论文研究-多移动机器人的分布式编队与避障控制 .pdf-资料库

多移动机器人的分布式编队与避障控制1 http://www.paper.edu.cn 陈杨杨，田玉平东南大学自动化学院, 南京 (210069) E-mail： yptian @seu.edu.cn 摘要：本文主要针对含有非完整约束的多移动机器人系统，讨论了多机器人的分布式编队控制问题。通过连续时变状态反馈控制方法和图论知识，设计了一种能够实现机器人编队的队形控制律，利用位置相关的势能函数的避障控制律使得机器人与其相邻机器人和外界障碍物不发生碰撞，仿真说明了这两种控制律的有效性。关键词：多移动机器人系统，分布式编队控制，非完整移动机器人中图分类号：TP24 1．引言近些年来，多移动机器人系统的分布式控制已经成为国际控制界一个热点。分布式控制的成功，使得以前单个机器人难以完成的任务，现在可以由多个机器人通过信息交互来实现。在此类问题控制中，多移动机器人的分布式编队控制因不需要中央控制和全局信息，引起广大研究者的兴趣。由于分布式编队控制系统中的机器人只能通过有限的传感能力和单向通讯能力来实现编队，这就给控制带来了巨大的挑战。一致性问题原是计算机科学中的一个历史问题，但最近它在多移动机器人的分布式控制中得到新的深入的研究。Olfati-Saber和Murray[7]利用有向强连通图解决了单积分器网络的平均一致问题。Ren[1]根据有向图的邻接矩阵的特征值分析了二阶积分模型下的多机器人位置一致性和速度一致性的问题。同时，文章还指出在有向连通图的单积分网络模型下的多机器人系统一致性的充分必要条件不一定能沿用到二阶积分模型多机器人一致控制中。 Tanner[4]利用连通图和局部控制律使得非完整约束的机器人的速率和方向渐进达到一致。过去的 20 年中，很多研究者在不考虑机器人本身动力学的情况下对多机器人的编队控制问题作了大量的工作，并已经取得了一些成果。Fax 和 Murray[9]利用有向强连通图的 Laplacians 矩阵设计了多机器人的编队控制器。Olfati-Saber[3]位置势能函数来实现多智能体的群体控制。但是，实际中的机器人是一个含有非完整约束的系统，如何利用上述控制方法来设计含有非完整约束的多机器人分布式编队控制律才是工程应用领域的研究者关心的问题。目前，针对含有非完整约束的多机器人系统的分布式编队控制问题的研究甚少。对于非完整约束的移动机器人，根据 Brockett 关于渐进反馈镇定系统的必要条件的限制[8]，使得此类系统不存在可微（甚至连续）的时不变的纯状态反馈控制使其稳定到一点。Lin[2]和 Yamaguchi[6]采用时变状态反馈控制方法，通过平均化方法分析了多机器人达到任意队形的充要条件。多移动机器人的编队控制中，避障是一个非常关键的问题。机器人的避障包括运动过程中机器人间的躲避以及躲避外界环境中的障碍物。[1,2,9]的编队控制中没有考虑避障问题。虽然[6]加入了避障控制，但是避障控制是不连续的，避障效果如何也没有理论分析。Tanner[4] 利用位置势能函数实现了智能体间的避障，但是避障势能不是有限的，这显然与实际不符。 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20040286004），国家自然科学基金（项目编号：60425308， 60673058）资助，863 项目（项目批准号：2006AA04Z263），江苏省自然科学基金（项目批准号：BK2006097）的资助。 -1-

http://www.paper.edu.cn 为了克服这个缺陷，Olfati-Saber[3]和 Chang[5]分别利用有限避障势能函数和有限避障作用力来设计多智能体的避障控制。对含有非完整约束的多移动机器人系统分布式编队控制问题，只有运动过程中机器人间不发生碰撞并能绕开外界障碍物，多机器人系统才能最终实现编队控制。所以本文在控制过程中，将编队控制分成两个子问题：队形控制问题和避障控制问题。由于移动机器人是一个典型的非完整系统，机器人的控制采用时变状态反馈控制的方法，与[2]和[6]所不同的是控制的模型是机器人的动力学模型。此外，利用[3]中有限势能函数的思想来设计避障控制律，实现运动过程中机器人间不发生碰撞并能绕开外界障碍物。 2．模型及问题描述 2.1 移动机器人模型在多机器人系统中，具有非完整约束的移动机器人的动力学方程为： x cos =⎧ υ θ i i i ⎪ y sin υ θ = ⎪⎪ =⎨ i i i θ ω i i ⎪ =⎪ v a i i ω τ = ⎪⎩ i i (1) i , [ z = x y i 其中进的方向， iw 是机器人角速度的大小。 ia 和 iτ 分别是控制力矩和转矩。为机器人i 重心在平面上的坐标， iυ为重心平移的线速度的大小， iθ为前 ]T i 2.2 通信拓扑 } V N 运动在同一平面的机器人间通信关系可用有向图表示。视机器人为图中的节点，它们间 ) ，队形控制的信息流用有向边表示，则多机器人间的队形关系可以表示为有向图其中 { = … 为机器人的集合， E 表示有向边的集合。如果在有向队形图中节点i 存 1, 在有向边到达节点 j ，这就意味着机器人i 可以接收机器人 j 的信息，机器人 j 是机器人i 相 ∈ 表示。我们假设 iNα 是时不变的，即信息流邻节点，相邻节点集合可以用拓扑是静态的。如果图中其他所有节点都可以通过有向路径到达节点i ，则节点i 被称为全 E∈ 。 A )A∆ 是一个对角矩阵，对角线上的元素为对应 − ，其中 ( 局可达节点。有向队形图的邻接矩阵定义为 iia = 且 1 ija = 当( ⎤ ⎦ ，满足 G V E ) A A a⎡ = ⎣ ij iN α = } E = ∆ i j , ,i j { ( L = 0 ) ( ) ( , , Laplacian 矩阵定义为节点的出度。 2.3 障碍描述和避障势能函数 z − 机器人在运动过程中的障碍物包括两类，一类是相邻的机器人，一类是外界环境中的障碍物。令 sd 为机器人检测障碍物的传感器的检测范围，当机器人 j 与机器人 i 的距离 ≤ 时，机器人 j 被机器人i 视为一个障碍物，由于各个机器人的 sd 是相同的，机 z 器人 i 也被机器人 j 视为障碍物。这样机器人 i 的相邻机器人障碍物的集合可以表示为 ≤ 。[3]引入动态虚拟机器人 kz 来描述与机器人相邻外界障碍物 kO ， kz 是 N β = i z i − d d z s s j i j } { -2-

http://www.paper.edu.cn kO 边缘上的一点，满足 z 的距离 k − z i 物集合可以表示为 = z k x O ∈ k argmin x z − ，如图 1 所示。当动态虚拟机器人与机器人i i ≤ 时，外界障碍物 kO 为机器人i 一个相邻障碍物，机器人i 相邻外界障碍 jb 描述机器人与障碍物的邻接关系，其中 ≤ 。令 ,i N γ = i z i − d d z k s s { } i V∈ ， j N ∈ Nβ i ∪ 。由 [3] ，我们可以得到 ,i z jb 是关于 j i γ − z i σ 的连续函数，当 z j − z i ≤ d σ s σ i jb = ，其中 1 时 , z = σ 1 ε ⎡ ⎢ ⎣ 1 + ε z 2 − ⎤ 1 ⎥ ⎦ ( ε > 0 ) 。 ky ka ky [ [ sd [ [ sd z v , k k z v , i i T ] ] T z v , k k z v , i i T ] ] T 图 1 外界障碍物 Fig1 Outside obstacles [3]还具体给出了动态虚拟机器人位置和速度的具体形式。对于墙形障碍物，记障碍物表面上一点 ky 的单位法向量为 ka ， ir 为机器人i 的运动方向的单位向量，动态虚拟机器人的位置 kz 和速度 kυ （2）为 Pz = + = z ) I P y − , υ k Pv r i i ( k k i 其中 P I αα T k = − k 。对于球心为 ky 半径为 kR 球形障碍物，虚拟机器人的位置 kz 和速度 kυ 为 y ( ) 1 µ υ µ + − k y z − ， Pv r , i i P I αα T k k = − = k k i 。（3） i k k k k z y − R k 其中 α = − ， z µ = i ) y ( z z µ= i 类似[3]，避障作用力定义为 ( ( 其中 z 表示机器人与障碍物间的距离， ( ) z z σ = φ= ∫ σ= 1 z ( ) ψ β z ( ) φ β b i j , d 1 z s σ z d − ) ) 1 − （4） s σ 1 + 。有限避障势能函数定义为 2 z s ds ( ) β 。（5） 2.4 问题的描述根据机器人自己和相邻机器人以及外部环境设计分布式编队控制律，使得多机器人能够 -3-

http://www.paper.edu.cn 在运动中实现并保持队形，机器人与相邻的机器人之间不发生碰撞，并能绕开外界的障碍物到达目的地。考虑到机器人只有在运动中不与障碍物发生碰撞，才能保证机器人完成队形并且最终到达目的地，所以，我们将分别设计队形控制律来完成多机器人系统的队形控制和避障控制律来实现机器人即不与相邻的机器人之间发生碰撞，也不与外界的障碍物发生碰撞。 3．多移动机器人分布式编队控制律设计 3.1 队形控制律设计 r t ( ) i 考虑到移动机器人只能在垂直于车轴方向上运动，令 ( ) t 表示机器人i 的运动方向的单位向量。多机器人系统期望的几何队形为 [ = 将[2]的队形控制律推广到动力学模型，则得到： ∑ j N ∈ i α t sin( ) a z z h z h r k − − + ⋅ + ij 2 k υ =− + i 1 ( r T υ υ υω i i ) r r ⋅ − i i i a z ( ) ij ⎡ = ⎣ ∑ cos ( ) j N ∈ i α a i r j − h ( ( ) j j i i i j i τ = − i ( θ i r r ⊥ = 。 T i 其中 1 0 2 , 0 k k > 的常数, 本文将目的地 Dz 视为多机器人系统中的一个虚拟机器人，记为机器人 1，即 1 z z= ， h = 。注意该机器人并不是中心控制器，既不能向其他所有机器人广播信息也不 D i T ,sin ) h h 2, 1 ( θ i ,..., ⎤ ⎦ T ) ( ) t ] h n 。 rr T i i − ) 1 r i ⊥ (6a) (6b) 0υ = ， 1 1 能接收其他机器人的信息。 0 3.2 避障控制律设计避障控制律设计为如下形式其中 iuβ和 iuγ为机器人间以及与外界障碍物不发生碰撞的避障控制，具体形式如下 a u r i i i t sin( ) τ = − i uβ= + (7a) (7b) u β i = φ β ∑ j N ∈ i β u γ i = ∑ j N ∈ i γ φ β ( ( z j − z i ) σ n r ⋅ + i i j , k 3 b i , j ( r υ υ i i − r j j ∑ j N ∈ i β z j − z i ) ) σ n r ⋅ + i i j , k 4 b i j , ∑ j N ∈ i γ ( r υ υ i i − j ) ) ⋅ r i ⋅ r i （8）（9） 1 + ε z − z 2 。 = ( z − z ) k k > 常数，向量 0 , n i , i j j 4 其中 3 一方面，如果机器人不能绕过所有的外界障碍物或者运动过程中发生了与相邻机器人的 t > 之后，碰撞，多机器人系统的就无法实现编队。另一方面，如果我们假设在有限的时间 1 没有障碍物会进入机器人的避障传感器的范围之中，问题就变成了单纯的队形控制问题了。利用如下的规则，我们可以利用队形控制律（6）和避障控制律（7）来实现多机器人队 0 j i 形控制分布式控制。规则：如果检测到有障碍物；则避障控制律（7）控制机器人； -4-

没有检测到障碍物；则队形控制律（6）控制机器人； 4．仿真结果 http://www.paper.edu.cn z = 1 ] 3.0,2.0 T 以下全部的仿真中，目的地 [ iυ = ，初始方向为 ( )0 0.5m 的直线上，机器人的初始速度 (0) 0 ， [ ] iω = 。队形向量为 [ 0,0 T h = − h = 2 1 ， [ ] [ 0.17,0.99 T h = h = − 5 7 θ i ， [ ] 0.69, 0.32 T h = − 3 ， [ h = 8 − ] 0.56,0.77 T 度 (0) 0 ， 1 π= − ] 0.81,0.24 T ] 0.79,0.33 T rad 2.0 ， [ h = − 4 ， [ h = 9 0υ = 。机器人都初始位于 5 y = 间隔为，初始角速 ] 0.63,0.71 T ] 0.72, 0.25 T − ，安 ] ， [ 0.27,0.97 T h = 6 m= 0.3 sd 全距离为。多机器人的有向队形图如图 2，期望队形如图 3。图 2 多机器人的有向队形图 Fig.2 Formation digraph for multiple robots 4.1 不存在外界障碍物情况下的编队图 3 多机器人的期望队形 Fig.3 Desired formation for multiple 3.5 3.5 ， 3 k = k = k = ， 4 例 1： 1 1k = ， 2 图 4 为没有外界障碍物的情况下多机器人运动轨迹仿真图，图 5 和图 6 分别为相邻机器人间的距离仿真图和机器人速度仿真图。通过图 4 和图 6 我们可以看出，队形控制律可以实现机器人的编队并且到达目的地。通过图 5 我们可以看出，避障控制律可以相邻机器人间不发生碰撞。 3.5 图 4 机器人运动轨迹仿真图 Fig.4 Movements of Robots 4.2 有外界障碍物情况下的编队仿真图 5 相邻机器人间的距离仿真图 Fig.5 Distances between robots -5-

k = 2 3.5 k = , 例 2： 1 1 半径为0.2m 外界的球形障碍物球心位于[ k = , 3 3.5 , k = 2 4 http://www.paper.edu.cn ] 2.8, 4 T 。图 7 为存在外界障碍物的情况下多机器人运动轨迹仿真图，图 8 和图 9 分别为相邻机器人间的距离仿真图和机器人速度仿真图。通过图 7－图 9 我们可以看出，控制律可以实现机器人的编队并且到达目的地，避障控制律可以使得机器人与相邻机器人以及与外界障碍物不发生碰撞。图 6 机器人速度仿真图 Fig.6 Speeds of robots 图 7 机器人运动轨迹仿真图 Fig.7 Movements of Robots 图 8 相邻机器人间的距离仿真图 Fig.8 Distances between robots 图 9 机器人速度仿真图 Fig.9 Speeds of robots k = 2 3.5 k = , 例 3： 1 1 半径为0.2m 外界的球形障碍物球心分别位于[ k = , 3 3.5 , k = 2 4 ] 1.5,3.5 T 和[ ] 4.8,3.5 T 图 10 为存在外界障碍物的情况下多机器人运动轨迹仿真图，图 11 和图 12 分别为相邻机器人间的距离仿真图和机器人速度仿真图。通过图 10－图 12 我们可以看出，当存在多个外界障碍物情况下，控制律依然可以实现多机器人的编队与避障控制。 5．总结本文主要针对含有非完整约束的多移动机器人系统分布式编队控制，考虑到只有在运动过程中机器人间不发生碰撞并能绕开外界障碍物时多机器人系统才能最终实现编队，我们分别设计了队形控制律来实现多机器人的编队以及避障控制律来完成机器人的避障。最后通过 Matlab 仿真验证了控制律的有效性。要指出的如何设计控制律同时包括队形控制和避障控 -6-

制来实现多机器人的分布式编队控制是一个今后值得研究的课题。 http://www.paper.edu.cn 图 10 机器人运动轨迹仿真图 Fig.10 Movements of Robots 图 11 相邻机器人间的距离仿真图 Fig.11 Distances between robots 图 12 机器人速度仿真图 Fig.12 Speeds of robots -7-

http://www.paper.edu.cn 参考文献 [1] W. Ren, E. Atkins, Distributed Multi-vehicle Coordinated Control via Local Information Exchange, Int. J. Robust Nonlinear Control, 2007, Vol.17, No.10-11, 1002-1033. [2] Z. Y. Lin, B. Francis, M. Maggiore, Necessary and Sufficient Graphical Conditions for Formation Control of Unicycles, IEEE Trans. on Automatic Control, 2005, Vol.50, No.1, 121-127. [3] R. Olfati-Saber, Flocking for Multi-Agent Dynamic Systems: Algorithms and Theory, IEEE Trans. on Automatic Control, 2006, Vol.51, No.3, 121-127. [4] H. G. Tanner, A. Jadbaaie, G. J. Pappas, Flocking in Teams of Nonholonomic Agents, in S. Morse, N. Leonard and V. Kumar (eds.), Cooperative Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences , Vol. 309 Springer, 229-239. [5] D. E. Chang, J. E. Marsden, Gyroscopic Forces and Collision Avoidance, Proc. Of Conference in Honor of A.J.Krener’s 60th Birthday, 2002. [6] H. Yamaguchi, A Distributed Motion Coordination Strategy for Multiple Nonholonomic Mobile Robots in Cooperative Hunting Operations, Robotics and Autonomous Systems, 2003, Vol.43, 257-282. [7] R. Olfati-Saber, R. M. Murry, Consensus Problems in Networks of Agents with Switching Topology and Time-delays, IEEE Trans. on Automatic Control, 2004, Vol.49, No.9, 1520-1533. [8] Brockett. R. W. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. Differential Geometric Control theory, In Differential Geometric Control Theory, Brockett RW, Millman RS, Sussmann HJ (eds). Birkhauser: Boston, MA, U.S.A, 1983, 181–191. [9] A. Fax, R. M. Murry, Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formation, IEEE Trans. on Automatic Control, 2004, Vol.49, No.9, 1465-1476. [10] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 2nd ed. Upper Saddle River. NJ: Prentice-Hall, 1996. Distributed Formation Control of Multiple Nonholonomic Mobile Robots School of Automatic control, Southeast University, Nanjing, PRC (210096) Chen Yangyang, Tian YuPing Abstract This paper deals with the distributed formation control problem of multiple nonholonomic mobile robots. By using smooth time-varying feedback control approach and graph theory, a distributed formation control law is designed, which can achieve formation of a system of multiple nonholonomic mobile robots. Based on potential function, a control law for obstacle collision avoidance is constructed. Simulation results prove the validity of the proposed control laws. Keywords: Multi-agent System, Distributed Formation Control, Nonholonomic Mobile Robots 作者简介：陈杨杨（1981-）男，博士研究生，主要研究方向是多智能体的编队控制；田玉平（1964-）男，教授，博士生导师，从事复杂系统与网络控制的研究。 -8-

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