2018 年湖南省娄底市中考数学真题及答案
(满分 120 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号
内.
1.(2018 湖南娄底,1,3)2018 的相反数是(
)
B.2018
C. 2018
-
1
D.
-
1
A.
2018
【答案】C
2.(2018 湖南娄底,2,3)一组数据-3,2,2,0,2,1 的众数是(
A.-3
【答案】B
2018
B.2
C.0
D.1
)
3.(2018 湖南娄底,3,3)随着我国综合国力的提升,中华文化影响日益增强,学中文的外国人越来越多,
中文已成为美国居民的第二外语,美国常讲中文的人口约有 210 万,请将“210 万”用科学记数法表示为(
)
A.
0.21 10´
7
【答案】B
B.
2.1 10´
6
C.
21 10´
5
D.
2.1 10´
7
4.(2018 湖南娄底,4,3)下列运算正确的是(
)
A. 2
a a
a× =
5
10
B. 3 2
(3a )
6a=
6
C.
(
a
+
2
b
)
=
2
a
+
2
b
D.
(
a
+
2)(
a
-
3)
=
2
a
-
a
-
6
【答案】D
5.(2018 湖南娄底,5,3)关于 x 的一元二次方程 2
x
-
(
k
+
3)
x
+
k
= 的根的情况是(
0
)
A.有两不相等实数根
B.有两相等实数根
C.无实数根
【答案】A
D.不能确定
6.(2018 湖南娄底,6,3)不等式组
2
ì -
ïïí
3
x
ï
ïî
x
x
- > -
³
1
-
4
2
的最小整数解是(
)
A.-1
【答案】B
B.0
C. 1
D. 2
7.(2018 湖南娄底,7,3)下图所示立体图形的俯视图是(
)
A
B
C
D
【答案】B
8.(2018 湖南娄底,8,3)函数
y
=
x
x
-
-
2
3
中自变量 x 的取值范围是(
)
A.
x >
2
【答案】C
B.
x ³
2
C.
x ³ 且
2
x ¹
3
D.
x ¹
3
9.(2018 湖南娄底,10,3)将直线
y
=
2
x
- 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位后,所得的直线
3
的表达式为(
)
A.
y
=
2
x
-
4
B.
y
=
2
x
+
4
C.
y
=
2
x
+
2
D.
y
=
2
x
-
2
【答案】A
10.(2018 湖南娄底,10,3)如图,往竖直放置的在 A 处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“ U 形装置
中注入一定量的水,水面高度为 6cm ,现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转 60o 到 AB 位置,则 AB 中水
柱的长度约为(
)
A. 4cm
【答案】C
B.6 3cm
C.8cm
D.12cm
11.(2018 湖南娄底,9,3)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169,小正方形的面
积为 49,则sin
a
-
cos
a
= (
)
A.
5
13
B.
-
5
13
C.
7
13
D.
-
7
13
【答案】D
【解析】根据大正方形面积为 169 得到直角三角形斜边为 13,小正方形面积为 49 得直角边的差为 7,想到
直角边为 12 个和 5,得到
sin
cos
5
13
12
13
7
13
,故选 D
12.(2018 湖南娄底,12,3)已知: [
]x 表示不超过 x 的最大整数例: [3.9]
=
3,[ 1.8]
-
= - 令关于 k 的
2
函数
(
f x
)
=
[
k
+
4
1
]
-
[
k
4
]
( k 是正整数)例:
f
)3(
13[
4
]
3[
4
]
,则下列结论错误..的是(
)
A. (1)
f
=
0
C. (
f k
+
1)
³
(
f k
)
【答案】C
B. (
f k
+
4)
=
(
f k
)
D. (
f k = 或 1
0
)
【解析】根据定义
f
)4(
14[
4
]
f
4[
4
0]
1[
4
)13(
)1(
11[
4
]
,
f
)2(
12[
4
]
2[
4
0]
,
f
)3(
13[
4
]
3[
4
1]
,
0]
,因为
f
f
)3(
,所以 C 不正确,故选 C.
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
13.(2018 湖南娄底,13,3).如图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 P 是反比例函数
y
图像上的一点, PA
x^ 轴于点 A ,则 POA
D
的面积为
.
= 二
2
x
【答案】1
14.(2018 湖南娄底,14,3)如图, P 是 ABC
D
的内心,连接 PA PB PC
、 、 , PAB
D
、
D
PBC
、
D
PAC
S
的面积分别为 1
S、 、 ,则 1S
S
2
3
S
2
S+
3
.(填“<”或“=”或“>”)
【答案】<
【解析】设内切圆的半径为 r,则
S
1
1
2
AB
;
Sr
2
1
2
BC
;
Sr
3
1
2
AC
r
;
根据两边之和大于第三边即
BC+AC>AB,所以
S
1
S
2
S
3
,故答案为<.
15.(2018 湖南娄底,15,3)从 2018 年高中一年级学生开始,湖南省全面启动高考综合改革,学生学习完
必修课程后,可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政治、历史、地理、物
理、化学、生物 6 个科目中,自主选择 3 个科日参加等级考试.学生 A 已选物理,还从思想政治、历史、地
理 3 个文科科目中选 1 科,再从化学、生物 2 个理科科日中选 1 科.若他选思想政治、历史、地理的可能性
相等,选化学、生物的可能性相等,则选修地理和生物的概率为
.
【答案】
1
6
16.(2018 湖南娄底,16,3)如图, ABC
BF
,则 BF =
于点 F ,
AC^
DE =
3cm
D
中,AB
AC=
cm .
,AD BC^
于 D 点,DE
AB^
于点 E ,
【答案】6
DH
,对 ABC
AC
【解析】过点 D 作
进一步得到 DE=DH,故答案为 6
17.(2018 湖南娄底,17,3)如图,已知半圆O 与四边形 ABCD 的边 AD AB BC
为 D E C、 、 ,半径
OC = ,则 AE BE× =
1
.
用等面积法,得到 DF=DE+DH,再三线合一得到 AD 是角平分线,
、 、 都相切,切点分别
【答案】1
【解析】根据切线长定理,AE=AD,BE=BC,问题转化为 AD 和 BC 的乘积,再证明 ADO
题转化为 OC 与 OD 的乘积,故答案为 1
和 OCA
相似,问
18.(2018 湖南娄底,18,3)设 1
,
3
a a a K K 是一列正整数,其中 1a 表示第一个数, 2a 表示第二个数,依
2
,
此类推, na 表示第 n 个数( n 是正整数)已知 1
a = ,
1
4
a
n
=
(
a
n
+
1
-
2
1)
-
(
a
n
-
2
1)
.则
2018a
=
.
【答案】4035
【解析】由题意,
4
a
n
(
a
n
1
2
)1
(
a
n
2
)1
,得到
(
a
1
n
)1
2
(
a
n
2
)1
,因为 na 为正整数,所以
a
1
1
n
a
n
1
,即
a
1
n
a
n
2
,所以
a
2018
a
2017
2
a
2016
22
a
1
2017
2
4035
,
故答案为 4035
三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2018 湖南娄底,19,6)计算:
(
p
-
3.14)
0
+
-
21
( )
3
- |
-
12 | 4cos30
+
o .
解:原式
3
2
-91
12
4
32
32-10
10
20.(2018 湖南娄底,20,6)先化简,再求值:
1
+
(
x
1
2
-
¸
)
1
+
1
x
x
2
x
+
1
x
2
+
,其中
x =
2
.
解:原式=
(
x
2
)1
x
)1
11
x
(
)(1
x
x
1
x
1
x
当
x =
2
时,原式=
12
12
)12(
2
22
3
四、解答题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.(2018 湖南娄底,21,8) 为了取得扶贫工作的胜利,某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与
测试,随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本,并将成绩划分为 A B C D
、 、 、 四个不同的等级,绘制
成不完整统计图如下图,请根据图中的信息,解答下列问题;
(1)求样本容量;
(2)补全条形图,并填空: n =
(3)若全市有 5000 人参加了本次测试,估计本次测试成绩为 A 级的人数为多少?
解:(1)因为 B 等级的人数和所占比分别为 18 和 30%,所以样本容量为:
;
18
60%30
(人)
(2)C 等级人数为 60-24-18-6=12 人,补全条形如图;因为 D 等级人数为 6,样本容量为 60,所
以
n
6%
60
%10
,所以 n=10
(3)因为 A 等级扇形圆心角为 144°,所以 A 等级所占比为
5000
2000
级的人数为
22.(2018 湖南娄底,22,8)如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452m ,是目前湖南省第一高
人
%40
144
360
%40
,所以本次测试成绩为 A
楼,和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高340m ,为了测量高楼 BC 上发射塔 AB 的高度,在楼 DE 底
端 D 点测得 A 的仰角为,
sin
24
25
,在顶端 E 点测得 A 的仰角为 45o ,求发射塔 AB 的高度.
解:过 E 作
EF
AC
,由题意得,
ED
CD
,
AC
CD
四边形 EDCF 是矩形
EF=CD,CF=DE=340
设 CD=x,则 EF=x,
AF
EF
340
在 AEF
Rt
中,
tan
AEF
AF
EF
tan
45
EF
24
25
sin
cos
1
sin
1
24
25
7
25
tan
sin
cos
24
7
在 ADC
Rt
中,
ACtan
CD
,
sin
AC
AD
24
25
AC
CD
tan
24
7
x
AC=AF+CF
x
x
24
7
340
,解得 x=140
CD=140,AC=480,AB=AC-BC=480-452=28 米
答:发射塔 AB 的高度为 28 米
五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
23.(2018 湖南娄底,23,9)“绿水青山,就是金山银山”,某旅游景区为了保护环境,需购买 A B、 两种
型号的垃圾处理设备共 10 台,已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨:;每台 B 型设备日处理能力为 15 吨;
购回的设备日处理能力不低于 140 吨.
(1)请你为该景区设计购买 A B、 两种设备的方案;
(2)已知每台 A 型设备价格为 3 万元,每台 B 型设备价格为 4.4 万元.厂家为了促销产品,规定货款不低于
40 万元时,则按 9 折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案,使购买费用最少,为什么?
解:(1)设购买 A 设备为 a 台,则 B 设备为
10(
a 台,由题意得
)
12
a
解得
10(15
10a
3
a
)
140
又因为 a 为非负整数,所以 a =0 或 1 或 2 或 3
答:有四种购买方案:
①全部买 B 设备 10 台;
②A 设备 1 台,B 设备 9 台;
③A 设备 2 台,B 设备 8 台;
④A 设备 3 台,B 设备 7 台。
(2)设 A 设备为 x 台时,购买费用不打折时为 w 万元,由题意
w
3
x
10(4.4
x
)
即
w
4.1
x
44
又因为货款不低于 40 万元,所以
40w
即
4.1
x
44
40
解得
因为 x 为整数,结合第(1)问,所以 x=0 或 1 或 2
20x
7
w
4.1
x
在一次函数
k=-1.4<0,w 随 x 的增大而减小,
当 x 最大为 2 时,w 最小为 41.2 万元,
中,
44
打九折后为
9.02.41
08.37
万元。
答:采用(1)中方案②,购买费用最少为 37.08 万元。
24.(2018 湖南娄底,24,9)如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 AC BC、 相交于点 O ,且 OA=OC ,
OB OD=
,分别交 AD BC、 于点 E F、 .
,过 O 点作 EF BD^
(1)求证: AOE
D
@ D
COF
;
(2)判断四边形 BEDF 的形状,并说明理由.
解:(1) OA=OC,OB=OD
四边形 ABCD 是平行四边形
AD//BC
又
AOE
D
EAO
FOC
COF
EOA
FCO
@ D
(对顶角相等)OA=OC
(2)菱形
COF
理由:由(1)得 AOE
D
@ D
OE=OF
OE=OF OB=OD
四边形 BEDF 是平行四边形
又 EF BD^
四边形 BEDF 是菱形
五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
25.(2018 湖南娄底,25,10) 如图, C D、 是以 AB 为直径的 Oe 上的点, »
»
AC BC=
,弦 CD 交 AB
于点 E .
(1)当 PB 是 Oe 的切线时,求证:
Ð
PBD
= Ð
DAB
;
(2)求证:
BC
2
-
2
CE
= × ;
CE DE
(3)已知 OA=4 , E 是半径 OA 的中点,求线段 DE 的长.
解:(1)PB 是 Oe 的切线
90
90
ABD
PB
AB
PBD
AB 是直径
90
ADB
ABD
DAB
PBD
DAB
(2) »
»
AC BC=
CBA
BCE
CBE
又
CDB
CDB
DCB