2015 年黑龙江双鸭山中考数学真题及答案
一.填空题(每题 3 分,满分 30 分)
1.2015 年 1 月 29 日 ,联 合 国贸 易 和 发 展 会议 公 布 的《 全 球 投资 趋 势 报 告》称 ,2014 年 中
国 吸 引外 国 投 资 达 1280 亿 美 元 ,成 为 全球 外 国 投 资 第一 大 目 的 地 国.1280 亿 美 元用 科 学 记
数 法 表示 为
美 元 .
2.在函数
y
2
x
1
中,自变量 x 的取值范围是
.
3.如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,不添加任何辅助线,请添加一个条件
,
使四边形 ABCD 是正方形(填一个即可).
4.在一个口袋中有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中有 3 个黄球,1 个黑球,1 个白球,从中随
机摸出一个小球,则摸到黄球的概率是
.
5.不等式组
x
3
x
6.关于 x 的分式方程
5 1 2
>
2 4
x
x
≤
m
2
x
的解集是
.
1
x
2
4
0
无解,则 m=
.
7.如图,从直径是 2 米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 90°的扇形 ABC(A、B、C 三点在⊙O 上),
将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆的半径是
米.
8.某超市“五一放价”优惠顾客,若一次性购物不超过 300 元不优惠,超过 300 元时按全额 9
折优惠.一位顾客第一次购物付款 180 元,第二次购物付款 288 元,若这两次购物合并成一次性
付款可节省
元.
9.正方形 ABCD 的边长是 4,点 P 是 AD 边的中点,点 E 是正方形边上的一点.若△PBE 是等腰三角
形,则腰长为
.
10.如图,在平面直角坐标系中,点 A(0, 3 )、B(﹣1,0),过点 A 作 AB 的垂线交 x 轴于点 A1,
过点 A1 作 AA1 的垂线交 y 轴于点 A2,过点 A2 作 A1A2 的垂线交 x 轴于点 A3…按此规律继续作下去,直
至得到点 A2015 为止,则点 A2015 坐标为
.
1
二.选择题(每小题 3 分,共 30 分)
11.下列各运算中,计算正确的是(
A.a2+a3=a5
B.a6÷a2=a3
)
C.(﹣2)﹣1=2
D.(a2)3=a6
12.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A.
B.
C.
13.关于反比例函数
y
,下列说法正确的是(
2
x
D.
)
A.图象过(1,2)点
B.图象在第一、三象限
C.当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小
D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大
14.由几个相同的小正方形搭成的一个几何体如图所示,这个几何体的主视图是(
)
A.
B.
C.
D.
15.近十天每天平均气温(℃)统计如下:24,23,22,24,24,27,30,31,30,29.关于这 10
个数据下列说法不正确的是(
)
A.众数是 24
B.中位数是 26
C.平均数是 26.4
D.极差是 9
16.如图所示的容器内装满水,打开排水管,容器内的水匀速流出,则容器内液面的高度 h 随时间
x 变化的函数图象最接近实际情况的是(
)
A.
B.
C.
D.
17.如图,⊙O 的半径是 2,AB 是⊙O 的弦,点 P 是弦 AB 上的动点,且 1≤OP≤2,则弦 AB 所对的
圆周角的度数是(
)
A.60°
B.120°
C.60°或 120°
D.30°或 150°
2
18.△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,点 P 是 BC 边上的动点,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E,
则 PD+PE 的长是(
)
A.4.8
B.4.8 或 3.8
C.3.8
D.5
19.为推进课改,王老师把班级里 40 名学生分成若干小组,每小组只能是 5 人或 6 人,则有几种分
组方案(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
20.如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 AD 边中点,BD、CE 交于点 H,BE、AH 交于点 G,则下列结论:
①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.
其中正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
三.解答题(满分 60 分)
21.(5 分)先化简,再求值:
1
x
x
2
x
2
x
1
2
x
1
2
x
,其中 x=sin30°.
22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,﹣4),B(4,﹣4),C(1,﹣1).
(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1,直接写出点 A1 的坐标
;
(2)画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,求线段 BC 扫过的面积(结果保留π).
23.(6 分)如图,抛物线 y=x2﹣bx+c 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 B,对称轴是 x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 P,使△PAB 的周长最小?若存在,求出点 P
的坐标;若不存在,请说明理由.
3
24.(7 分)学生对小区居民的健身方式进行调查,并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
请根据所给信息解答下列问题:
(1)本次共调查
人;
(2)补全图(1)中的条形统计图,图(2)中“跑步”所在扇形对应的圆心角度数是
;
(3)估计 2000 人中喜欢打太极的大约有多少人?
25.(8 分)某天早晨,张强从家跑步去体育锻炼,同时妈妈从体育场晨练结束回家,途中两人相遇,
张强跑到体育场后发现要下雨,立即按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在
同一条笔直的公路上行走).如图是两人离家的距离 y(米)与张强出发的时间 x(分)之间的函数
图象,根据图象信息解答下列问题:
(1)求张强返回时的速度;
(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家?
(3)请直接写出张强与妈妈何时相距 1000 米?
26.(8 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 在直线 BC 上,连接 AE.将△ABE 沿 AE 所在直线折
叠,点 B 的对应点是点 B′,连接 AB′并延长交直线 DC 于点 F.
(1)当点 F 与点 C 重合时如图(1),易证:DF+BE=AF(不需证明);
(2)当点 F 在 DC 的延长线上时如图(2),当点 F 在 CD 的延长线上时如图(3),线段 DF、BE、AF
有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
4
27.(10 分)某企业开展献爱心扶贫活动,将购买的 60 吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民,现有甲、
乙两种货车可以租用.已知一辆甲种货车和 3 辆乙种货车一次可运送 29 吨大米,2 辆甲种货车和 3
辆乙种货车一次可运送 37 吨大米.
(1)求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米?
(2)已知甲种货车每辆租金为 500 元,乙种货车每辆租金为 450 元,该企业共租用 8 辆货车.请求
出租用货车的总费用 w(元)与租用甲种货车的数量 x(辆)之间的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,请你为该企业设计如何租车费用最少?并求出最少费用是多少元?
28.(10 分)如图,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 在坐标轴上,△ODE 是△OCB 绕点 O 顺时针旋转 90°
得到的,点 D 在 x 轴上,直线 BD 交 y 轴于点 F,交 OE 于点 H,线段 BC、OC 的长是方程 x2﹣6x+8=0
的两个根,且 OC>BC.
(1)求直线 BD 的解析式;
(2)求△OFH 的面积;
(3)点 M 在坐标轴上,平面内是否存在点 N,使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形?若存在,
请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
5
一.填空题(每题 3 分,满分 30 分)
1.2015 年 1 月 29 日 ,联 合 国贸 易 和 发 展 会议 公 布 的《 全 球 投资 趋 势 报 告》称 ,2014 年 中
国 吸 引外 国 投 资 达 1280 亿 美 元 ,成 为 全球 外 国 投 资 第一 大 目 的 地 国.1280 亿 美 元用 科 学 记
数 法 表示 为
美 元 .
【知识考点】科学记数法—表示较大的数.
【思路分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,
要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值
>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
【解答过程】解:将 1280 亿用科学记数法表示为 1.28×1011.
故答案为:1.28×1011.
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤
|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
2.在函数
y
2
x
1
中,自变量 x 的取值范围是
.
【知识考点】函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件.
【思路分析】当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,即 2x+1≥0.
【解答过程】解:依题意,得 2x+1≥0,
解得
x ≥ .
1
2
【总结归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
3.如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,不添加任何辅助线,请添加一个条件
,
使四边形 ABCD 是正方形(填一个即可).
【知识考点】正方形的判定;菱形的性质.
【思路分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件.
【解答过程】解:∵四边形 ABCD 为菱形,
∴当∠BAD=90°时,四边形 ABCD 为正方形.
故答案为∠BAD=90°.
【总结归纳】本题考查了正方形的判定:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;
先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角.
4.在一个口袋中有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中有 3 个黄球,1 个黑球,1 个白球,从中随
机摸出一个小球,则摸到黄球的概率是
.
6
【知识考点】概率公式.
【思路分析】利用黄球的个数÷球的总个数可得黄球的概率.
【解答过程】解:∵口袋中有 5 个球,其中有 3 个黄球,
∴摸到黄球的概率是: 3
5
故答案为: 3
5
.
.
【总结归纳】此题主要考查了概率公式,关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比.
5.不等式组
x
3
5 1 2
>
2 4
x
x
≤
x
的解集是
.
【知识考点】解一元一次不等式组.
【思路分析】分别解两个不等式得到 x<4 和 x≥2,然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集.
【解答过程】解:
5 1 2
x
x
①
>
2 4
3
x
x
≤ ②
,
解①得 x<4,
解②得 x≥2,
所以不等式组的解集为 2≤x<4.
故答案为 2≤x<4.
【总结归纳】本题考查了解一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式
的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同
大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
6.关于 x 的分式方程
4
【知识考点】分式方程的解.
m
2
x
1
x
2
0
无解,则 m=
.
【思路分析】分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解使
原方程的分母等于 0.
【解答过程】解:方程去分母得:m﹣(x﹣2)=0,
解得:x=2+m,
∴当 x=2 时分母为 0,方程无解,
即 2+m=2,
∴m=0 时方程无解.
当 x=﹣2 时分母为 0,方程无解,
即 2+m=﹣2,
∴m=﹣4 时方程无解.
综上所述,m 的值是 0 或﹣4.
故答案为:0 或﹣4.
【总结归纳】本题考查了分式方程无解的条件,是需要识记的内容.
7
7.如图,从直径是 2 米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 90°的扇形 ABC(A、B、C 三点在⊙O 上),
将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆的半径是
米.
【知识考点】圆锥的计算.
【思路分析】圆的半径为 1,那么过圆心向 AC 引垂线,利用相应的三角函数可得 AC 的一半的长度,
进而求得 AC 的长度,利用弧长公式可求得弧 BC 的长度,圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π.
【解答过程】解:作 OD⊥AC 于点 D,连接 OA,
∴∠OAD=45°,AC=2AD,
∴AC=2(OA×cos45°)=
∴
= π
∴圆锥的底面圆的半径= π÷(2π)= .
故答案为: .
【总结归纳】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两
者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于
侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
8.某超市“五一放价”优惠顾客,若一次性购物不超过 300 元不优惠,超过 300 元时按全额 9
折优惠.一位顾客第一次购物付款 180 元,第二次购物付款 288 元,若这两次购物合并成一次性
付款可节省
元.
【知识考点】一元一次方程的应用.
【思路分析】按照优惠条件第一次付 180 元时,所购买的物品价值不会超过 300 元,不享受优惠,
因而第一次所购物品的价值就是 180 元;300 元的 9 折是 270 元,因而第二次的付款 288 元所购买
的商品价值可能超过 300 元,也有可能没有超过 300 元.计算出两次购买物品的价值的和,按优惠
条件计算出应付款数.
【解答过程】解:(1)若第二次购物超过 300 元,
设此时所购物品价值为 x 元,则 90%x=288,解得 x=320.
两次所购物价值为 180+320=500>300.
8