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随机信号分析（常建平）课后答案.doc
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中 A 是
均值为 2，方差为 1 的高斯变量，B 是（0，
2）上均匀分布的随机变量，且 A 和 B
独立。求
（1）证明 X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）
E
cos
t B
2
( )
E X t
E A
A B
与 相互独立
,
R t t
X
EA
2
1
2
cos
5
1
2
cos
（2）
E X t
2
X t
是平稳过程
15
2
1
T
2
T
T
( )
X t
lim
T
X t dt A
3-1 已知平稳过程 ( )X t 的功率谱密度为
)
XG
(
32
2
(
16)
，求：①该过程的平均功率？
②取值在 ( 4,4)
范围内的平均功率？
解
(1)
：
P
E X t
2
1
2
G
d
X
方法一(
时域法
)
R
( )
1
F G
X
(
)
4
F
1
2 4
2
2
4
4
e
4
P
1
R
(0)
4
32
2
2
4
d
1
2
4
法
)
方
P
1
(频域
G
法二
1
2
4
X
1
4
1
(
)
d
d
2
4
arc
tan
x
'
1
x
2
1
-4,4 内
的平均 率
功
(2)
取值范围为
32
1
2
4
4
2
4
2
P
2
d
2
3-7 如图 3.10 所示，系统的输入 ( )X t 为平稳过程，
系统的输出为 ( )
Y t
( )
X t
X t T
。证明：输出 ( )Y t
(
)
(
)(1 cos
T
)
的功率谱密度为 (
G
Y
)
2
G
X
解
:
已知平稳过程的表达式
( )
利用定义求
G
F R
Y
Y
R
Y
( )
(
)
[
( ) (
E Y t Y t
)]
R
Y
( )
)]
[ ( ) (
E Y t Y t
{ ( )
(
X t T
E X t
(
( )
2
T
R
R
X
X
(
X t
T
}
)}{ (
X t
(
)
R
X
)
)
T
系统输入输出
立叶
利用傅
变
)
(
2
G
G
Y
X
2
G
X
2
G
X
(
) 2
G
(
)(1 cos
R
X
( )
G
Y
(
)
R
Y
( )
X
平
G
稳
(
)
换的延时特性
(
)
(
)
G
e
X
j T
e
e
2
)
(
)
T
X
(
)
e
j T
X
j T
G
j T
3-9 已知平稳过程 ( )X t 和 ( )Y t 相互独立，它们的均值
至少有一个为零，功率谱密度分别为
)
XG
(
16
2
16
YG
(
)
2
2
16
令新的随机过程
)
( )
Y t
( )
Y t
( )
Z t
( )
V t
( )
X t
( )
X t
①证明 ( )X t 和 ( )Y t 联合平稳；
ZG ？
②求 ( )Z t 的功率谱密度 (
)
③求 ( )X t 和 ( )Y t 的互谱密度 (
XYG ？
④求 ( )X t 和 ( )Z t 的互相关函数 ( )
XZR ？
⑤求 ( )V t 和 ( )Z t 的互相关函数 ( )
VZR
解:
( )
( )
(1)
Y t
X t
、 都平稳
1
( )
F G
R
＝
X
4
( )
2
e
R
Y
( )
( )
Y t
X t
独
立
与
[
)
( ,
[ (
E X t E Y t
R t t
XY
[
( )]
R
E X t
X
[ ( )] 0
E Y t
)] 0
( )]
2
e
4
X
2
(
) 0
[
E X t
( )] 0
( )
X t
与 联合
( )
Y t
平
稳
( )
(2)
( )
( )
X t
Z t
Y t
[
(
( )
( )
R
E Z t Z t
Z
[
( )
E X t
( )
R
R
YX
( ) 0
XY
( )
R
( )
R
R
Z
R
Y
X
X
( )
)]
( )][
(
Y t X t
( )
R
XY
)]
(
)
Y t
( )
( )
R
Y
G
Z
(
)
G
(
)
G
Y
(
)
X
2
2
16
16
1
(3)
R
XY
( ) 0
G
XY
(
) 0
(4)
R
XZ
( )
R
[
(
E X t Z t
( )
( )
R
)]
( )
XY
X
)
(
E X t X t
1
(
[
F G
R
( )
( )
(
)
Y t
)] 2
e
4|
|
X
X
(5)
R
VZ
(
)]
( )
[
(
)
E V t Z t
( )][
(
( )
[
Y t X t
E X t
( )
( )
R
R
Y
X
4|
|
( ) 4
e
)
(
Y t
)]
3-11 已知可微平稳过程 ( )X t 的自相关函数为
]
XR
度 (
，其导数为 ( )
Y t
2
( ) 2exp[
)
XYG 和功率谱密度 (
YG ？
)
X t
( )
。求互谱密
Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理
G
X
F
F
1
R
X
( )
Ⅱ.2-17 已知平稳过程 ( )X t 的均方可导， ( )
Y t
。证明
X t
( )
X t Y t 的互相关函数和 ( )Y t 的自相关函数分别为
( ),
( )
R
R
Y
Ⅲ.傅立叶变换的微分性质
( )
XY
( )
dR
X
d
( )
2
d R
d
( )
X
2
2
4
e
] 2
解
:
G
X
(
)
( )]
F
X
[
F R
t
2
e
2
[2
e
2
2
e
高斯脉冲
P
279
表第
28
个
exp
2
t
2
2
2 exp
2
2
2
利用傅立叶变换的
微分特性
R
XY
( )
R
X
( )
G
XY
(
)
j
G
X
(
2
)
j
2
4
e
R
Y
( )
R
X
( )
G
Y
(
)
(
2
)
j
G
X
(
)
2
＝
2
2
4
e
( )
Y t
t
t T
X t dt
( )
3-17 已知平稳过程 ( )X t 的物理功率谱密度为
XF ，
①求 ( )X t 的功率谱密度 (
XG 和自相关函数
4
(
)
)
XR ？画出 (
F
X
( )
的图形。
( )
G
R
),
),
(
X
X
②判断过程 ( )X t 是白噪声还是色噪声？给出理由
物理功率谱密度 定义式
F
X
(
)
2
G
X
(
U
)
(
)
0
，
X
( )
t
X
是白噪声。
G
X
(
)
(
)
2,
1
F
X
2
2 ( )
R
( )
R
X
( )]
[
E X t
白噪声的定义
若平稳随机过程的均
NG
,
)
1
2
值为零，功率谱密度在整个频率轴
(
上均匀分
其中 0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。
(
N
布，满足
)
0
(3-70)
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