2009年重庆高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年重庆高考文科数学试题及答案本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P A B  )  ) ( P A  ( P B ) 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n  k C P k n (1  P ) n k  ( k  以 R 为半径的球体积： V  ) 0 1,2 n ，，， 4 π R 3 3 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（） A． 2 x ( y  2 2)  1 B． 2 x ( y  2 2)  1 C． ( x  1) 2  ( y 2  3)  1 D． 2 x ( y  2 3)  1 【答案】A 解法 1（直接法）：设圆心坐标为 (0, )b ，则由题意知 ( o  1) 2  ( b  故圆的方程为 2 x ( y  2 2)  。 1 2) 1  ，解得 2 b  ，

解法 2（数形结合法）：由作图根据点 (1,2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2），故圆的方程为 2 x ( y  2 2)  1 解法 3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在 y 轴上，排除 C。 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（） A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B 解析因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。 3． ( x  的展开式中 3x 的系数是（ 2) 6 A．20 B．40 【答案】D ） C．80 D．160 解法 1：设含 3x 的为第 1r  ，则 Tr  1  r 6 nC x  r r 2  ，令 6 式中 3x 的系数为 3 3 6 2 C   160 。 r  ，得 3 r  ，故展开 3 解法 2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的 x 与 2 分得的次数和为 6，则根据条件满足条件 3x 的项按 3 与 3 分配即可，则展开式中 3x 的系数为 3 3 6 2 C   160 。 4．已知向量 (1,1),  a b  (2, ),x 若 a + b 与 4b 2a 平行，则实数 x 的值是（） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 解法 1 ：因为 a  (1,1), b  (2, ) x ，所以 a b   (3, x  1),4 b  2 a  (6,4 x  由于 2), a b 与 4 2b a 平行，得 6( x 1) 3(4   x  2) 0  ，解得 2 x  。

解法 2 ：因为 a b 与 4 2b a 平行，则存在常数 ，使 a b (4 b    2 ) a ，即 (2   1) a  (4  1)  ，根据向量共线的条件知，向量 a 与b 共线，故 2 x  。 b 5．设 na 是公差不为 0 的等差数列， 1 a  且 1 2 a a a 成等比数列，则 na 的前 n 项和 nS = , , 3 6 （） A． 2 n 4 7 n 4 【答案】A B． 2 n 3 5 n 3 C． 2 n 2 3 n 4 D． 2n n 解析：设数列{ }na 的公差为 d ，则根据题意得 (2 2 )2  d   2 (2 5 ) d  ，解得 d  或 1 2 d  （舍去），所以数列{ }na 的前 n 项和 0 S n  2 n  ( n n  2 1) 1 2   2 n 4  7 n 4 6．下列关系式中正确的是（） A． 0 sin11  cos10 0  sin168 0 B． sin168 0  0 sin11  cos10 0 C． 0 sin11  sin168 0  cos10 0 D． sin168 0  cos10 0  0 sin11 【答案】C 解析因为sin160   sin(180   12 )   sin12 ,cos10    cos(90   80 )   sin8 0  ，由于正弦函数 sin  y x 在区间[0 ,90 ]  上为递增函数，因此sin11    sin12   sin80  ，即 sin11   sin160  。  ，则   0 cos10 1 a B． 2 2 1 2 ab   b 7．已知 0, b a A．2 【答案】C 的最小值是（） C．4 D．5 解析因为 1 a   1 b 2 ab  2 1 ab  2 ab  2( 1 ab  ab ) 4  当且仅当 1 a  ，且 1 b 1 ab  ab ，即 a b 时，取“=”号。 8．12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（）

A． 1 55 【答案】B B． 3 55 C． 1 4 D． 1 3 解析：因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 4 4 4 C C C 12 A 4 8 3 3 种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 C C C C 4 8 3 3 1 9 A 2 2 4 4 ，故各强队恰好被分在同一组的概率为 3 C C C C A C C C A = 3 4 12 1 9 4 8 3 9 4 4 。 4 4 2 2 4 8 3 55 ABCD A B C D 1 1 1  1 9．在正四棱柱中，顶点 1B 到对角线 1BD 和到平面 1 A BCD 的距离分别 1 为 h 和 d ，则下列命题中正确的是（） A．若侧棱的长小于底面的变长，则 B．若侧棱的长小于底面的变长，则 C．若侧棱的长大于底面的变长，则 D．若侧棱的长大于底面的变长，则【答案】C h d h d h d h d 的取值范围为 (0,1) 的取值范围为的取值范围为的取值范围为 ( 2 2 3 2 3 , ) ( 2 3 3 ( 2 3 3 , 2) ,  ) 解析：设底面边长为 1，侧棱长为 (  ，过 1B 作 1 B H BD B G A B 1   0) , 1 1 。在 Rt BB D 1 1 中， B D 1 1  12, 2 B D    ，由三角形面积关系得 2 h B H  1  B D BB 1 1  1 B D 1  2  2 2   设在正四棱柱中，由于 BC AB BC BB 1   , ，所以 BC  平面 1 1 AA B B ，于是 BC B G 1 ，所以 1B G  平面 1 AB CD ，故 1B G 1 为点到平面 1 A BCD 的距离，在 1 Rt A B B 1 1  中，又由三角形面积关系得 d B G  1  A B BB  1 1 1 A B 1   2   1 于是 h d  2 1 2   2    2  2  1  1 2   2 ，于是当 1 ，所以 2    2 3, 2 3 1   1 2   2  1 ，所以 h d  ( 2 3 3 ,1)

10．把函数 ( ) f x  3 x 3  的图像 1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后得 x 到图像 2C ．若对任意的 0 u  ，曲线 1C 与 2C 至多只有一个交点，则 v 的最小值为（） A． 2 B． 4 C．6 D．8 【答案】B 解析：根据题意曲线 C 的解析式为 y  ( x u  ) 3  3( x u  )  则方程 v , ( x u  3( x u  )   v 3 x  3 x ，即 ) 0  ，即 3 )  31 u 4   v   3  对任意 0 u 31 u 4 u  恒成立，于是 23 u 4 函数 ( )g u 在（0，2）上为增函数，在(2, ) 上为减函数，所以当 2  则 (( ) g u 3 ( u u ( ) g u 2)( u   0), 2) 3   的最大值，令  由此知 u  时， 3 2 v   3 ( ux u 3 u v   31 u 4 3    4 3 u ( u  函数 ( )g u 取最大值，即为 4，于是 4 v  。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若 {U  n n 是小于 9 的正整数} ， {A   n U n 是奇数} ， {B   n U n 是 3 的倍数} ，则 ( U A B  ð  ) ．【答案】  2,4,8 解析： U  {1,2,3,4,5,6,7,8} ，则 A  {1,3,5,7}, B  {3,6}, 所以 A B  {1,3,5,6,7} ，所以 ( U A B  ð ) {2,4,8}  12 ．记 ( ) f x  log ( 3 x 1)  的反函数为 y 1( ) x f ，则方程 1( ) 8 x  的解 f x  【答案】2 ．解法 1：由 y  ( ) f x  log ( 3 x 1)  ，得 x 解得 2 x   ，即 1( ) 3 13y  x f  x 1  ，于是由3 x   ， 1 8 解法 2：因为 1( ) 8 x  ，所以 f x f (8)  log (8 1)   3 2 13．5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数字作答）．【答案】72

解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 3 3A 种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有 2 4A 种，则甲、乙两不相邻的排法有 3 3 4A A 72 2 种。 14．从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）（克）（用数字作答）． 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s  【答案】2 解析：因为样本平均数 x  2 s  2 1 (1 5  2 0  2 3 2 1   2 3 )   1 (125 124 121 123 127) 124 5 4,  所以 2 s     ，则样本方差 15．已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的左、右焦点分别为 1 0) F c  b ( ,0), F c 2 ( ,0) ，若椭圆上存在一点 P 使【答案】 sin a PF F 1 2  2 1,1  sin c PF F 2 1 ，则该椭圆的离心率的取值范围为．解法 1：因为在  PF F 1 2 中，由正弦定理得 PF 2 PF F 1 2 sin  PF 1 PF F 2 1 sin 则由已知，得 a PF 1 2  c PF 1 1 ，即 1 aPF cPF 2  设点 0 x y 由焦点半径公式，得 1 PF a ex PF 2   0 0 ) ( , ,   a ex 0 则 ( a a ex  )  ( c a ex  ) 0 0 x 记得 0  ( ) a c a  ) ( e c a   ( a e ( e e   1) 1) x 由椭圆的几何性质知 0   a 则 ( a e ( e e   1) 1)   a ，整理得 2 e 2 e 1 0,   解得 e   2 1  e 或  2 1  e ，又  (0,1) ，  e  故椭圆的离心率 ( 2 1,1) c a PF 解法 2 ：由解析 1 知 1  PF 2 由椭圆的定义知

PF PF 2  1  2 a 则 c a PF 2  PF 2  2 a PF 即 2  2 2 a c a  ，由椭圆的几何性质知 PF 2 a c   , 则 2 2 a c a  a c   , c 既 2  2 c a  2  0, 所以 2 e 2 e 1 0,   以下同解析 1. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分．）设函数 ( ) f x  (sin x   cos x  ) 2  2cos 2 （Ⅰ）求的最小正周期．   x (  的最小正周期为 0) 2  3 （Ⅱ）若函数 y  ( ) g x 的图像是由 y  ( ) f x 的图像向右平移  2 个单位长度得到，求 y  ( ) g x 的单调增区间．解：（Ⅰ） ( ) f x  (sin x   cos x  ) 2  2cos 2 x   2 sin x   2 cos x   sin 2 x  x   cos 2 x    2  sin 2 2 2   3 2  x  1 2cos 2    4 x   ) 2  2 sin(2 3 2 . 依题意得  ，故的最小正周期为（Ⅱ）依题意得: ( ) g x  2 sin 3(    x      2 4   )   2 2 sin(3 x  5  4 ) 2  由 2 k   3 x  ≤ k   k Z  ) 解得 ≤  2 2 k   3 ( ) g x  4 5  4 x 2 2 3 ≤ ≤ k   (  2 7  12 k   [ 2 3 故 y  的单调增区间为: ) \ ( k Z  2  , 4 3 k   7  ] 12 ( k Z  ) 17．（本小题满分 13 分，（Ⅰ）问 7 分，（Ⅱ）问 6 分）别为某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分 5 6 （Ⅰ）至少有 1 株成活的概率；，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株大树中： 4 5 和（Ⅱ）两种大树各成活 1 株的概率．

解: 设 kA 表示第 k 株甲种大树成活, k  1,2 ; 设 lB 表示第 l 株乙种大树成活, l  1,2 则 1 ( A A B B 独立,且 1 P A , , , 2 1 2 )  ( P A 2 )  5 6 , ( P B 1 )  ( P B 2 )  4 5 （Ⅰ）至少有 1 株成活的概率为: 1  ( P A A B B 2    1 2 1 ) 1   ( P A P A P B P B 2 ) ( ) ( ) (    1 2 1 ) 1 (   1 1 2 ) ( ) 6 5 2  899 900 （Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为: P C  1 2 5 1 6 6  C 1 2 4 1 5 5  10 8 36 25   4 45 18．（本小题满分 13 分，（Ⅰ）问 7 分，（Ⅱ）问 6 分）如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中，AB ∥ DC ，  BAD  ，  2 CD AD  ，四边形 ABFE 为平行四边形， FA  平面 ABCD ， 2 FC  3, ED  ．求： 7 （Ⅰ）直线 AB 到平面 EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角 F AD E  的平面角的正切值．  解法一: （Ⅰ）   AB DC DC  , 平面 EFCD , AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离，过点 A 作 AG FD 于 G，因  BAD   2 AB ∥ DC ，故 CD AD ；又 FA  平面 ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ，故CD  面 FAD ，知CD AG ，所以 AG 为所求直线 AB 到面 EFCD 的距离。在 Rt ABC△ 中， FD  2 FC  CD 2  9 4   5 由 FA  平面 ABCD ，得 FA  AD ，从而在 Rt△FAD 中， FA  2 FD AD  2  5 4 1    AG  FA AD  FD  2 5  2 5 5 。即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 2 5 5 。（Ⅱ）由己知， FA  平面 ABCD ，得 FA  AD，又由  BAD  ，知 AD AB ，  2 故 AD  平面 ABFE

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