框架理论在信号处理中的应用.pdf-资料库

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大连海事大学硕士学位论文框架理论及其在信号处理中的应用姓名：徐天博申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：张运杰20080301

中文摘要摘要傅立叶分析是近代数学各种分支中应用得最广泛的一个分支。自从六十年代中期快速傅立叶变换算法被发现以来，傅立叶分析的应用领域愈益扩大。到今天，几乎一切现代科学技术领域都要用到傅立叶分析方法。但是傅立叶分析本身的局限性也随着傅立叶级数的发展也显得愈发突出。针对这一问题，自20世纪40年代以来，诸如短时傅立叶变换、Gabor展开和分数阶傅立叶变换等新的分析方法被陆续提出。框架概念最早由R．J．Duffin和A．G．Schaeffer于1952年研究非调和傅立叶级数时正式提出的，它在小波分析的发展中起了非常重要的作用。本文讨论了框架的基础理论：提出的分数频傅立叶级数正是对这种J下交性进行的一般化拓展。这种非正交性突破正交性要求下的频率为基频整数倍的限制，使得对信号的处理更加灵活、细致。在本论文中，还提出了问题研究的方向。本文分四章讨论：第一章是预备知识，讨论了有关傅立叶级数、空间、算子以及贝塞尔序列的基础知识，是以后各章必备的基础。第二章在前人工作的基础上从以下几个方面系统地总结了框架的有关理论：l、框架的概念；2、框架与算子、贝塞尔序列的关系；3、对偶框架；4、框架的分解与重构；5、特殊的框架；6、有关框架的其他问题。第三章提出了一维、二维分数阶傅立叶级数的有关概念，并指出了分数阶傅立叶级数在信号处理中的应用；第四章指明了分数阶傅立叶级数的研究方向。

关键词：框架；傅立叶级数；分数频；信号

英文摘要Frame(FractionalFrequencyFourierSeries)AndAppliedInsignalAbstractFourieranalysisisthemostwidely-appliedembranchmentinmodernmathematics．Sincemid1960s’，aperiodofinventingthefastalgorithmofFouriertransform，theinfluencingrangeofFourieranalysishasbeenbeingbiggerandbigger．Tonow，nearlyallfieldsofmodernscienceandtechnologyusethemethodofFourieranalysis．However,itslimitationbecomesmoreextrusivewithitsdevelopment．Since1940s’，manynewmethodshavebeenputforwardandbeenimproved，suchastheSTFT，GaborandtheFRFT．Althoughtheyallmakenewimprovementstheoreticallyandeveninapplications，thedirectanswerstononorthogonalityhasstillnotbeengivenout．FramesthatplayanimportantroleinwaveletanalysiswerefirstlydefinedbyR．J．DuffinandA．G．Schaefferin1952whentheystudiedthenonharmoniousFourierseries．Inthispaper,thetrigonometricserieswithfractionalfrequencyintervals(TSFFI)isproposedjustasauniversaldevelopmentoftheFourierseries(FS)．TSFFIconsistsofsineandcosinefunctionsasFS，butfrequencyintervalsofthetrigonometricfunctionsdon’thavetobeintegers．Therefore，theprocessingofsignalbyTSFFIismoreflexibleandprecise．inthisPaperistoprovideastudydirectionforfurtherresearchintheory．Thisthesisconsistsfourchapters：Thefirstchapterispreparedknowledge，discussedtheFourierseries，space，operatorandthebasicknowledgeofBesselsequence，aftereachchapterisessentialfoundation．ChapterIIonthebasisofpreviousworkfromthefollowingaspects：Frameforsystematicallysummingupthetheory：1．TheconceptoftheFrame；2．Frameandoperator，Besselsequence；3．ThedualFrame；4，．TheFrameofdecompositionandreconstruction；

5，SpecialFrame；6，TheFrameofotherissues．ChapterIIIpresentstheconceptofaone-dimensional，two—dimensionalfractionalFourierseries，andnotedthatfractionalFourierseriesinsignalprocessingapplications；ChapterIVpresentsthespecifiedfractionalFourierseriesresearchdirection．KeyWords：Frame；FractionalFrequencyFourierSeries；Signal

大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：本沦文足在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，撰写成博士／硕士学位论文==框塞堡途区墓查信墨处堡虫的廑恿：：。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：够冲弓月巧同学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。保密口，在——年解密后适用本授权书。本学位论文属于：保密口不保密口(请在以上方框内打“√")论文作者签名：缈导师签名：同期：珊年弓月?夕同

框架理论(分数频傅立叶级数)及其在信号处理中的应用引言小波分析是傅立叶分析发展史上罩程碑式的进展，它是近年来迅速发展起来的新兴学科，它同时具有理论深刻与应用广泛的双重意义。它的应用范围包括数学领域本身的许多学科、信号分析、图像处理、量子力学、电子对抗等许多方面。框架理论是研究小波分析的一个主要工具，框架概念最早由R．J．Duffin和A．G．Schaeffer于1952年研究非调和傅立叶级数时『F式提出的，它在小波分析的发展中起了非常重要的作用，文献126．30j对此作用讨论得非常深刻。从数学的角度理解，框架理论研究的是非调和傅立叶级数拓展；从信号处理的角度理解，研究的是由非J下则样本值tr(t。)}一重构带限信号厂的问题。1986年由Daubechies，GrossmannandMeyer----3,共同撰写的文章123J被认为是一篇罩程碑式的文章，他们发扬了信号处理中超定系统的强大作用，从那时起这个理论有了广泛的发展。目前，人们普遍认为，文献[29-30J是论述框架理论及其应用的比较权威的著作。文献131-33J中对框架的有关概念和结论进行了比较详尽的介绍，特别是文献133J。文献[3s-58J从框架理论的不同角度诠释了其在信号处理中的应用，是本文第3章的重要基础。本文还重点论述了分数频傅立叶级数的有关理论和它在信号处理中的应用。最后，本文指明了所定义的分数频傅立叶级数的研究方向。

第1章预备知识第1章预备知识这一章主要介绍傅立叶级数的发展过程，作为一种『F交函数系的理论指出它存在的一些问题。接着，讨论已有的一些非『F交函数系(Gabor展丌及短时傅立叶变换)和作为对傅立叶级数本身进一步发展的分数阶傅立叶级数。从而比较全面地讨论傅立叶体系的发展进程。对于本文提出的框架理论，实际上是一种非正交理论。对阐明框架理论所需要的相关理论在本章做必要的阐述。1．1傅立叶级数及傅立叶变换的发展1．1．1傅立叶级数及傅立叶变换的成熟过程第一次系统的使用三角级数可以被追溯到1753年Bernoulli关于对振动绳的描述：在一根长度为7／"的绳子上，振动可以表示成：f(x，t)=Asinnxcos(nt一口)(1．1．1)但是由于绳子的一端是被固定住的，这种表示形式需要进一步探讨。1822年，傅立叶通过对圆圈中的热流进行研究，提出了一种新的表达形式：“(五f)：∑N(彳。c。s蹦+J6f。sin船)P膏，(1．1．2)这种表达形式就具有了更一般的特性。此外，他还断言：“任何”周期信号都可以用这样的级数来表示!虽然在这一问题上他的论述是很有意义的，但是，隐藏在这一问题后面的其他很多基本概念已经被其他科学家们所发现；同时，傅立叶的数学证明也不是很完善的。直到1829年，P．L狄罩赫利(P．L．Dirichlet)给出了若干精确的条件。在这些条件下，一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表示。这些条件后来被称作Dirichlet条件。因此，傅立叶实际上并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献。然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上『F是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上研究成果比他的任何前驱者都大大前进了一步。这指的是他还得出了关于非周期信号的表示一一不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成渚波关系的正弦信号从加权积

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