1997年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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1997 年湖南高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷（选择题共 65 分）一．选择题:本大题共 15 小题；第(1)—(10)题每小题 4 分,第(11)—(15)题每小题 5 分, 共 65 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的新疆王新敞奎屯 1．设集合 M=｛x│0≤x<2｝,集合 N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合 M∩N= (A)  x (C)  x (B)  x (D)  x 2 2 1 1 0  x 0  x 0  x 0  x ( ) 2．如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a= ( ) (A) －3 (B) －6 3．函数 y=tg( 1 x 2 1 3 (C) 3 2 (D) 2 3  )在一个周期内的图像是 ( ) 4．已知三棱锥 D-ABC的三个侧面与底面全等，且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC为棱，以面 BCD与面 BCA为面的二面角的大小是 (A) arccos 3 3 (B) arccos 1 3 (C)  2 (D) 2 3  3 5．函数 y=sin( (A)  2  x2 )+cos2 x 的最小正周期是 (B)  (C) 2 (D) 4 6．满足 arccos(1－x)  arccosx的 x的取值范围是 ( ) ( ) ( ) (A) [－1,－ 1 2 ] (B) [－ 1 2 7．将 y=2x的图像 ,0] (C) [0, 1 2 ] (D) [ 1 2 ,1] ( )

(A) 先向左平行移动 1 个单位 (B) 先向右平行移动 1 个单位 (C) 先向上平行移动 1 个单位 (D) 先向下平行移动 1 个单位再作关于直线 y=x对称的图像，可得到函数 y=log2(x+1)的图像． 8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( ) (A) 20 2 (B) 25 2 (C) 50 (D) 200 9．曲线的参数方程是     x y 11  t 1 t  2 (A) (x－1)2(y－1)=1 (C) y  1 x   1 1 2   (t是参数，t 0),它的普通方程是 ( ) (B) y=  xx  1   x  2 2 (D) y  x x  1 2  1 10．函数 y=cos2x-3cosx+2 的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 0 11 ．椭圆 C与椭圆 2  3  y   x  9 2  2  4  1 (C) 1 4 (D) 6 关于直线 x+y=0 对称 , 椭圆 C的方程是 ( ) (A) (C)  x  x 2  2 2  2  4  9  y  y   2  3 2  3  9  4  1  1 (B) (D)  x 2  2  9  y  2  3  4  1 2  2  y   x  4 2  3  9  1 12．圆台上、下底面积分别为、 4 ,侧面积为 6 ,这个圆台的体积是 ( ) (A) 32  3 (B) 32 (C) 37  6 (D) 37  3 13．定义在区间  , 的奇函数 f(x)为增函数；偶函数 g(x)在区间[ ,0 ）的图像与 f(x)的图像重合，设 a>b>0,给出下列不等式： ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)

③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)

其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都．填上) 新疆王新敞奎屯三．解答题:本大题共 6 小题;共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分 10 分) 已知复数 z  3  2 1 2 i  , 2  2 2 2 i ．复数 z , 3 2z 在复数平面上所对应的点分别为 P,Q．证明 OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）． 21．(本小题满分 11 分) 已知数列 na , nb 都是由正数组成的等比数列，公比分别为 p、q,其中 p> q,且 1p ， 1q ．设 c  a n  b n n ,Sn为数列 nc 的前 n项和．求 lim n  22．（本小题满分 12 分） n ． S S n 1  甲、乙两地相距 S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比、比例系数为 b；固定部分为 a元． I．把全程运输成本．．．．．．y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； II．为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分 12 分）如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是 BB1、 CD的中点． I．证明 AD D1F； II．求 AE与 D1F所成的角； III．证明面 AED 面 A1FD1； IV．设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的体积 1EDAFV  1 24．(本小题满分 12 分) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)－x=0 的两个根 x1,x2 满足 0

II．设函数 f(x)的图像关于直线 x=x0 对称，证明 x0< (25)（本小题满分 12 分） 1x 2 25．设圆满足：①截 y轴所得弦长为 2；②被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程． 1997 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一．选择题:本题考查基本知识和基本运算． 1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9 ． B 10 ． B 11．A 12．D 13．C 14．C 15．D 二．填空题:本题考查基本知识和基本运算． 16．4 17． 2 2 18． 2  3 19．①，④ 注:第(19)题多填、漏填和错填均给 0 分．三．解答题 20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一： z  3 2  1 2 i  cos(   ) 6  i sin(   ), 6 2 2  2 2 i  cos  4  i sin  4   于是 z   cos  12  i sin  12 ,

z   cos(   12 )  i sin(  z 3 2   [cos(   ) 3  i sin( ),  12  )] 3   (cos 3  4  i 3sin  ) 4  cos 5  i 12 5sin  12 5  12 OQ  .1 (  )   2 12 2 3   z 因为 OP与 OQ的夹角为，所以 OP⊥OQ．因为 OP  z   1 ，所以 OP  OQ 由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二: 因为 z  3 2  1 2 i  cos(   ) 6  i sin(   ) 6 ，所以 z 3 i ．因为   2 2  2 2 i  cos  4  i sin  4 ，所以 4  1 于是 z 2 3  z   z 3 2  z   z  z   z z 4 3  2 2   i 由此得 OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分 11 分．解: S n  ( pa 1 p n   1 )1  ( qb 1 q n   1 )1 , n  S S n 1  ( qa 1 ( qa  1 )(1  )(1 p n p 1 n  )1  )1  ( pb 1 ( pb 1   )(1 )(1 q q n n  1  )1 )1  ．分两种情况讨论． (Ⅰ)p>1． ∵ p  q 0,0  q p  ,1

lim n  S S n n 1   lim n  n ( qap [ 1  1)(1 n p 1 [  ( qa 1  1)(1   n )1 p )1 p 1  n  ( pb 1  )(1  ( pb 1  )(1 n n  n 1  n 1  q p q p n )]1 p 1  1 n  p )] n )1  p )1 p 1  n  ( pb 1   ( pb 1  q )[(1 p q ) p )[(1 ) n  n 1   n ]1 p ]1 p 1  n = p  lim n  ( qa 1  1)(1 ( qa 1  1)(1  ( qap  1 ( qa 1   )1 )1 =p． (Ⅱ)p<1． ∵ 0

当且仅当 a  ．即 v ,bv v  a b 时上式中等号成立若若 a  ，则当 b c v  a b 时，全程运输成本 y最小， a  ，则当 b c v  ],0( c 时，有  bc )  bc )] = (  bcv ) aS ( c ( bv   aS ( bv  v aS [( v S c vc    ) a c )( av ) 因为 c－v≥0，且 a>bc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0，所以 aS ( v  bv )  aS ( c  bc ) ，且仅当 v=c时等号成立，也即当 v=c时，全程运输成本 y最小．综上知，为使全程运输成本 y最小，当 ab  时行驶速度应为 b c v  ab b ；当 ab  时行驶速度应为 v=c． b c (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分 12 分．解:(Ⅰ)∵AC1 是正方体， ∴AD⊥面 DC1．又 D1F 面 DC1， ∴AD⊥D1F． (Ⅱ)取 AB中点 G，连结 A1G，FG．因为 F是 CD的中点，所以 GF、AD平行且相等，又 A1D1、AD平行且相等，所以 GF、A1D1 平行且相等，故 GFD1A1 是平行四边形，A1G∥D1F．设 A1G与 AE相交于点 H，则∠AHA1 是 AE与 D1F所成的角，因为 E是 BB1 的中点，所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线 AE与 D1F所成角为直角． (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F，由(Ⅱ)知 AE⊥D1F，又 AD∩AE=A，所以 D1F⊥面 AED．又因为

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