2013年广东暨南大学高等代数考研真题.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.19M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2013 年广东暨南大学高等代数考研真题学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数考试科目代码：810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分.）： 1、多项式 ( ) f x  3 2 x  2 x  4  有重因式，那么t  _________________. x t 2、行列式 0 0 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 3 4 A 的第三行元素的代数余子式 31  A 32  A 33  A 34  _____. 3、如果三阶矩阵 A        0 0 1  0 0   1     那么 nA  ___________________. 4 、已知两向量 1   (1,2,4) ,   2 (2,1,7) , 那么与 1 2 ,  线性无关的所有向量为 _____________________. 5、矩阵方程 X    1 3 2 4        3 2 6 5    , 那么 X  _______________________. 6、设数域 F 上的三维列向量空间V 上的线性变换在基 1 { , e e e 下的矩阵是 , } 3 2 1 2 1      1  0 2 2   1   1  { , e e e 下的矩阵是__________________________. 那么在基 3 , } 1 2 7、已知 A 是 n 阶实对称矩阵，当实数 s 充分大时，sI A 一定是正定矩阵，那么给出 s 应满足的下界是_____________. 二、在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分） 1、下面论述中, 正确的有几条_______________ 1

(1) 奇数次实系数多项式必有实根； (2) 代数基本定理适用于复数域； (3) 如果 ( ) | f x ( ), g x ( ) | f x h x ，那么 ( ) | ( ( ) ( ) g x f x h x ( )) ; (4) 如果 ( ( ), f x g x  ，那么 ( ( )) 1 ( ) f x  ( ), g x ( ) f x  ( )) 1 g x  . A 1 B 2 C 3 D 4 2、 1 3 2 0 0 2 1 3 0 0 3 2 1 0 0 1 3 2 1 2 2 1 3 3 4  ____________ A 18 B 36 C -18 D -36        x 1 3 x 1 5 x 1 7 x 1 9 x 1 x  2 2 3 x  2 2 5 x  2 2 7 x  2 2 9 x  2      x 3 3 3 x 3 3 5 x 3 3 7 x 3 3 9 x 3      x 4 4 3 4 5 7 4 9 4      x 4 x 4 x 4 x 4 x 5 5 3 5 5 5 7 5 9 x 5 x 5 x 5 x 5 1  2  3  4  5  3、已知 ,那么此方程组__________ A 无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 解的个数有限 4、已知矩阵 A       2 1 0 1 2 0 0 0 t      , B       5 5 5 0 3 3 0 0 1      ,要使 A 和 B 相似，则 t=_____ A 0 B 1 C 3 D 5 5、向量组 1     的秩是 3，向量组 1     的秩是 4，那么 1 2 3 4 2 3 5      4 ,3 4 , , 2 3 5 , , , , , , 的秩是_____ A 2 B 3 C 4 D 无法确定 6、下列关于二次型的陈述正确的是___________ A 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 B 若 A 负定，则 A 的所有顺序主子式全小于零 C 若 A 为负定矩阵，则必有| | 0A  D 实对称矩阵 A 半正定当且仅当 A 的所有顺序主子式全大于或等于零 2

7、下列矩阵在实数域上合同于单位阵的是__________________ A      1 1 1 1 1 1 1 1 1      B      1 0 1 0 1 0 1 0 1      C      1 2 1 2 7 1 1 1 8      D         2  1 2 1  3  3 2  2 3 2 4          三、(15 分) 求矩阵 A  9 18 18      6  12  9     2 3 6      的若当标准形. 四、（15 分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系        x 1 x 1 4 x 1 2 x 1   2  4  x 2 x 2 x  2 x  2 3   6 x 3 2 x 3 x 4 2 x 3 3  4   x 4 x 4 x 5 x 4 4 x 5 7 x 5    2  1  8  9  五、(15 分) 设二次型 1 2 , ( f x x x 3 , )  x x 1 2  x x 1 3  x x 2 3 ,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准型. 六、(15 分) 设 A 1   2    0  2 0  0 1 0 3      ,求正交矩阵 T,使得 TT AT 是对角矩阵. 七、（12 分）证明： 18 x 在有理数域上不可约. 八、（12 分）设 f 为 n 维线性空间V 上的双线性函数，令 W 1 W 2  {   fV | ( )  ,  {   fV | ( )  ,   ,0 V },   ,0 V }, 证明: 1W 与 2W 都是V 的线性子空间，且 dim W  1 dim W . 2 九、（24 分） (1) 证明实矩阵 A  ( a )ij m n  与 B  ( )ij b  l n 行向量组等价的充要条件是齐次线性方程组 Ax  与 0 Bx  同解. 0 (2) 证明 ( ) r A A T ) r A ( ,其中实矩阵 A  ( a )ij m n  ， TA 为 A 的转置. 3

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