2005 年西藏高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.
第 I 卷
参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn(k)=C k
n Pk(1-P)n-k
球的表面积公式
2R
S=4
其中 R 表示球的半径,
球的体积公式
3
V=
4 R ,
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.
1.已知为第三象限角,则
2
所在的象限是
A.第一或第二象限
C.第一或第三象限
B.第二或第三象限
D.第二或第四象限
(
)
2.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为
(
)
A.0
B.-8
C.2
D.10
3.在
(
x
)(1
x
8)1
的展开式中 5x 的系数是
(
)
A.-14
B.14
C.-28
D.28
4.设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA=QC1,则四棱锥
B-APQC 的体积为
A.
1
6
3 x
V
1
7
5.设
,则
B.
1
4
V
C.
1
3
V
(
)
D.
1
2
V
A.-2
x 轴的距离为
A.
4
3
B.
5
3
C. 2 3
3
D. 3
(
)
10.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为
等腰直角三角形,则椭圆的离心率是
(
)
A. 2
2
B. 2 1
2
C. 2
2
D. 2 1
11.不共面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面共有
(
)
A.3 个
B.4 个
C.6 个
D.7 个
12.计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数
符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16 进
制
10 进
制
例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A×B=
A.6E
B.72
C.5F
(
)
D.B0
第Ⅱ卷
二.填空题:每小题 4 分,共(16 分)
13.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执
“一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座
谈摄影,如果选出的 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一
般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多
人.
14.已知向量
OA
( ,12),
k
OB
(4,5),
OC
(
k
,10)
,且 A、B、C 三点共线,则 k=
.
15.曲线
y
2
x
3
x
在点(1,1)处的切线方程为
.
16.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC
的距离乘积的最大值是
三.解答题:共 74 分.
17.(本小题满分 12 分)
已知函数
)(
xf
sin2
2
x
,2sin
xx
].2,0[
求使 ( )
f x 为正值的 x 的集合.
18.(本小题满分 12 分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内,甲、
乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概
率为 0.125,
(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;
(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
19.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD.
(Ⅰ)证明 AB⊥平面 VAD;
(Ⅱ)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小.
20.(本小题满分 12 分)
在等差数列 }{ na 中,公差
d
,0
a
与是
a
1
a
2
4
的等差中项.
已知数列
,
aaa
1
,
3
,
a
k
2
,
k
1
,
a
,
nk
成等比数列,求数列 }{ nk 的通项 .nk
21. (本小题满分 12 分)
用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容
积最大?最大容积是多少?
22. (本小题满分 14 分)
设
(
(
xByxA
),
,
1
1
,
y
2
)
2
两点在抛物线
y
22x
上, l 是 AB 的垂直平分线,
(Ⅰ)当且仅当
x 取何值时,直线l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论;
1
x
2
(Ⅱ)当
x
1
,1 2
x
3
时,求直线l 的方程.
参考答案
一、DBBCA,CCBCD,BA
二、13、3,14、
三、解答题:
,15、x+y-2=0,16、12
2
3
17.解:∵ ( ) 1 cos 2
f x
x
sin 2
x
……………2 分
1
2 sin(2
x
( ) 0
f x
1
2 sin(2
x
4
) 0
………4 分
)
4
…………………………………………6 分
sin(2
x
)
4
4
k
x
3
4
2
2
5
4
4
k
2
k
2
x
2
k
……………………………8 分
………………………………………………10 分
又 [0,2 ].
x
∴
x
(0,
3
)
4
( ,
7
)
4
………………………12 分
18.解:(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,……1 分
则 A、B、C 相互独立,
由题意得: P(AB)=P(A)·P(B)=0.05
P(AC)=P(A)·P(C)=0.1
P(BC)=P(B)·P(C)=0.125…………………………………………………………4 分
解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5……6
分
(Ⅱ)∵A、B、C 相互独立,∴ A B C、、 相互独立,……………………………………7 分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
(
P A B C
)
(
(
P A P B P C
)
(
)
)
0.8 0.75 0.5
0.3
…………………………10 分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
p
1
(
P A B C
) 1 0.3 0.7
……12 分
19.证明:(Ⅰ)作 AD 的中点 O,则 VO⊥底面
V
Z
D
O
A
X
C
Y
B
ABCD.…………………………1 分
建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1,…………………………2 分
则 A(
1
2
,0,0),B(
1
2
,1,0),C(-
AB
∴
(0,1,0),
AD
(1,0,0),
AV
(
1
2
1
2
,1,0),D(-
1
2
,0,0),V(0,0,
3
2
),
,0,
3
2
)
………………………………3 分
AB AD
由
(0,1,0) (1,0,0) 0
AB AD
……………………………………4 分
AB AV
(0,1,0) (
1
2
,0,
3
2
) 0
AB AV
……………………………………5 分
又 AB∩AV=A ∴AB⊥平面 VAD…………………………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
AB
(0,1,0)
是面 VAD 的法向量………………………………7 分
n
设 (1,
, )
y z
是面 VDB 的法向量,则
n VB
n BD
0
0
(1,
, ) (
y z
,1,
1
2
(1,
, ) ( 1, 1,0) 0
y z
3
2
) 0
x
z
1
3
3
n
(1, 1,
3
3
)
……9 分
∴
cos
,
AB n
3
3
)
21
7
(0,1,0) (1, 1,
1
21
3
分
,……………………………………11
又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为
arccos
21
7
…………12 分
20.解:由题意得:
2
a
2
aa
1
4
……………1 分 即
(
a
1
2
d
)
(
aa
1
1
)3
d
…………3 分
又
d
0,
a 1
d
…………4 分
又
,
aaa
1
,
3
,
a
k
2
,
k
1
,
a
,
nk
成等比数列,
∴该数列的公比为
q
a
3
a
1
3
d
d
3
,………6 分
所以
a n
k
1
n
1 3
a
………8 分
又
a
kn
a
1
(
k
n
)1
d
ak
1
n
……………………………………10 分
nk
13
n
所以数列 }{ nk 的通项为
nk
13
n
……………………………12 分
21.解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,……………………………………………1 分
则 V=(90-2x)(48-2x)x,(00,
所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960………………………………………10 分
又 V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11 分
所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960……………………………………………12 分
1036 时,V′>0,
22.解:(Ⅰ)∵抛物线
y
22x
,即
2
x
p
,
y
2
1
4
,
∴焦点为
F
1(0,
8
)
………………………………………………………1 分
(1)直线l 的斜率不存在时,显然有
x
1
x
2
0
………………………………3 分
y
(2)直线l 的斜率存在时,设为 k,
即直线l :y=kx+b
由已知得:
y
x x
2
k
y y
x x
2
1
k
b
2
1
2
1
2
1
2
1
……………5 分
截距为 b
2
x
2
1
2
2
2
x
2
2
k
2
x
x
x x
2
1
1
2
2
2
2
b
1
x x
2
1
k
x x
2
1
2
2
k
x x
1
2
1
x x
2
1
2
k
2
b
……………7 分
x
2
1
x
2
2
b
1
4
0
b
1
4
即l 的斜率存在时,不可能经过焦点
F
1(0,
8
)
……………………………………8 分
=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F…………………………9 分
2
1
x x
x
1,
2
时,
3
所以当且仅当
(Ⅱ)当
x
1
1
2
2
2
1
x
x
x x
k
2
1
4
41
4
b
直线l 的斜率显然存在,设为l :y=kx+b………………………………10 分
则由(Ⅰ)得:
x x
2
1
2
k
x x
2
1
2
k
………………………11 分
2
k
10
b
b
k
1
1
2
2
…………………………………………13 分
所以直线l 的方程为
y
x
1
4
,即 4
y
x
41
4
41 0
………………14 分