2009安徽考研数学二真题及答案.doc-资料库

2009 安徽考研数学二真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数  f x   x  sin 3 x nx 的可去间断点的个数，则（）  A 1.  B 2.  C 3.  D 无穷多个. 【答案】C 【解析】  f x   3 x x  sin x 则当 x 取任何整数时，  f x 均无意义  故   f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x x 3  的解 0 x 1,2,3 0, 1   lim 0 x  lim 1 x  lim 1 x  3 x x  sin x  3 x x  sin x  3 x x  sin x   lim 0 x   lim 1 x   lim 1 x  2 2 x  1 3 1 x  cos    1 3 2 x  cos    1 3 2 x  cos    x 2   x 故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （2）当  A 0 x  时，  f x 1 6 b 1, b     . 1,  a a  D 【答案】 A ( ) f x 【解析】    x sin ax 与  g x  B a 1, b  1 6 . x  2 ln 1 .   1 6  是等价无穷小，则（） bx   C a   1, b   1 6 .   x sin ( ) ax g x ,  2 x ln (1  为等价无穷小，则 bx ) lim 0 x  ( ) f x ( ) g x  lim 0 x  x 2 sin ax  ln(1 bx  ) x  lim 0 x  x x sin  2 (   ax ) bx 洛 lim 0 x  ax 1 cos a  2 3 bx  洛 lim 0 x  a ax 2 sin 6 bx 

 a  lim 0 x  ax ax 2 sin 6 b  a 1 cos a  2 3 bx  所以本题选 A。 lim 0 x  另外   3 a 6 b  1 3    a 6 b 故排除 ,B C 。 ax 存在，蕴含了1  a cos ax   0 x  故 1. a  排除 D 。 0 （3）设函数 z   , f x y  的全微分为 dz  xdx  ydy ，则点 0,0 （）   A 不是  f x y 的连续点. ,   B 不是  f x y 的极值点. ,  C 是  f x y 的极大值点. ,   D 是  f x y 的极小值点. ,  【答案】  D 【解析】因 dz  xdx  ydy 可得 z  x   x , z  y   y A  z 2 2  x     1, B 2 z  x y    2 z  y x      0, C z 2 2  y   1 又在（0，0）处， z  x   0, z  y   0 AC B 2 1 0   故（0，0）为函数 z  ( , f x y ) 的一个极小值点（4）设函数  f x y 连续，则 ,  2  1 4  x 4  y 1   1  f x y dy  ,  f x y dx  , . . dx dy  A  C 【答案】 2 2 1   C 1 dx 2 x     f x y dy  ,  2  1 dy  4  y y  f x y dx  ,  （） 4  x 2 dx  f x y dy  , . 1 B  D . 2  1 x  dy 2 y   f x y dx  , 【解析】 1   ( , x y 2 dx ) 1 2 x    x D 1  ( , f x y dy ) 2 1     ，  2 dy  y 2 x ) ( , f x y dx  ( , x y  D 2 的积分区域为两部分： ) 1   y 2, y    4 x  y 2, x 将其写成一块 D   ( , x y ) 1   y 2,1    4 x  y

故二重积分可以表示为 2  1 dy 4  y  1 ( , f x y dx ) ，故答案为 C （5）若  f x 不变号，且曲线  y   f x  在点 1,1 上的曲率圆为 2 x 2 y  ，则  f x 在 2  区间 1,2 内（）  A 有极值点，无零点.  B 无极值点，有零点.  C 有极值点，有零点.  D 无极值点，无零点. 【答案】 B 【解析】由题意可知， ( ) f x 是一个凸函数，即 ''( ) 0 x  ，且在点 (1,1) 处的曲率 f  | y ''| (1 (  y 3 2 2 ') )  1 2 ，而 '(1) f   ，由此可得， ''(1) 1 f 2   在[1, 2] 上， '( ) f x f '(1)    ，即 ( ) 1 0 f x 单调减少，没有极值点。对于 (2) f  f (1)  '( ) f       ，（拉格朗日中值定理）  (1, 2) 1 f (2) 0  而 (1) 1 0   f 由零点定理知，在[1, 2] 上， ( ) f x 有零点。故应选（B）（6）设函数 y   f x  在区间 1,3 上的图形为：

( ) f x O 0 -2 -1 1 2 3 x 则函数  F x  x   0 f   t dt 的图形为（） ( ) f x 1 0 -2 -1  A . 1 2 3 x  B . ( ) f x 1 0 -1  C . 【答案】 D ( ) f x 1 0 -2 -1 ( ) f x 1 2 3 x 1 2 3 x 1 0 -2 -1  D . 1 2 3 x 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y  ( ) f x 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x x 所围的图形的代数面积为所求函数 ( )F x ，从而可得出几个方面的特征： 0 ①  x  0,1 时， ( ) 0 F x  ，且单调递减。 ②  x  1,2 时， ( )F x 单调递增。 ③  x  2,3 时， ( )F x 为常函数。 ④  x   1,0 时， ( ) 0 F x  为线性函数，单调递增。

⑤由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为 D 。（7）设 A 、B 均为 2 阶矩阵， * A B，分别为 A 、 B 的伴随矩阵。若 A =2 B =3，，则分 * 块矩阵 0 B    A 0    的伴随矩阵为（）  A .  C .       0 * A 2 0 * 2B 3 * B 0    * 3A 0     B .  D .    0 3A *    0 * 3B * 2B 0    * 2A 0    【答案】 B 【解析】根据CC   C E 若  C  分块矩阵 0 B    A 0    的行列式 0 B A 0  C C C , 1  1  1 C  C 2 2    （） 1 A B    2 3 6 即分块矩阵可逆 0 B     A 0     0 B A 0 0 B     1 A 0     6    0  A 1 1  B 0     6       0 1 A  A 1 B  B 0        6       0 1 2  A 1 3  B 0           0  A 3 2  B 0    （8）设 A P，均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩阵，且 T 1 0 0 P AP= 0 1 0 0 0 2      ，若      P= （，，），（    Q=     ，，），则 Q AQT + 1 1 2 2 3 2 3 为（）  A .      2 1 0 1 1 0 0 0 2       B .      1 1 0 1 2 0 0 0 2     

 C .      【答案】 A 2 0 0 0 1 0 0 0 2       D .      1 0 0 0 2 0 0 0 2      【解析】 Q  (        3   ) ( , , , , 1 2 2 3 1 2 1 0 0   ) 1 1 0   0 0 1        (    3 , , 1 2 ) E 12 (1) ，即：  T (1) Q PE 12 T (1)] [ Q AQ PE  12 1 0 0     (1) 0 1 0     0 0 2   T 21 E  [ A PE 12 (1)]  T E 12 (1)[ T ] P AP E 12 (1) E 12 (1)       1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1                           2 1 0 1 1 0 0 0 2           二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. u 2 du 在（0，0）处的切线方程为  e 1- t 0 ln(2 2 （9）曲线  x=     y   t 【答案】 2 x y 2  t ) 2   t   2 2 t 1  2 t t  1 2   t 1  【解析】所以所以 2 2 t ) e    (1 ) t   ( 1)   2 ln(2 t dy dt dx dt dy dx 切线方程为 2 x 2  y （10）已知 +   k xe dx  1 ,则 k  【答案】 2 1  【解析】    k x e dx  2   0 kx e dx  2 lim  b 1 k kx e b 0 因为极限存在所以 0 k 

2 k 1 0   k   2 （11） 1 lim e 0 n   【答案】0  x sin nxdx  【解析】令 nI    x e sin nxdx   e  x sin  nx n e   x cos nxdx   x  e cos n  nx ne nx sin sin nx  2 1 n  nxdx  lim( n   x e n  所以 I n   即 lim n  1  0  x e sin    lim( n  0  x cos 2 nx n I  n  C cos nx 2 n cos n 2 n n     sin 1 sin 1 nx  x e 1 ) 0 n  1 e  n 2  ) 1 n （12）设 y  ( ) y x 是由方程 xy  ye   确定的隐函数，则 x 1 2 d y dx 2 = x=0 【答案】 3 【解析】对方程 xy  ye   两边关于 x 求导有 x 1 y  ' xy  y ' y e  ，得 ' y 1  1 x   y y e 对 y  ' xy  y ' y e  再次求导可得 ' y 1 2  '' xy  y '' y e  ( y ' 2 ) e y  ， 0 得 '' y   2 ' y y e  x (  ' 2 ) y y e (*) 当 0 x  时， 0 y  ， ' y  (0) 1 0 1  0 e  ，代入 (*) 得 '' y (0)   ' ( 2 (0) y  (0  ' (0)) y 0 3 ) e 2 0 e 3      (2 1) （13）函数 y x 在区间 2x 0 1，上的最小值为【答案】 2 ee 【解析】因为 y   x 2 2ln x  x  ，令 2  y  得驻点为 0 x  。 1 e 又 y   x 2 x  2ln x  2 2 2 x  x 2  ，得 x  y    1 e    2 1   e  2 e  0 ，

故 x  为 1 e y 2x x 的极小值点，此时 y 2 e e ，又当 x    10, e    上递增。时，  y x  0 x  ；    1 ,1   e  时，  y x   ，故 y 在 0    10, e    上递减，在    1 ,1 e    而  1 y  ，   0 1 y   lim 0 x   2 x x  lim 0 x   e 2 ln x x  e lim  0 x  x 2ln 1 x  e lim  0 x   2 x 1 2 x  lim 2   0 x x   e 1  ，所以 y x 在区间 2x 0 1，上的最小值为 y  2 e e 。    1 e     (14)设 ，为 3 维列向量， T 为的转置，若矩阵 T 相似于      2 0 0 0 0 0 0 0 0      ，则 T =  【答案】 2 【解析】因为 T 相似于      2 0 0 0 0 0 0 0 0      ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 T 得特征值是 2,0,0 而 T是一个常数，是矩阵 T 的对角元素之和，则 T     2 0 0 2 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）求极限  1 cos  x lim 0 x   x  4 sin 1 2 lim 0 x    ln(1 tan ) x x 2 x  x    ln(1 tan ) x sin 4 x ln(1 tan ) x  2 sin x  1 4    ln(1 tan ) x x  x  4 sin ln(1 tan ) x sin  2  x x x   1 2 lim 0 x   1 cos  x 【解析】 lim 0 x   1 2 lim 0 x  2 2 x sin x （16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1   )x dx 1  x ( x  0)

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