略就曾指出，大自然的语言是数学，其语言构成要素为几何形体。今天看来，地理系统的语言也是数学语言。不了解地理系统的语言，通过观察、实验，同样可以发现很多规律、进行重要的科学创造；但是，如果我们了解它们的语言，就可以与地理系统进行更为有效的交流，从而更好地创造和发展。第二，我们的学生不仅能够发表基于科学“原材料”的简单加工产品，而且有能力发表科学深加工、精加工和“制造品”。我们的研究生、博士生每年都发表大量的 SCI 论文，但大多是基于实验数据和第一手观测资料的、附加值较低的粗加工作品。如果我们能够发展理论，以至有能力提出自己的学说，我们才算有能力发表“高附加值”的科学制造品。在工业中原材料至关重要，在科学中第一手资料绝对重要。但是，如果不具备原材料加工的技术，任何原材料都无法实现高附加值；同样地，如果不具备将第一手资料发展为理论的能力，非常重要的第一手资料都会成为别人创建理论的材料，而不能有效为我所用。千百年年来，数学思维、逻辑推理是一直发展理论的、行之有效的工具。第三，我们的学生必须具备并且发扬自己的比较优势。这既是一个经济学思维的问题，也是一个运筹学思维的问题。一方面，“数学无王者之道”，不下苦功夫绝对掌握不了数学方法。人们大多不愿意通过吃苦耐劳掌握数学方法，如果我们的学生在这方面加大精力的投入，我们较之于西方的学生就有具有强大的比较优势。另一方面，扬长避短，才能出奇制胜。西方的科学大大领先于我们，如果我们用上等马对别人的上等马、下等马对别人的下等马，在竞赛中没有太多取胜的机会。但是，如果我们用上当马对别人的中等马、中等马对别人的下等马，那我们就有了三分之二的胜算。众所周知，西方近现代科学本于两大基础：一是基于系统受控实验的实证道路，二是基于逻辑推理的数学语言。我们在实验条件和设备方面与西方竞赛目前没有太多的胜算，毕竟我们的经济实力、科技投入都无法与西方相提并论。但是，学习数学语言不需要太多的经济投入，只要我们的学生吃苦耐劳、有精力投入就可以实现。培养我们学生的数学思维，才是我们发展科学的比较优势所在。对于地 - 4 -

研究生地理数学方法前言理学而言，这个发展思路意义尤其深远。北京大学一直非常重视地理数学方法的教学工作，由此可见我们的领导早就具备上述远见卓识。正是在这个背景下，这一套《地理数学方法》教材才应运而生。本教材全套四册。第一本是主教材——《地理数学方法及其应用》；与之配套的有三个辅助教材：《基于 Excel 的地理数据分析》、《基于 Mathcad 的地理数据分析》和《基于 SPSS》的地理数据分析。教学内容的遴选遵循如下三个标准。其一是通用性质。由于本书属于方法性的教材，主要讲述普遍适用的数学方法，如回归分析、多元统计分析、时间序列分析以及优化与评价方法等。学习这些方法之后，我们的学生不仅掌握了本学科的一些研究工具，同时可以了解相关学科的研究手段。其二是基本需要。如前所述，数学工具的应用有两大功能：一是观测数据的整理，二是构造假设、发展理论。考虑到绝大多数学生的发展目标是应用研究，观测数据的整理功能对他们而言更为现实。因此，本教材着重是将数学工具作为观测数据的整理手段来进行课程安排的。对构造假设、建立模型的数学思维和方法，书中涉及不多。其三是技术支持。要有现成的、流行的计算机软件支持课本中的教学内容。本书的基本方法在电子表格 Excel 里就可以开展工作，复杂的数学计算可以借助于数学软件 Mathcad，大型的统计分析可以借助于统计软件 SPSS。掌握了 Excel、Mathcad 和 SPSS，可以方便而快捷地完成教学计划中的各种计算过程。对于那些非常重要的基础性方法，本教材着重并且优先讲述。以回归分析为例，这种方法看起来似乎简单，但实践中很容易被误用和滥用。实际上，掌握回归分析方法有助于更多数学方法的学习和入门。主成分分析、因子分析、判别分析、时间序列分析（包括自相关、自回归和功率谱分析）、小波分析、神经网络、灰色系统的 GM(1,N)预测分析，如此等等，都可以通过回归分析了解其基本原理。因此，本教材系列实际上是以回归分析为主线，有机安排全部教学内容。从 2001 年开课至今，这一套教材先后在北京大学城市与环境专业经过了七个轮回的教学试验。通过反复修改、多次增删，才发展成为今天的面貌。作者讲授的每一个数学方法，在正式走向课堂之前，都要采用一个相对简明的教学案例，在 Excel 里一步一步完成计算过程。只有能够基于过程分解逐步计算，才算真正掌握了一种数学方法的原理；只有在 Excel 里的计算结果与统计软件 SPSS 自动给出的结果以及与 Mathcad 编程计算的结果彼此吻合无误的时候，作者才敢于课堂讲授这一套方法。对于某个数学方法，如果不能逐步计算出正确的结果，那就意味着还存在作者没有理解透彻的环节，决不能“以其昏昏、使人昭昭”在课堂上轻易讲授。正因为如此，这门课程连续七年总体上获得学生的好评。本教材还有一个特点，那就是不厌其烦地精细讲解。考虑到许多学生的数学基础不是太好，而且很多人没有完整的时间听课学习，本书充分考虑了学生自学的需要，尽可能借助实例深入浅出的展开论述。加拿大天体物理学家 B.H. Kaye 在其《分维漫步（A Random Walk Through Fractal Dimensions）》一书的导言中，一开头就讲述一个故事。有一次一个学生递来两页纸，上面写着 Kaye 第一本中出现的一系列错误的修改意见。事过多年之后，Kaye 的另一部著作即将付梓，依然不能保证书中没有失误，因此特别借助一个西方名言在前言中提醒读者：“如果读者发现错误，请记住‘一个不犯错误的人必然没有任何作为（A man who never made a mistake never made anything）’。”这本教科书在撰写过程中，每一届学生都帮助作者发现许多疏忽和问题。正是在广大学生真诚的帮助下本书才得以尽快地提高质量。现在，本书即将正式出版，作者却无法保证没有失误，只能诚恳地欢迎读者发现问题之后尽快提出批评和指正意见。陈彦光 2008-9-24 - 5 -

研究生地理数学方法目录目录第一篇地理数学方法导论............................................................................................................ 1 第 1 章数学方法的教学意义、内容和目标........................................................................ 1 §1.1 从一个实例讲起..................................................................................................... 1 §1.2 数学：分析工具和思维方式................................................................................. 4 1.2.1 数学是实现效率的工具................................................................................ 4 1.2.2 数学是一种思维方式.................................................................................... 6 §1.3 地理数学方法的教学内容和主要目标................................................................. 8 1.3.1 基本内容........................................................................................................ 8 1.3.2 主要目标........................................................................................................ 9 1.3.3 学习方法...................................................................................................... 10 §1.4 小结........................................................................................................................11 第 2 章基本概念与基础知识.............................................................................................. 12 §2.1 基本概念............................................................................................................... 12 2.1.1 均值.............................................................................................................. 12 2.1.2 方差和标准离差.......................................................................................... 13 2.1.3 协方差.......................................................................................................... 14 2.1.4 极差.............................................................................................................. 14 2.1.5 变异系数...................................................................................................... 15 2.1.6 标准误差...................................................................................................... 15 2.1.7 自由度.......................................................................................................... 15 §2.2 数据标准化........................................................................................................... 17 2.2.1 数据标准化的方法...................................................................................... 17 2.2.2 标准化数据的性质...................................................................................... 18 2.2.3 广义标准化.................................................................................................. 19 §2.3 相关系数与相似系数........................................................................................... 20 2.3.1 相关/似系数的计算公式............................................................................. 20 2.3.2 几何意义和实例.......................................................................................... 21 2.3.3 基于二样本的变量相关系数...................................................................... 24 §2.4 实验和调查数据的处理....................................................................................... 25 2.4.1 平均值代表真实值...................................................................................... 25 2.4.2 平均值代表真实值的数学原理.................................................................. 26 §2.5 数据的缺失与估计............................................................................................... 28 2.5.1 无交互作用双因素方差分析...................................................................... 28 2.5.2 数据补缺实例.............................................................................................. 30 §2.6 变量的分类........................................................................................................... 32 2.6.1 变量分类系统之一...................................................................................... 32 2.6.2 变量分类系统之二...................................................................................... 32 §2.7 小结....................................................................................................................... 33 第二篇回归分析与相关分析.................................................................................................. 35 第 3 章问题的产生与理论的发展...................................................................................... 35 i

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