2012年辽宁高考文科数学试题及答案.doc

发布时间：2022-10-06 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.24M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2012 年辽宁高考文科数学试题及答案注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。  （1）已知向量 a  = (1,—1)，b  = (2, x ).若 a b  = 1,则 x = (A) —1 (B) — 1 2 (C) 1 2 (D)1 【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。【解析】    a b       1, x 2 x 1 ，故选 D （2）已知全集 U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A=｛0,1,3,5,8｝，集合 B=｛2,4,5,6,8｝，则 ( ) C A U  ( C B U ) = (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B 【解析一】因为全集 U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A=｛0,1,3,5,8｝，集合 B=｛2,4,5,6,8｝，所以 AC U    ,9,7,6,4,2 BC U   9,7,3,1,0 ，所以 ) ( AC U  ( BC U ) {7,9}。故选 B 【解析二】集合 ) ( AC U  ( BC U ) 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选 B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。（3）复数 (A) 1 2 【答案】A  1 1 i  1 i 2 (B) 1 2 1 i 2 (C) 1 i (D) 1 i

【解析】 1  i 1  1 i  i  )(1 (1  i )  1 i  2   1 2 i 2 ，故选 A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。（4）在等差数列{ na }中，已知 4 a a =16，则 2 a 8 a 10 = (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。 a 【解析】 4   a 8  ( a 1  3 ) d  ( a 1  7 ) d  2 a 1  10 , d a 2  a 10  ( a 1  d )  ( a 1  a 10  a 4  a 8  ，故选 B 16 2 2  9 ) 2 d a 1   , R f x       - f x 1  - f x 1 - x x 2 1 - x x 2 1   10 , d  - f x 1   <0 0  1 , : p x x     , R f x 2    , R f x 2 （5）已知命题 A．  , x x 1 2  C．  , x x 1 2  2 a     - x x 2 1  0 , x x 1 2  ，则 p 是  , R f x 2  , R f x 2   , x x 1 2   B． D．      - f x 1  - f x 1     - x x 2 1 - x x 2 1    0 <0 【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题. 【解析】全称命题的否定形式为将 “  ” 改为 “  ”，后面的加以否定，即将 “  f x x x  ”改为“  f x ”，故选 C. <0  - f x 1  - f x 1 - x x 2 1   0         - 2 2 1 2 （6）已知sin   cos  ， (0，π)，则sin 2= 2 (A)  1 (B)  2 2 (C) 2 2 (D) 1 【命题意图】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。【解析】  sin   cos    2, (sin )   cos  2   2, sin 2  1,   故选 A （7）将圆 2 x  2 y  2 x  4 y 1 0   平分的直线是（A） x y   1 0 （B） x y   3 0 （C） x y   1 0 （D） x y   3 0 【命题意图】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选 C 21 x 2 （8）函数 y  （A）（1,1]  ln x 的单调递减区间为（B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

【解析】  y  21 x 2  选 B ln , x    y x  1 x , x 由 ≤ ，解得-1≤ ≤1,又 y x 0     0, 0 x ≤1,故（9）设变量 ,x y 满足 - 10 x y     0 + x y     0 y   15 20 ，则 2 +3x y 的最大值为 A．20 B．35 C．45 D．55 【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点  A 5,15  时， 2 +3x y 的最大值为 55，故选 D. （10）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是 (A) 4 (B) 3 2 (C) 2 3 (D) 1 【命题意图】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。此题中数值的周期为 4 【解析】根据程序框图可计算得 s  4, i  1; s   1, i  2; s  s  3 , 2 i  4; s  4, i  5; s   1, i  ，故选 D 6, 2 3 , i  3; （11）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC,CB 的长，则该矩形面积大于 20cm2 的概率为 :(A) 1 6 (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 4 5 【命题意图】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。【解析】设线段 AC 的长为 x cm ，则线段 CB 的长为 ( 12 x )cm, 那么矩形的面积为 x (12 x ) cm2，由 (12 x x )  ，解得 2 20 x  。又 0 10 x  ，所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为 12 2 3 ，故选 C

（12）已知 P,Q 为抛物线 2 x y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，2，过 P,Q 分别作抛 2 物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8 【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。【解析】因为点 P，Q的横坐标分别为 4， 2，代人抛物线方程得 P，Q的纵坐标分别为 8,2. 由 2 x  2 , y y 则  21 x 2 ,   y  x , 所以过点 P，Q的抛物线的切线的斜率分别为 4，2，所以过点 P，Q的抛物线的切线方程分别为 4  y x  8, y   2 x  联立方程组解得 1, y 2, x   4, 故点 A的纵坐标为 4 【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________. 【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为 4、 3、1，圆柱的底面直径为 2，高位 1，所以该几何体的体积为3 4 1       1 1 12    【点评】本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。（14）已知等比数列｛ na ｝为递增数列.若 1a ＞0,且 2( a n  a n  2 ) 5  a n 1  2,则数列｛ na ｝的公比 q = _____________________. 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。【解析】  2( a n  a n  2 ) 5 a  n   1 , 2 (1 a n  2 q ) 5  a q n ,  2(1  q 2 ) 5 q  , q 解得  2 q 或  1 2

a 因为数列为递增数列，且 1  0, q 所以    1, q 2 （15）已知双曲线 2 x 2 y 1  ,点 1 ,F F 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 1PF ⊥ 2PF , 2 则∣ 1PF ∣+∣ 2PF ∣的值为___________________. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知 a  1, c   2, PF 1  PF 2  2 a  2, 2  PF 1  2 PF PF 2 1  PF 2 2  4   PF  1 ( PF 1 , PF  2 ) PF  2 2 2   PF PF 2 1 2 8 4 12,     (2 ) c PF 1 2  8, 2   PF  2  4, PF PF 2 1 2 3 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。（16）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。【解析】点 P A B C D 、、、、为球内接长方体的顶点， O 球心为该长方体对角线的中点， O  OAB 的面积是该长方体对角面面积的， 1 4  AB  2 3, PA  2 6    ， 6 ， PB OABD = 面积 1 4  2 3 6=3 3  【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）(本小题满分 12 分) 在 ABC 中，角 A、B、C的对边分别为 a ，b ， c ，角 A，B，C成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值； (Ⅱ)边 a ，b ， c 成等比数列，求sin sinA C 的值。【命题意图】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。

【解析】（1）由已知 2 = + , + + = , B A C A B C   B ……6 分（2）解法一： 2=b ac ，由正弦定理得 sin sin =sin C A  3 1 = ,cos = B 2 3 4 B = 2 解法二： 2=b ac ， 2 a = cos = B 1 2 所以 = = = A B C  3 ， sin sin = C A 2 + - c b 2 ac 3 4 2 a 2 = 2 + - c ac 2 ac ，由此得 2 a 2+ - = , c ac ac 得 =a c ……12 分【点评】第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。（18）(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ABC A B C  / / / ， BAC  90  ， AB AC  2, AA′=1，点 ,M N 分别为 /A B 和 / /B C 的中点。 (Ⅰ)证明： MN ∥平面 / / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 /A MNC 的体积。  1 3 （椎体体积公式 V= Sh,其中 S 为地面面积，h 为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。 = 【解析】（1）（法一）连结 ', AB AC ，由已知 =90 ,  BAC  AB AC ' ' ' - ' ABC A B C 为直三棱柱，三棱柱所以 M 为 'AB 中点.又因为 N 为 ' 'B C 中点 MN AC ，又 MN  平面 ' A ACC // ' 所以 'AC  平面 ' A ACC ，因此平面 MN // ' ' A ACC ' （法二）取 A B  的中点为 P，连结 MP，NP， ∵ ,M N 分别为 /A B 和 / /B C 的中点， ' ……6 分  ,  ,NP∥面 A ACC ∴MP∥ AA ,NP∥ A C ∴MP∥面 A ACC ∴面 MPN∥面 A ACC ∵ MP NP P ∴MN∥面 A ACC  . ∵MN  面 A ACC (Ⅱ)（解法一）连结 BN，由题意 A N ⊥ B C  ，  ,   ,  ，   ,面 A B C  ∩面 B BCC  = B C  ,

∴ A N ⊥⊥面 NBC， ∴ V  A MNC   V N A MC     =1, = 1 2  B C 1 2 V ∵ A N 1 2 V  N A BC 1 2    1 6 .  A NBC   1 6   A NBC 1 2  V (解法 2) V  A MNC   V  A NBC  V M NBC  【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。（19）(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 10 名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有 2 名女性，若从“超级体育迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率。附 2    ( n n n n n 12 21 11 22 n n n n 2 1 1     2 2 ) ,  P 2 k   k 0.05 0.01 3.841 6.635 【命题意图】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而 2 2 列联表如下：非体育迷体育迷男 30 15 合计 45

女合计 45 75 10 25 55 100 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算，得 ……3 分 2  = -  n n n n n 11 22 12 21 n n n n 1+ 2+ +1 +2 2  100 =   30 10-45 15   75 25 45 55    2  = 100 33  3.030 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6 分 (Ⅱ)由频率分布直方图知，“超级体育迷”为 5 人，从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为  ={{ 1a ， 2a }，{ 1a ， 3a }，{ 1a ， 1b }，{ 1a ， 2b }，{ 2a ， 3a },{ 2a ， 1b }，{ 2a ， 2b }，{ 3a ， 1b }，{ 3a ， 2b }，{ 1b ， 2b }}. 其中 ia 表示男性，i =1,2,3， jb 表示女性， j =1,2.  由 10 个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的，用 A 表示“任选 3 人中，至少有 2 人是女性”这一事件，则 A={{ 1a ， 1b }，{ 1a ， 2b },{ 2a ， 1b }，{ 2a ， 2b }，{ 3a ， 1b }，{ 3a ， 2b }，{ 1b ， 2b }}，事件 A 由 7 个基本事件组成，∴ ( P A  ) 7 10 . 【点评】准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错。（20）(本小题满分 12 分) 如图，动圆 2 1 :C x  2 y 2  t ,1＜t ＜3, 与椭圆 2C ： 2 x 9 2 y 1  相交于 A，B，C，D 四点，点 1 ,A A 2 分别为 2C 的左，右顶点。 (Ⅰ)当t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线 1AA 与直线 2A B 交点 M 的轨迹方程。【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。【解析】(Ⅰ)设 A( 0x ， 0y )，则矩形 ABCD 的面积 S= 4 | x 0 | y ， 0 |

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