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《计算方法引论》-徐翠微主编..doc
拉格朗日插值
拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想：把插值多项式pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数
①构造插值函数
已知函数y=f(x)的两个插值点(x0,y0)，(x1,y1)，构造多项式y=p1(x)，使p1(x
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
记
则
p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
插值完毕！
注意性质：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(
称l0(x)，l1(x)为点x0、x1的线性插值基函数。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组
(2)二次插值
①构造插值函数
给定三个点{xi,f(xi)}, i=0,1,2,其中xi互不相同，构造函数f（x）的二次插值多项式
通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。令
例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912，sin13°=0.224951
解
L2(11.5)=0.199369.
(3)一般情况
两个插值点可求出一次插值多项式L1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式L2(x)。当插值点增加
Lagrange插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。牛顿
第三章 数据拟合
第十章 非线性方程求根
2009 ~ 2010 学年第 一学期
计算方法 教案
计 0701-0703
4h
第二章 插值法
知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。
实际问题中，时常不能给出 f（x）的解析表达式或 f（x）解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些 f
（x）的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)。因之，考虑近似方法成为自然之选。
定义：设 f（x）为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn 为[a，b]上的互异点，yi=f（xi）。若存在一个简单
函数（x），满足
（插值条件）（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。
则称（x）为 f（x）插值函数，f（x）为被插函数,点 x0,x1,…,xn 为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n 为插值
点。
于是计算 f（x）的问题就转换为计算（x）。
构造插值函数需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造(L 插值)；插值函数与被插函数的误差估计和收
敛性。
对插值函数（x）类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。
P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的 n 次插值多项式 pn(x)。但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多
项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。
pn(x)≈f(x)
插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）等分别给出了不同的解决方法。
拉格朗日插值
拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想：把插值多项式pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的
构造。
(1)线性插值
①构造插值函数
已知函数y=f(x)的两个插值点(x0,y0)，(x1,y1)，构造多项式y=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。
《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第二章 Lagrange 插值法
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由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y
y
0
+
y
1
x
1
0
x
x
0
)(1
xp
y
x
0
变形为
记
则
插值完毕！
p1(x)
x-x1
x0-x1
y0
x-x0
x1-x0
y1
l0(x)
x-x1
x0-x1
l1(x)
x-x0
x1-x0
p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1
注意性质：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1。
称l0(x)，l1(x)为点x0、x1的线性插值基函数。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值，相应多项式称拉格朗日线性插值多项式，记作L1（x）。
②误差
设L1（x）为插值点(x0,y0)，(x1,y1)的插值函数,f(x0)= y0,f(x1)=y1,f(x)一阶连续可导,二导数存在.则对任意给
定的 x∈[a,b],存在一点ξ∈[a,b],使
R1(x)
f(x)-L1(x)
f (ξ)（2）
2！
(x-x0)(x-x1)
,ξ∈[a,b]
引进辅助函数,利用洛尔定理即证，见 P17 定理 2.1。
(2)二次插值
①构造插值函数
给定三 个点{xi,f(xi)}, i=0,1,2,其中xi互不相 同，构造 函数 f（x）的 二次插 值多项式L2（x） ，满足 ：L
2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2。
通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。令
L2（x）=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
待定函数 li(x)应是二次函数，满足约束条件
li(xi)=1，li(xj)=0（i≠j），i，j=0，1，2。
此设 l0(x)=A(x-x1)(x-x2)，l1(x)=B(x-x0)(x-x2)，l2(x)=C(x-x0)(x-x1)。根据约束条件确定系数
A
1
B
1
C
1
(x0-x1)(x0-x2)
(x1-x0)(x1-x2)
(x2-x0)(x2-x1)
由此得
L2(x) (x-x1)(x-x2)
(x0-x1)(x0-x2)
f(x0)
+
(x-x0)(x-x2)
(x1-x0)(x0-x2)
+
f(x1)
(x-x0)(x-x1)
(x2-x0)(x2-x1)
f(x2)
②误差
R2(x)
f (ξ)（3）
3！
(x-x0)(x-x1)(x-x2)
,ξ∈[Min{x0,x1, x2,x}, Min{x0,x1, x2,x}]
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证明见 P22 定理 2.2。
例 设 sin11°=0.190809,sin12°=0.207912。用线性插值计算 sin11°30ˊ.
解
L1(x)
x-12
11-12
0.190809
x-11
12-11
0.207912
L1(11.5)=0.199361
f (ξ)（2）
R1(x)
2！
|R1(11.5)| ≤
1
2
(x-x0)(x-x1)
-Sin(ξ)
2！
(x-11)(x-12)
|(11.5-11)(11.5-12)|=0.125
例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912，sin13°=0.224951。用二次插值计算sin11°30ˊ
解
L2(x) (x-12)(x-13)
(11-12)(11-13)
0.190809 (x-11)(x-13)
+
(12-11)(12-13)
(x-11)(x-x12)
(13-11)13-12)
0.207912
0.224951
+
L2(11.5)=0.199369.
(3)一般情况
两个插值点可求出一次插值多项式L1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式L2(x)。当插值点增加到n+1个时，利
用Lagrange插值方法写出n次插值多项式Ln(x)。
)
(
xL
ly
k
x
(
)
n
n
k
k
详细说明见 P22-24，（2.20），（2.21）至（2.24）。
k
0
0
n
n
(
j
j
0
k
x
x
k
j
x
x
j
)
y
k
关于 Langrange 插值的几点说明
Ln(x)仅与已知数据(xi,yi),(i=0,1,…,n) 有关，与f(x)的原来形式无关，但余式与f(x)密切相关。
若f(x)本身是一个不超过n次多项式，则
内插（x位于x0,x1,…,xn之间）误差较小，外插有可能误差变大，慎用!插值点的增减,基函数要重新计算,很不方便!
,0)(
即
)(
xL
n
xR
n
)(
xf
≡
插值节点过多其精度不一定很好；limLn(x)=f(x),
x∈[a,b]一般不成立.
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第二章
插值法
知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。
Newton 插值法
Lagrange插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。
牛顿插值多项式克服了这一缺点：增加一个节点时，可在原插值多项式基础上增加一项构成高一阶的插值
多项式。
（1）差商即其性质
{ xj} n
定义 设函数 y=f(x)在区间[a,b]上 n+1 个互异节点 0
处的值
① 称
为：yi = f(xi) （i=0,1,2,… ,n）
j
[
]
,
xxf
j
x
i
)
(
xf
i
x
i
,
[
xxxf
k
(
xf
x
② 称
,
[
xxf
]
]
)
,
j
j
i
i
j
i
为 f(x) 在节点 xi, 上的一阶差商；
xj
j
,
[
xxf
k
x
k
]
为 在节点
f(x)
xi,
xj,
xk
上的二
阶差商；依次类推：
③ 称
,
[
xxf
1
0
,...,
x
n
]
[
,
xxf
1
0
,...
x
n
]
1
x
0
1
,
[
xxf
x
n
,...,
x
]
n
2
为
f(x)
在节点
x0, x1, …, xn
n
1
性质
其中
)(
x
0
,
[
xxf
1
上的 n 阶差商.
]
,...,
x
是
阶差商
(
xf
n
∑
'
(
x
0
j
)....(
x
[
,
xxf
1
0
(
x
,...,
n
x
)(
x
]
n
x
0
x
1
j
j
)
)
x
n
)
函数值
(
xf
j
()
j
,...,2,1,0
n
)
的线性组合，即
证 采用数学归纳法即证
性质 2 差商与节点排列顺序无关。
（2）线性牛顿插值
设互异 y0=f(x0)，y1=f(x1),构造线性插值函数的牛顿格式 N1(x)使 y0= N1 (x0)，y1= N1 (x1)。
利用点斜式，构造 N1(x)=a0+a1(x-x0)
由 f(x0)=N1 (x0)= a0
f(x1)= N1 (x1)= f(x0) +a1(x1-x0)
得
[
,
0 xxf
N1 (x)= f(x0) +
（3）二次牛顿插值
]
1
(x-x0)
a1=
)
0
(
xf
1
x
)
1
(
xf
x
0
,
[
0 xxf
]
1
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设互异 y0=f(x0)，y1=f(x1), y2=f(x2),构造二次牛顿插值多项式 N2(x)使 y0= N2(x0)，y1= N2(x1)，y2=
N2(x2)。
令 N2(x)=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0) (x-x1)
因在构造 N1 (x)过程中已得 a0和 a1，只要求出a2即可
由
得
f(x2)=N2(x2)= f(x0) +
,
[
0 xxf
]
1
(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)
a2=
N2(x2)= f(x0) +
[
,
0 xxf
]
1
(x2-x0)+
(4)一般情况
[
,
xxxf
,
0
1
]
2
(x2-x0)(x2-x1)
[
,
xxxf
,
0
1
]
2
设互异 yi=f(xi)，i=0,1,…,n。构造 n 次牛顿插值多项式 Nn(x)使 yi= Nn(xi)，i=0,1,…,n,。
根据差商定义
(
)(
xf
x
(
)
xf
0
...
(
x
x
0
x
0
)(
)
x
[
]
,
xxf
1
)...(
x
0
x
1
(
x
x
n
1
,
x
)(
x
0
)
[
,
xxf
1
,
)
xxxfx
1
,...
[
x
0
]
1
0
n
]
2
n
1
x
x
xx
)(
x
1
)...(
(
)(
x
x
x
0
)(
)(
xN
xR
n
n
n
)(
}{
xR)(n xN
)(
x
xf
分别为
在节点
、
0
n
i
)(n+1 x
)...(
(
x
x
x
)(n xN
N
1
0
)(
x
其中
)
n
,
,[
xxxf
1
0
,...
x
n
]
Newton
上的
xx
x
x
)(
n
1
插值公式和余项。
)
n
,
[
xxf
1
0
,...
x
n+1
]
（1）高阶插值与龙格现象
分段插值
构造插值多项式时，根据误差表达式，是否多取插值点比少取插值点好？不一定！若被插函数是多项
式，则多取插值点比少取插值点好。但对某些函数，有时插值点越多，效果越不理想。例如给定
f(
=x)
1
25x
2
1
x[-1,1]
对[-1，1]作等距分割，取 h=2/10=0.2，xi= -1+0.2i，
i=0，1，…，10。构造 10 次插值多项式 L10(x),在 0 点附近, L10(x)近似 f(x)的效果好，但在 x=-0.90,-0.70,
0.70, 0.90 时，误差较大！插值多项式在插值区间内有激烈振荡，这种现象称龙格现象。P29 图 2-4。
，
1
2
i
)
,x(
i
1
25x
龙格现象揭示了插值多项式的缺陷，表明高次多项式的插值效果不一定优于低次多项式的插值效果。
插值误差由截断误差和舍入误差组成，由插值节点和计算产生的舍入误差，在插值过程中可能被扩散
或放大，造成插值不稳定，高次多项式的稳定性一般比较差。
（2）分段线性插值
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加密插值节点不一定能使插值函数很好逼近被插函数，于是就有了分段线性插值的概念。
基本思想：给定区间[a，b]，作分割 a=x0
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知识点：曲线拟合，最小二乘法。
（1）曲线拟合问题
第三章 数据拟合
离散数据曲线拟合
实践活动中，如果只能观测或测量到函数y=f(x)的一组离散的实验数据: (xi,yi)，i=0.1.2…,n。则当这
些数据比较准确时，可以构造插值函数x)逼近f(x),只要满足插值原则:
(i=0.1.2…,n)
xi)= yi
如果离散数据序列(xi,yi)带有不可避免的误差（噪音）：插值原则限定可能使误差保留和扩散。
如果在非插值节点处插值函数x)不能很好近似f(x)，误差可能很大。
如果实验数据很多，因插值节点多,得到的插值多项式的次数较高：不仅计算量过大,而收敛性和稳定
性不能保证,会出现龙格现象,逼近效果不好！
于是，构造的逼近函数x)最优靠近样点（如图）成为理想选择，即向量 T=（x0)，
x1)，…xn)）与 Y=（y0，y1，。。。，yn）的误差和距离最小。按 T 和 Y 之间误差最小原则作为最优标准
构造的逼近函数称拟合函数。
y=x)
-4
4
2
-2
2
4
样点
如何为f(x)找到一个既简单又合理的逼近函数x)？通常采用曲线拟合方法来处理，曲线拟合就是构
造近似函数x)，在包含全部基节点xi(i=0.1.2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x)，不必满足插值原则。
这类问题称曲线拟合问题，近似函数y=x)称经验公式或拟合曲线或函数。拟合法则根据数据集(xi,yi)，
i=0.1.2…,n 找出其间合适的数学公式，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的曲线x)，不要求曲
线x)通过所有的点(xi,yi)，但要求这条曲线x)能尽可能靠近这些数据点或样点，即各点误差δi=xi)-yi
按某种标准达到最小。通常用误差的 2-范数平方（均方误差或误差平方和）
n
2
i
2
2
∑
0
i
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作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小—最小二乘原理作为最优标准构造拟合曲线的方法为曲线拟
合的最小二乘法。
（2）多项式拟合
①线性拟合
给定一组(xi,yi)，i=0.1.2…,n。构造线性拟合函数p1(x)=a+bx，使均方差
2
2
n
∑
2
i
i
0
2
∑ (p1xi)-yi)
n
i
0
∑ (abxi-yi) =F(a,b)
2
n
i
0
达到最小。即如何选择 a、b，使 F(a,b)达到最小，转化为求多元函数 F(a,b)极小值问题。F(a,b)取极小值
应满足
F(a,b)
a
F(a,b)
b
整理得到拟合曲线满足
∑(abxi-yi)
xi
∑(abxi-yi)
0
n
i
n
i
0
n
n
∑xi
i
0
n
∑xi
i
0
n
2
∑xi
i
0
a
b
n
yi
∑
i
0
n
∑xiyi
i
0
上式称为拟合曲线的法方程组或正则方程组。用消元法或克莱姆法则求解方程组得
a
n
n
∑yi
∑xi
（
i
i
0
0
-2
n
n
∑xiyi
∑xi
0i
i
0
n
）
（
n
2
∑xi
i
0
n
2
∑xi（ ）
）
-
i
0
b
n
（
n
∑xiyi
0i
-
n
n
yi
∑xi
∑
i
i
0
0
）n
（
n
2
∑xi
i
0
得到均方误差意义下的拟合函数p1(x)。
②二次拟合
n
2
∑xi（ ）
）
-
i
0
给定一组(xi,yi)，i=0.1.2…,n。用二次多项式拟合这组数据。
设p2(x)= a 0+ a 1x+a 2x，作出拟合函数与数据序列的均方误差：
2
F(a0,a1,a2)
n
2
∑ (p2xi)-yi)
i
0
∑ (a 0a 1xi+a2 xi -yi)
2
n
i
0
类似线性拟合，根据最小二乘和极值原理:
2
(
2
2
∑ )
2
i
n
i
0
∑(a 0a 1xi+a2 xi -yi)
2
F
a 0
F
a 1
n
i
n
0
i
0
《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第二章 Lagrange 插值法
∑(a 0a 1xi+a2 xi -yi) xi
2
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