Ξ 　　第 27 卷 　第 5 期 　 　　2006 年 9 月 吉首大学学报 (自然科学版) Journal of Jishou University (Natural Science Edition) Vol. 27 　No. 5 　　 Sept. 2006 　　 文章编号 :1007 - 2985 (2006) 05 - 0073 - 03 自适应均衡器的 LMS 算法实现及其仿真 张雅彬 ,王融丽 ,刘 　昕 (吉首大学物理科学与信息工程学院 ,湖南 吉首 　416000) 摘 　要 :自适应均衡器已广泛应用于通信 、雷达 、声纳 、控制和生物医学工程等许多领域 ,为克服多径衰落和信道失真 引起的码间干扰 ,实时跟踪移动通信信道的时变特性 ,笔者设计了一个基于 LMS 算法的自适应线性均衡器 ,并通过改变步 长因子 Δ来分析其收敛速度和均方误差特性. 关键词 :自适应均衡器 ;LMS 算法 ;仿真 中图分类号 :TN911. 5 　　　　　　 文献标识码 :A 在高速数字通信中 ,多径衰落和信道失真可引起严重的码间干扰 ,已成为数字通信面临的主要困难之一. 克服 ISI 的一 种有效途径是在接收机中采用均衡技术. 由于移动衰落信道具有随机性和时变性 ,这就要求均衡器必须能够实时地跟踪移 动通信信道的时变特性 ,这种自适应均衡器常见的工作模式为训练模式和跟踪模式. 对于线性均衡器 ,其算法有很多种 ,最 常见是基于 LMS 的算法的自适应均衡器. 笔者设计了一个基于 LMS 算法的自适应均衡器 ,通过改变步长因子分析其收敛速 度及均方误差. 1 1 　自适应均衡器 LMS 算法实现 自适应滤波器的研究始于 20 世纪 50 年代末 ,Windrow 和 Hoff 等在 20 世纪 60 年代初提出最小均方误差自适应算法 2 (Least Mean Squares ,LMS) . LMS 算法的基本原理 2 - 3 是基于误差梯度的最陡下降法 ,用平方误差代替均方误差 ,沿着权值的 负方向搜索达到均方误差最小意义下的自适应滤波. LMS 算法因其结构简单 、稳定性好而且易于实现 ,一直是自适应滤波 经典 、有效的算法之一. 但是这种固定步长的 LMS 自适应算法在收敛速率 、跟踪速率及权失调噪声之间的要求是相互矛盾 的 ,为了克服这一矛盾 ,人们讨论了各种各样的变步长 LMS 自适应滤波的改进算法. 4 更新方向向量υ( n) 取作第 n - 1 次迭代的 E{ e2 ( n) } 的负梯度 ,即最陡下降法 ,根据这种思想产生的算法称为最小均 方算法 (LMS) . LMS 算法的依据是最小均方误差 ,即理想信号 d ( n) 与滤波器实际输出 y ( n) 之差 e ( n) 的平方值的期望值 E{ e2 ( n) } 最小 ,并且根据这个依据来修改权系数 wi ( n) . 为了使期望值 E{ e2 ( n) } 最小 ,采用最广泛使用的自适应算法形 式“下降算法”: Wi ( n) = Wi ( n - 1) + μ( n)υ( n) . 式中的 Wi ( n) 为第 n 步迭代的权向量 ,μ( n) 为第 n 次迭代的收敛因子 , 而 υ( n) 是第 n 次迭代的更新方向. 最常用的下降算法为梯度下降法 ,常称最陡下降法. 令 N 阶 FIR滤波器的抽头系数为 Wi ( n) ,滤波器的输入和输出分别为 x ( n) 和 y ( n) ,则 FIR 横向滤波器方程可表示为 y ( n) = N i = - 1 Wi ( n) X ( n - i) , 令 d ( n) 代表“所期望的响应”,并定义误差信号 e ( n) = d ( n) - y ( n) = d ( n) - N i = - 1 Wi ( n) X( n - i) , 采用向量形式表示权系数及输入 W 和 x ( n) ,可以将误差信号 e ( n) 写作 e ( n) = d ( n) - WT X( n) = d ( n) - X( n) W , 则误差平方为 e2 ( n) = d2 ( n) - 2 d ( n) XT ( n) W + WT X( n) XT ( n) W. (1) (2) (3) (4) 收稿日期 :2006 - 04 - 16 基金项目 :湖南省教育厅科学研究项目 (04C492) 作者简介 :张雅彬(1979 - ) ,男 ,山东菏泽人 ,吉首大学物理科学与信息工程学院教师 ,主要从事无线通信教学与研究. © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

47 吉首大学学报 (自然科学版) 第 27 卷 上式两边取数学期望后 ,得均方误差 E{ e2 ( n) } = E{ d2 ( n) } - 2 E{ d ( n) XT ( n) } W + WT E{ X ( n) X2 ( n) } W. 定义互相关函数向量 自相关函数矩阵 则 (5) 式可表示为 Rxd T = E{ d ( n) XT ( n) } , Rxx = E{ X( n) x T ( n) } , (5) (6) (7) (8) 这表明均方误差是权系数向量 W 的二次函数 ,它是一个凹的抛物型曲面 ,具有唯一最小值的函数. 调节权系数使均方 E{ e2 ( n) } = E{ d2 ( n) } - 2 RT xd W + WT Rxx W. 误差为最小. 将 (8) 式对权系数 W 求导数 ,得到均方值误差函数的梯度 ( n) = E{ e2 ( n) } = [ E{ e2 ( n) }/ W1 , …, E{ e2 ( n) }/ Wn ] T. 令 ( n) = 0 ,即可求出最佳权系数向量 将 Wopt 代入 (8) 式得最小均方差值 Wopt = R - 1 xx Rxd . (9) (10) E{ e2 ( n) }min = E{ d2 ( n) } - RT (11) 利用 (11) 式求最佳权系数向量的精确解需要知道 Rxx 和 Rxd 的先验统计知识 ,而且还需要进行矩阵求逆等运算. Widrow 和 Hoff 提出了求解 Wopt 的近似值的方法 ,习惯上称之为 Widrow Hoff LMS 算法. 正如前面所介绍的 ,这种算法的根据是最优 化理论方法中的最速下降法. 根据最速下降法.“下一时刻”权系数向量 W ( n + 1) 应该等于“现时刻”权系数向量 W( n) 加 上一个负均方误差梯度 - ( n) 的比例项 ,即 xdWopt . 其中 μ是一个控制收敛速度与稳定性的常数 ,称之为收敛因子 ,LMS 算法与梯度 ( n) 和收敛因子 μ有关. 精确计算梯度 ( n) 是十分困难的 ,一种粗略的但是却十分有效的计算 ( n) 的近似方法是直接取 e2 ( n) 作为均方 W( n + 1) = W( n) - μ ( n) , (12) 误差 E{ e2 ( n) } 的估计值 ,即 其中 ( n) = [ e2 ( n) ] = 2 e ( n) [ e ( n) ]. [ e ( n) ] = [ d ( n) - WT ( n) X( n) ] = - X( n) . 将 (14) 式代入 (13) 式中 ,得到梯度估值 于是 Widrow Hoff LMS 算法为 ( n) = - 2 e ( n) X( n) , (13) (14) (15) W( n + 1) = W( n) + 2μe ( n) X( n) . (16) 在 LMS 算法中 ,由于采用最陡下降法的思想来更新权系数向量 W ( n) ,所以 LMS 算法中的收敛因子 μ决定抽头权向量 在每次迭代中的更新量 ,是影响算法收敛速率和稳态性能的关键参数. 收敛因子 μ的选择一直是研究的热点 ,基于 LMS 算 法的收敛分为均值收敛和均方收敛 2 种 [3 ] ,对于收敛因子μ的选择 (现在常被称为学习速率参数选择 [2 ] ) 已经有几种著名的 选择方法 ,如时变学习速率的“模拟退火法则”,“换档变速方法 (gear shifting approach) ”等 [5 ] . 2 　计算机仿真 图 1 　传输信息模型 　　　　　　　　　　　　　　　图 2 　仿真误差分析 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

2 2 2 2 第 5 期 　　　　　　　　　　　张雅彬 ,等 :自适应均衡器 LMS 算法实现及其仿真 57 　　系统仿真模型如图 1 所示 ,系统仿真误差分析如图 2 所示. 均衡选取的信道抽头数是 2 K + 1 = 11 ,接收信号加噪声的功 率 PR 归一化到 1 ,信道特性由向量 x 确定 ,其中 x = (0. 05 , - 0. 063 ,0. 088 , - 0. 126 , - 0. 25 ,0. 094 7 ,0. 25 ,0 ,0. 126 ,0. 038 , 0. 088) . Matlab 仿真源代码如下 : av = zeros(1 ,N - 2 realizations = 1000 ; K) ; realizations , echo on N = 500 ; K= 5 ; actual isi = 0. 05 - 0. 063 0. 088 - 0. 126 - 0. 25 0. 9047 0. 25 0 0. 126 0. 038 0. 088 ; sigma = 0. 01 ; delta = 0. 115 ; Num of mse for j = 1 :Num of 　 % the information sequence 　for i = 1 :N , 　　if (rand < 0. 5) , 　　　info (i) = - 1 ; 　　else 　　　info (i) = 1 ; 　　end ; 　　echo off ; 　end ; 　if (j = = 1) 　 % the channel output ;echo on ;end K) ; c isi ,1 ,info) ; c = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ; K, k = y(k :k + 2 k = estimated k = info (k) - z y k ; c = estimated 　y = filter (actual 　for i = 1 :2 :N , noise (i) noise (i + 1) = 　　gngauss(sigma) ;end ; 　y = y + noise ; 　estimated 　for k = 1 :N - 2 　　y 　　　z 　　　e 　　　estimated 　　　mse (k) = e 　echo off ; end ; 　if (j = = 1) 　mse 　echo off ; end ; echo on ; mse m = 1 :490 ; plot (m ,mse ;echo on ;end av + mse ; av = mse av) ; k. ’; c + delta e k y k ; k^2 ; av = mse av Num of realizations ; 3 　结语 从仿真结果可以发现 ,减小步长因子 Δ,收敛稍许变慢 ,但可达到最小的均方误差. 增加 Δ 可提高收敛速度 ,但是当 Δ 增大时其均方误差也相应增大. 所以选择合适的步长因子 Δ对于均衡器的性能来说是至关重要的 ,笔者设计的自适均衡器 克服了多径衰落和信道失真可引起的码间干扰 ,提高通信的传输质量. 参考文献 : 1 　西 　蒙·赫金. 自适应滤波器原理 (第 4 版) M . 北京 :电子工业出版社 ,2003. 2 　张贤达. 现代信号处理 (第 2 版) M . 北京 :清华大学出版社. 3 　HAYKIN S. Adaptive Filter Theory M . America :Prentice Hall ,Inc ,Simon& Schuster Company ,1996. 4 　曹达仲 ,王尤翠. 数字移动通信中的自适应均衡技术 J . 通信技术 ,1997 , (2) :67 - 69. 5 　WIDROW B ,STEARNS S D. Adaptive Signal Processing M . New York :Prentice - Hall ,1985. Adaptive Equalization Simulation Based on LMS Algorithm ZHANG Ya bin ,WANG Rong li ,LIU Xin (College of Physics Science & Information Engineering ,Jishou University ,Jishou 416000 ,Hunan China) Abstract :As an important aspect of adaptive signal processing ,adaptive equalization is widely used in the field of tele communication ,radar , sonar , control and bio medical engineering. In order to overcome the intersymbol interference caused by multipath fadiy and channel distortion ,and according to the time time track ing mobile communication channel ,the author designs on adaptive linear equalization based on LMS algorithm and ana lyzes its convergence rate and mean square error characteristics by varying the step factor. Key words :adaptive equalization ;LMS ;simulation analysis dependent charateristics of real (责任编辑 　陈炳权) © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net