随机信号处理经典谱与参数谱法matlab实现功率谱估计.pdf-资料库

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2019 随机信号处理大作业 20162410813 通信工程国际化二班刘艺辰

目录 0. 摘要 ............................................................................................................. 2 1.原理介绍： .................................................................................................. 2 1.1 经典谱 .................................................................................................... 2 1.2 现代谱 .................................................................................................... 2 2.过程分析： .................................................................................................. 4 2.1 经典谱估计 ........................................................................................... 4 2.2 现代谱估计 ........................................................................................... 5 3.实验结果： .................................................................................................. 5 4.结果分析： ............................................................................................... 11 4.1 经典谱与参数谱的比较 ................................................................. 11 4.2 三种参数谱估计方法的比较 ........................................................ 11 4.3 影响参数谱估计效果的参数 ....................................................... 12 5.心得体会 .................................................................................................... 12 程序代码 .................................................................................................... 12 Borg 算法的 python 实现 .................................................................... 18 python 波形 .............................................................................................. 20 1 / 20

0. 摘要本文主要介绍对比了两种经典谱估计方法：周期图法与自相关法和三种参数谱估计法：直接求解 yule-walker 方程，Levinson-Durbin 快速递推法与 Borg 算法的原理、编程过程、优劣分析，并比较了三种参数谱方法的估计性能，还分析了影响参数谱估计性能的参数，给出了五种分析方法的选择策略。本文还通过 Matlab 和 Python 两种编译平台，仿真得出实验结果。 1.原理介绍：本文将分别从古典谱和参数模型法两种估计方法进行分析：古典谱法估计分为周期图法和自相关法。 1.1 周期图法是把随机信号 x(n)的 N 点观察数据视为一个能量有限的信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作为对 x(n)真实的功率谱的估计。以表示用周期图法估计出的功率谱，则有自相关法的依据是维纳-辛钦定理，即先由估计出自相关函数求傅里叶变换得到的功率谱，记之为，并以此作为对的估计，即 1.2 现代谱估计以信号模型为基础，平稳随机序列 x(n) 的信号模型如图 4.3.1 所示. 图中, 输入白噪声 w(n)的均值为 0, 方差为 σw 2 , x(n) 的功率谱由下式决定: Pxx(e jω) =σw 2 | H(e jω) |2 由于模型传输函数与模型参数有关, 因此, 信号的功率谱估计问题, 变成了由观测数据估计信号模型的参数问题. 按照上述思路, 功率谱估计可分下列三个步骤: 1.选择合适的信号模型; 2.根据 x(n) 的有限个观测数据(或它的有限个自相关函数), 估计模型参数; 3.计算模型输出功率谱. 2 / 20

本文选取的现代谱法有三种： 1）解 yule-walker 方程：它的出发点是选择 AR 模型参数使预测误差功率最小，假设信号的数据区在范围，有个预测系数，个数据经过冲激响应为的滤波器，输出预测误差的长度为，因此应用下式计算：的长度长于数据的长度，上式中数据的两端需补充零点，相当于对无穷长的信号加窗处理，得到长度为 N 的数据。上式对系数的实部和虚部求微分使预测差功率最小，得到：此式即为 Yule-Walker 方程，本文选取的 yule-walker 方程法即直接求解该方程式中自相关函数采用有偏自相关估计，即： 2）Levinson-Durbin 快速递推法：这是基于解 Yule-Walker 方程的一种方法，这是一种高效的解方程的方法。Levinson-Durbin 算法首先由一阶 AR 模型开始：一阶 AR 模型的 Yule-Walker 方程为由该方程解出：然后令，以此类推，可以得到一般递推公式如下：称为反射系数，。，随着阶数增加，预测误差功率将减少或不变。由 k=1 开始递推，递推到 k=p，依次得到各阶模型参数， 3 / 20 ()xn01nN−PN()0,1,piaip=()enNp+()()()210121011−+==−+=−+==PNnpipiPNninxanxNneN()en()xnpia()()()()()()()()()()()()12ˆˆˆˆ0111ˆˆˆˆ1022ˆˆˆˆ120pxxxxxxxxpxxxxxxxxppxxxxxxxxarrrprarrrprarprprrp−−+−+=−−−()()()()−+−+−=−=+=−−=1,,2,1,,2,1,01*^10*^ppmmrpmmnxnxNmrxxmNnxx()1p=()()()()2111011100xxxxxxxxrrrra=()()1110xxxxrar=−()()2211,110xxar=−2,3,4,p=pk1pk22212p

AR 模型的各个系数及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算这种方法计算简单，但需要预先估计出信号自相关函数，实际中只能按照信号的有限个观测数据估计自相关函数。当观测数据长度较短时，估计误差较大，会出现谱峰频率偏移和谱线分裂（在信号谱峰附近产生虚假谱线）；如数据很长，估计自相关函数较准确，但计算量大，应适当选择数据长度。 3）伯格（Burg）递推法：Levinson-Durbin 递推法需要由观测数据估计自相关函数，这是它的缺点。而伯格递推法则由信号观测数据直接计算 AR 模型参数。 a.伯格递推法利用 Levinson-Durbin 递推公式，导出前向预测误差与后向预测误差。 b.它借助格型预测误差滤波器，求前向、后向预测误差平均功率，并按照使它们之和最小的原则求出，从而实现不用估计自相关函数，直接用观测数据得出结果。 c.之后，再利用 Levinson-Durbin 递推法求模型参数和输入噪声方差。上述过程可得以下公式： 2.过程分析： 2.1 经典谱估计 1)周期图法： a.求解 xn 的 N 点 FFT 后的结果 xk。 b.对 xk 的结果进行平方，求解功率谱密度。 4 / 20 2221112122212,,,,,,,,pppppaaaaaa()()222211/1pjwjwjwixxwwpiipeHeae−===+pk()()()()00fbnxnenxne==()()()()()()1,,2,111,,2,111*111−++=+−=−++=−+=−−−−NppnnekneneNppnneknenefppbpbpbppfpfp()()()()−=−−−=−−−+−−=121211*11112NpnbpfpNpnbpfppnenenenek()121−−=pppk,1,1,ppipippiaaka+−−−=1,2,1ip=−…，,pppka=

c.对 xn 进行功率谱估计。 2）自相关函数法： a.求解 xn 的自相关函数 Rn。 b.根据维纳辛钦定理，对 Rn 进行 FFT 变换得出功率谱密度。 c.对 xn 进行功率谱估计。 2.2 现代谱估计现代谱估计的过程大致分为以下几步： a.假定所研究的随机过程 x(n)是由一白噪声序列 w(n)激励因果稳定的可逆线性系统 H(z)输出。 b.由观测获得的数据记录 x(n)估计 H(z)的参数。 c.由 H(z)的参数估计出 x(n) 的功率谱。以下将介绍本文采取的三种现代谱估计方法的流程： 1） yule-walker a.求解 xn 的自相关函数。 b. 根据自相关函数与 AR 模型参数关系列出线性方程组。 c.求解线性方程组。 d.根据自相关函数和 AR 模型参数的关系求解系统增益 G。 e.根据预测误差不再改变得出相应阶数，循环终止。 2）Levinson-Durbin 快速递推法： a.求解 xn 的自相关函数。 b.确定一阶时的 AR 模型参数、最小预测误差功率。 c.利用 AR 模型参数和自相关函数求解反射系数。 d.利用反射系数和上一阶次的 AR 模型参数求解本阶次的 AR 模型参数。 e.将反射系数的值返回给本阶次 m 的 AR 模型参数的第 m 个参数。 f. 根据预测误差不再改变得出相应阶数，循环终止。 3）Borg 算法： a.确定初始状态。 b.先估计反射系数 km，估计反射系数 km 的准则是使前向预测误差功率和后向预测误差功率的和或平均值最小。 c.伯格递推法利用 Levinson-Durbin 递推公式，导出下一阶次前向预测误差与后向预测误差。 d.再利用 Levinson 关系式求 AR 参数。 e.根据预测误差不再改变得出相应阶数，循环终止。 3.实验结果：首先我们选取两个频率为 0.1 和 0.11 的正弦信号进行叠加。得到时域采样点数为 64，128，1024 时经典法功率谱： 5 / 20

图 1 当 N=64 时的经典谱估计图 2 当 N=128 时的经典谱估计图 3 当 N=1024 时的经典谱估计选取阶数为 N/3，得到采样点数分别为 64，128，1024 的参数谱估计; 6 / 20

图 4 当 N=64 时的参数谱估计图 5 当 N=128 时的参数谱估计我们选取采样点数为 1024，取阶数分别为 200，500，1000 时的三种参数谱估计：图 6 当 N=1024 时的参数谱估计 7 / 20

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