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2009年浙江高考理科数学试题及答案.doc
2009 年浙江高考理科数学试题及答案
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部
分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共 50 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题
纸上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件 ,A B 互斥，那么
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
棱柱的体积公式
V Sh
如果事件 ,A B 相互独立，那么
其中 S 表示棱柱的底面积，h
表示棱柱的高
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么
棱锥的体积公式
V
1
3
Sh
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
其中 S 表示棱锥的底面积， h
表示棱锥的高
( )
P k
n
k
C p
k
n
(1
p
)
n k
,(
k
0,1,2,
, )
n
棱台的体积公式
球的表面积公式
S
R
4
2
下底面积，
球的体积公式
4 R
V
3
3
其中 R 表示球的半径
V
1
3
(
Sh
1
SS
21
S
2
)
其中 S1、S2 分别表示棱台的上、
h表示棱台的高
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设U R ， { |
x x
A
A．{ | 0
x
x
1}
0}
， { |
x x
B
1}
B．{ | 0
x
x
，则
1}
(
A
ð
U
C．{ |
x x
B
0}
)
D．{ |
x x
1}
答案：B
【解析】 对于
1
，因此
2．已知 ,a b 是实数，则“ 0
a 且 0
UC B
x x
A
ð
U
B
{ | 0
x
x ．
1}
b ”是“
a b 且
0
ab ”的 (
0
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】对于“ 0
a 且 0
b ”可以推出“
a b 且
0
ab ”，反之也是成立的
0
3．设 1z
（i 是虚数单位），则
i
2
z
2
z
(
)
A． 1 i
答案：D
B． 1 i
C．1 i
D． 1 i
【解析】对于
2
z
2
z
2
i
1
(1
2
i
)
1
i
2
i
1
i
的展开式中，含 4x 的项的系数是(
51
)
x
) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B．10
D．5
4．在二项式 2
x
(
A． 10
C． 5
答案：B
【解析】对于
rT
1
r
(
C x
5
2 5
)
r
(
r
)
1 r
r
C x
5
10 3
r
，对于10 3
r
1
x
，则 4x 的
4,
2
r
项的系数是 2
5．在三棱柱
2
10
5 ( 1)
C
ABC A B C
1 1
1
中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 D 是侧面 1
BB C C 的中
1
心，则 AD 与平面 1
B． 45
A．30
BB C C 所成角的大小是 (
1
)
C． 60
D．90
答案：C
【解析】取 BC 的中点 E，则 AE 面 1
因此 AD 与平面 1
1
BB C C 所成角即为 ADE
1
BB C C ， AE DE
，
，设 AB a ，则
AE
3
2
a
DE ，即有
，
a
2
tan
ADE
3,
ADE
．
60
0
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是 (
A． 4
答案：A
【解析】对于 0,
，而对于 1,
D． 7
C． 6
B．5
1,
1
k
k
k
s
s
)
，则 2,
3,
2
k
k
s
，
3 8,
3
k
后面是
k
3,
s
，不符合条件时输出的 4
11
3 8 2 ,
k ．
k
，|
| 3a
4
| 4b
0
7．设向量 a ，b 满足：|
形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 (
，
a b ．以 a ，b ， a b 的模为边长构成三角
) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．3
答案：C
B． 4
C．5
D． 6
【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于
圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现．
8．已知 a 是实数，则函数 ( ) 1
的图象不可能．．．是 (
f x
sin
ax
a
)
答案：D
【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为
T
2 ,
a
a
要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了 2．
1,
T
2
，而 D 不符合
9．过双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的
0)
两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 ,B C ． 若
AB
BC
1
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
， 则 双 曲 线 的 离 心 率 是 (
)
A． 2
B． 3
C． 5
D． 10
答案：C
【解析】对于
A a ，则直线方程为
,0
x
，直线与两渐近线的交点为 B，C，
y a
0
B
BC
2
a
ab
a b a b
,
,
C
(
2
a
a b
,
ab
a b
)
，
则
(
2
2
a
2
a b
b
2
,
2
2
a
2
a b
b
),
2
AB
ab
ab
a b a b
,
AB BC
2
, 4
a
2
，因
有
5
．
b
e
2
,
10．对于正实数，记 M为满足下述条件的函数 ( )
f x 构成的集合： 1
,x x
2
R 且 2
x
x ，
1
有
(
x
2
A．若
)
(
f x
2
x
1
( )
f x M
1
)
(
f x
1
)
(
x
2
，
( )g x M
2
，则
B．若
( )
f x M
1
，
( )g x M
2
C．若
D．若
( )
f x M
1
( )
f x M
1
，
，
( )g x M
2
( )g x M
2
答案：C
)
．下列结论中正确的是 (
)
( )
x
1
( )
f x g x M
1 2
( )
f x M
( )
g x
g x ，则
0
1
2
，且 ( )
，则
( )
f x
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
( )
g x M
2
( )
g x M
2
1
( )
f x
1
，且 1
2 ，则
【解析】对于
(
x
2
x
1
)
(
f x
2
)
(
f x
1
)
(
x
2
，即有
)
x
1
)
(
f x
2
x
2
(
f x
1
x
1
)
，
)
k
， 有
k
， 不 妨 设
( )
f x M
1
，
( )g x M
2
， 即 有
gk
2
2
， 因 此 有
2
1
k
f
k
g
2
1
， 因 此 有
令
)
(
f x
2
x
2
fk
1
( )
f x
(
f x
1
x
1
1,
( )
g x M
2
1
．
非选择题部分（共 100 分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。
11．设等比数列{ }na 的公比
S
q ，前 n 项和为 nS ，则 4
a
4
1
2
．
答案：15
【解析】对于
s
4
4
)
a
1
(1
q
1
q
,
a
4
3
a q
1
,
s
4
a
4
1
3
(1
q
q
4
q
)
15
12．若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的
体积是
3cm ．
答案：18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 3 9
上面的长方体体积为3 3 1 9
，因此其几何体的体积为 18
，
13 ． 若 实 数 ,x y 满 足 不 等 式 组
y
x
2
x
y
y
x
2,
4,
0,
则 2
3x
y
的 最 小 值
是
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线
y
2
3
过点
x Z
2,0 时，
2
x
3
y
min
4
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价
表如
下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
高峰电价
低谷月用电量
低谷电价
（单位：千瓦时）
（单位：元/千瓦
（单位：千瓦时）
（单位：元/千瓦
50 及以下的部分
超过 50 至 200 的部
分
时）
0.568
0.598
50 及以下的部分
超过 50 至 200 的部分
时）
0.288
0.318
超过 200 的部分
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为100 千瓦
超过 200 的部分
0.668
0.388
时，
则 按 这 种 计 费 方 式 该 家 庭 本 月 应 付 的 电 费 为
元 （ 用 数 字 作
答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：148.4
【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50 0.568 150 0.598
部分为50 0.288 50 0.318
15．观察下列等式：
，二部分之和为148.4
；对于低峰
1
5
C C
5
5
3
2
，
2
1
9
C C C
9
9
5
9
7
2
，
3
2
1
C
13
5
C
13
9
C
13
13
C
13
11
2
，
5
2
1
C
17
5
C
17
9
C
17
13
C
17
17
C
17
15
2
，
7
2
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于
n N ， 1
C
4
*
n
1
C
5
4
n
1
C
9
4
n
1
1
4
n
C
1
4
n
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：
4
n
1
2
1 2n
2
n
1
【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有
1 n ，二项
指 数 分 别 为
4
n
1
2
,2
2
n
1
， 因 此 对 于
n N
*
，
C
1
4
n
1
C
5
4
n
1
C
9
4
n
1
4
1
n
C
1
4
n
2
4
n
1
1 2n
2
n
1
16．甲、乙、丙3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不
区分站的位置，则不同的站法种数是
（用数字作答）．
答案：336
【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 3
7A 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1
人，则共有 1
7C A 种，因此共有不同的站法种数是 336 种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3
2
17．如图，在长方形 ABCD 中，
点除外）上一动点．现将 AFD
过点 D
2
BC ， E 为 DC 的中点， F 为线段 EC （端
AB ，
沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABC ．在平面 ABD 内
1
作 DK AB ， K 为垂足．设 AK t ，则t 的取值范围是
．
答案：
1 ,1
2
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时， 1t ，随着 F
点 到 C 点 时 ， 因
CB AB CB DK CB
,
， 对 于
CD
2,
BC
，又
BD
1,
3
AD
1,
,
平 面 ADB ， 即 有 CB BD
1
2
，因此有 AD BD
，则有
AB
2
t ，因此t
的取值范围是
1 ,1
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分 14 分）在 ABC
中，角 ,
,A B C 所对的边分别为 ,
,a b c ，且满足
cos
A
2
2 5
5
，
AB AC
3
． （I）求 ABC
的面积； （II）若
解析：（I）因为
cos
A
2
2 5
5
，
cos
A
2cos
2
A
2
1
3
5
6
b c ，求 a 的值．
AB AC
，又由
A
,sin
4
5
3
，
得 cos
bc
A
3,
bc ，
5
S
ABC
（ II ） 对 于
bc ， 又
5
b c ，
6
b
1
2
5,
bc
sin
A
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
c
或
1
b
1,
c
， 由 余 弦 定 理 得
5
2
2
2
a
A
19．（本题满分 14 分）在1, 2, 3,
2
bc
cos
b
c
20
2 5
a
，
, 9 这9 个自然数中，任取3 个数．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）求这3 个数中恰有1个是偶数的概率；
（II）设为这3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3 ，则有两组相邻的
数
1,2 和 2,3 ，此时的值是 2 ）．求随机变量的分布列及其数学期望 E．
解 析 ： （ I ） 记 “ 这 3 个 数 恰 有 一 个 是 偶 数 ” 为 事 件 A ， 则
(
)
P A
2
1
C C
4
5
3
C
9
；
10
21
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）随机变量的取值为 0,1,2,的分布列为
P
0
5
12
所以的数学期望为
0
E
5
12
2
1
1
2
1
1
2
1
12
2
3
2
1
12
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本题满分 15 分）如图，平面 PAC 平面 ABC ， ABC
,E F O 分别为 PA ，
2
是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， ,
PB ， AC 的中点，
（I）设 G 是OC 的中点，证明： / /
（II）证明：在 ABO
AC ，
16
10
．
PA PC
FG 平面 BOE ；
内存在一点 M ，使 FM 平面
BOE ，并求点 M 到OA ，OB 的距离．
证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴， y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则
O
F
0,0,0 ,
4,0,3
(0, 8,0),
B
A
，由题意得，
G
(8,0,0),
C
0,4,0 ,
(0,8,0),
OB
因
P
(0,0,6),
(0, 4,3),
E
(0, 4,3)
OE
(8,0,0),
，
2
因此平面 BOE 的法向量为 (0,3,4)
面 BOE 内，因此有 / /
FG 平面 BOE
（II）设点 M 的坐标为
,
x y
0
,0
0
，则
n
FG
( 4,4, 3
得
n FG
，
0
，又直线 FG 不在平
(
FM x
4,
y
0
0
, 3)
，因为 FM 平面 BOE，所以
//
FM n
有
x
，因此有 0
4,
y
0
，即点 M 的坐标为
9
4
4,
9
4
,0
，在平面直角坐标系 xoy
中， AOB
的内部区域满足不等式组
0
x
0
y
x
y
8
，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，
所以在 ABO
内存在一点 M ，使 FM 平面 BOE ，由点 M 的坐标得点 M 到OA ，OB 的
距离为
94,
4
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
21．（本题满分 15 分）已知椭圆 1C ：
2
2
y
a
2
2
x
b
1(
a
点为 (1,0)
A
，过 1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．
的右顶
0)
b
（I）求椭圆 1C 的方程；
（II）设点 P 在抛物线 2C ：
2
y
x
R 上， 2C 在点 P 处
的切线与 1C 交于点 ,M N ．当线段 AP 的中点与 MN 的中
点的横坐标相等时，求 h 的最小值．
(
h h
)
解 析 ： （ I ） 由 题 意 得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1
b
2
b
a
2
,
a
b
2
1
,
1
所 求 的 椭 圆 方 程 为
2
y
4
2
x
，
1
（ II ） 不 妨 设
( ,
M x y N x y P t t
),
),
(
(
,
,
2
1
1
2
2
2
y
x t
4
2
t
y
， 直 线 MN 的 方 程 为
，即
4 1
4 0
与椭圆 1C 有两个不同的交点，所以有
tx t
(2
h
x
)
2
2
),
h
h 则 抛 物 线 2C 在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为
2
2
， 将 上 式 代 入 椭 圆 1C 的 方 程 中 ， 得
tx t
2
1 16
，因为直线 MN
2
4 (
t t
2
4
t
4 0
)
h x
，
2(
2)
)
h
4
0
h
h
x
(
t
t
t
2
2
2
2
2
设线段 MN 的中点的横坐标是 3x ，则
x
3
设线段 PA 的中点的横坐标是 4x ，则 4
x
2
1
x
1
t
2
x
2
2
(
t t
2(1
)
h
2
)
t
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
x
，由题意得 3
x ，即有 2
t
4
(1
)
h t
1 0
，
其中的
(1
2
2
h
)
或
4 0,
1
h
h ；
3
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