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2020年浙江高考数学试题及答案.doc
2020 年浙江高考数学试题及答案
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规
定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的
作答一律无效。
参考公式：
如果事件 A，B互斥，那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
柱体的体积公式V Sh
如果事件 A，B相互独立，那么 (
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么
n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率
锥体的体积公式
V
1
3
Sh
其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高
P k
n
( ) C
k
n
k
p
(1
p
)
n k
0,1,2,
, )
n
(
k
1 (
3
台体的体积公式
V
S
1
S S
1 2
)
S h
2
其中 1
,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示
2
台体的高
球的表面积公式
S
4
R
2
球的体积公式
V
R
4
3
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
选择题部分（共 40 分）
目要求的。
1．已知集合 P={ |1
x
A．{ |1
x
x
2}
C．{ | 3
x
x
4}
x ，Q={ | 2
4}
x
x ，则 PI Q=
3}
B．{ | 2
x
x
3}
D．{ |1
x
x
4}
2．已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=
A．1
B．–1
C．2
D．–2
3．若实数 x，y满足约束条件
1 0
x
3 0
x
3
y
y
，则
z
的取值范围是
x
2
y
A． (
,4]
B．[4,
)
C．[5,
)
D． (
,
)
4．函数 y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是
5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．
7
3
B．
14
3
C．3
D．6
6．已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差 0
a
d ，且 1
d
1
．记 1
b
等式不可能．．．成立的是
S ， 1
b
n
2
S
2
n
2
2–
S
n
， n
N ，下列
2a
A． 4
a
2
a
6
2b
B． 4
b
2
b
6
C． 2
a
4
a a
2 8
D． 2
b
4
b b
2 8
8．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数
y
3 4
上的点，则|OP|=
A． 22
2
B． 4 10
5
C． 7
D． 10
2
图象
x
9．已知 a，b R 且 ab≠0，对于任意 x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
10．设集合 S，T，S N*，T N*，S，T中至少有 2 个元素，且 S，T满足：①对于任意的 x，yS，若 x≠y，
则 xyT；②对于任意的 x，yT，若 x
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；
（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
20．（本题满分 15 分）
a
已知数列{an}，{bn}，{cn}满足 1
b
1
c
1
1,
c
n
a
n
1
,
a c
n
n
1
b
n
b
n
2
,
c n
n
*N ．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比 0
q ，且 1
b
b
2
，求 q的值及数列{an}的通项公式；
36
b
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差 0
d ，证明：
c
1
c
2
c
3
c
n
11
d
,
n
N
*
．
21．（本题满分 15 分）
如图，已知椭圆
2
xC
1 :
2
2
y
1
，抛物线
2 :
C y
2
2
(
px p
，点 A是椭圆 1C 与抛物线 2C 的交点，过点
0)
A的直线 l交椭圆 1C 于点 B，交抛物线 2C 于点 M（B，M不同于 A）．
（Ⅰ）若
p ，求抛物线 2C 的焦点坐标；
1
16
（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．
22．（本题满分 15 分）
已知1
a ，函数
f x
2
ex
，其中 e=2.71828…是自然对数的底数．
x a
（Ⅰ）证明：函数
y
f x
在 (0,
) 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 x0 为函数
y
f x
在 (0,
) 上的零点，证明：
（ⅰ）
a
1
x
0
2(
a
1)
；
（ⅱ）
x f
0
x
0
(e )
(e 1)(
a
1)
．
a
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共 40 分。
1．B
6．B
2．C
7．D
3．B
8．D
4．A
9．C
5．A
10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11．10
12．80,122
15． 3
3
,
2 3
3
16．
1 ,1
3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。
13．
17．
3 1,
5 3
28
29
14．1
18．本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养。满分 14 分。
（Ⅰ）由正弦定理得 2sin sin
B
A
3 sin
A
，故
sin
B ，
3
2
由题意得
B
π
3
.
（Ⅱ）由
A B C
得
π
C
由 ABC△
是锐角三角形得
A
，
A
2π
3
π π
6 2
(
,
)
.
由
cos
C
cos(
2π
3
)
A
1
2
cos
A
3
2
sin
A
得
cos
A
cos
B
cos
C
故 cos
A
cos
B
cos
C
A
A
1
2
sin
cos
3
2
的取值范围是 3 1 3
,
2
1
2
2
(
]
.
sin(
A
π
)
6
1
2
(
3 1 3
]
2
2
,
.
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学
运算等素养。满分 15 分。
（Ⅰ）如图，过点 D作 DO AC ，交直线 AC于点 O ，连结 OB.
由
ACD
45
， DO AC 得
CD
2
CO
，
由平面 ACFD⊥平面 ABC得 DO⊥平面 ABC，所以 DO BC
.
由
45
ACB
2
2
所以 BC⊥平面 BDO，故 BC⊥DB.
，
CD
BC
1
2
CO
得 BO BC
.
由三棱台 ABC DEF
得 BC EF∥ ，所以 EF DB
.
（Ⅱ）方法一：
过点 O 作 OH BD ，交直线 BD于点 H ，连结 CH .
由三棱台 ABC DEF
得 DF CO∥ ，所以直线 DF与平面 DBC所成角等于直线 CO与平面 DBC所成角.
由 BC 平面 BDO 得 OH BC ，故 OH 平面 BCD，所以 OCH
为直线 CO与平面 DBC所成角.
设
CD
2 2
.
由
DO OC
2,
BO BC
，得
2
BD
6,
OH
2
3
3
，
所以
sin
OCH
OH
OC
，
3
3
因此，直线 DF与平面 DBC所成角的正弦值为 3
3
.
方法二：
由三棱台 ABC DEF
得 DF CO∥ ，所以直线 DF与平面 DBC所成角等于直线 CO与平面 DBC所成角，记
为.
如图，以 O 为原点，分别以射线 OC，OD为 y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O xyz
.
设
CD
2 2
.
由题意知各点坐标如下：
B
(1,1,0),
O
(0,0,0),
OC
因此
D
(0,2,0),
C
BC
(0,0,2)
CD
.
(0, 2,2)
.
(0,2,0),
( 1,1,0),
设平面 BCD的法向量 ( ,
x y
n
,z)
.
BC
CD
n
n
0,
0,
由
即
x
2
2
z
y
y
0
0
，可取 (1,1,1)
n
.
所以
sin
| cos
OC
,
n
|
|
OC
|
OC
|
n |
|
n |
3
3
.
因此，直线 DF与平面 DBC所成角的正弦值为 3
3
.
20．本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分 15 分。
b
（Ⅰ）由 1
b
2
得
36
b
1
，解得
6q
q
2
q ．
1
2
由 1
c
n
得
c
n
4
nc
．
14n
由
a
n
1
a
n
1
得
4n
na
a
1
1 4
4
n
2
n
4
（Ⅱ）由 1
c
n
b
n
b
n
2
c
n
得
c
n
c
所以 1
c
2
c
3
c
n
1
d
b b c
1 2 1
b b
n n
d
1
(1
1
d
d
(
1
b
n
1
b
1
n
)
，
2
．
)
，
1
3
1
b
n
1
由 1 1
b ， 0
d 得 1
nb ，因此
0
c
1
c
2
c
3
c
n
1
1
d
,
n
N
*
．
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、
数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。
（Ⅰ）由
p 得 2C 的焦点坐标是
1
16
1(
32
,0)
．
（Ⅱ）由题意可设直线 :
l x my
(
t m
0,
t
，点 0
(
A x y ．
0)
)
,
0
将直线 l 的方程代入椭圆
所以点 M 的纵坐标
y
M
2
xC
1 :
2
mt
2
m
2
y
得 2
1
m
(
2
2)
y
2
mty
2
t
，
2 0
．
2
将直线 l 的方程代入抛物线
2 :
C y
2
2
px
得 2
y
2
pmy
2
pt
，
0
所以 0
My y
，解得
pt
2
y
0
2
2 (
p m
m
2)
，
因此
x
0
2
2)
2
2 (
p m
m
2
．
由
2
x
0
2
y
2
0
得
1
1
2
p
4(
m
2
m
2
)
2(
m
2
m
4
)
，
160
所以当
m ，
2
t
10
5
时， p 取到最大值 10
40
．
22．本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算
等素养。满分 15 分。
（Ⅰ）因为 (0) 1
，
0
a
f
f
(2)
2
e
a
2
2
e
，所以
4 0
y
( )
f x
在 (0,
) 上存在零点．
f x
因为 ( )
e
1x
，所以当 0
f x
x 时， ( )
，故函数 ( )
f x 在[0,
0
) 上单调递增，
所以函数以
y
（Ⅱ）（ⅰ）令
x
( )
g x
( )
f x
在 (0,
) 上有唯一零点．
21
x
2
g' x 在[0,
) 上单调递增，故当 0
， ( )
g' x
0)
1(
e
e
x
x
由（Ⅰ）知函数 ( )
x
1
x
( )
f x
，
a
1
x 时， ( )
g' x
g'
(0)
，
0
所以函数 ( )g x 在[0,
) 单调递增，故 ( )
g x
g
(0)
．
0
由 ( 2(
g
a
1)) 0
得
f
( 2(
a
1))
e
2(
a
1)
2(
a
1)
因为 ( )
f x 在[0,
) 单调递增，故
2(
a
1)
．
x
0
a
0
(
f x
0
)
，
令
( )
h x
x
e
2
x
x
1(0
， ( )
h' x
1)
x
x
e
2
x
1
，
令 1( )
h x
x
e
2
x
1(0
， 1 ( )
h' x
1)
x
x
1 ( )
h' x
1( )
h x
0
1
0
x
e
，所以
2
(0,ln 2)
ln 2
0
(ln 2,1)
1
e 2
e 3
故当 0
1x 时， 1( ) 0
h x ，即 ( ) 0
h' x ，所以 ( )h x 在[0,1] 单调递减，
因此当 0
1x 时， ( )
h x
h
(0)
．
0
由 (
h
a
1)
得
0
f
(
a
1)
e
a
1
a
1
0
a
(
f x
)
0
，
因为 ( )
f x 在[0,
) 单调递增，故
综上，
a
1
x
0
2(
a
1)
．
1a
．
x
0
（ⅱ）令 ( )
u x
x
e
(e 1)
x
， ( )
1
u' x
x
e
(e 1)
，所以当 1x 时， ( )
u' x ，
0
故函数 ( )u x 在区间[1,
) 上单调递增，因此 ( )
u x
u
(1)
．
0
ex
由 0
x
0
可得
a
x f
0
x
0
(e )
(
x f x
0
0
a
)
a
(e
1)
2
x
0
a
a
(e
2)
x
0
(e 1)
2
ax
0
，
x
由 0
a
1
得
x f
0
x
0
(e )
(e 1)(
a
1)
．
a
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