2018 年湖南省怀化市中考数学真题及答案
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号
内.
1.(2018 湖南省怀化市,1,4 分) -2018 的绝对值是(
)
A.2018
B.-2018
C.
1
2018
D. 2018
【答案】A
2 .(2018 湖南省怀化市,2,4 分)如图,直线 a//b, 1 = 60 ,则 2 =(
)
A. 30
B. 60
C. 45
120
D.
【答案】B
3.(2018 湖南省怀化市,3,4 分)在国家“一带一路”战略下,我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列。
行程最长,途径城市和国家最多的一趟专列全程长 13000km,将 13000 用科学记数法表示为(
)
A.13× 310
B.1.3× 310
C.13× 410
D.1.3× 410
【答案】D
4.(2018 湖南省怀化市,4,4 分)下列几何体中,其主视图为三角形的是(
)
【答案】D
5.(2018 湖南省怀化市,5,4 分)下列说法正确的是(
)
A.调查舞水河的水质问题,采用抽样调查的方式
B.数据 2,0,-2,1,3 的中位数是-2
C.可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生
D.从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查,样本容量为 2000 名学生
【答案】A
6.(2018 湖南省怀化市,6,4 分)使
3-x 有意义的 x 的取值范围是(
)
A. x ≤3
B. x <3
C. x ≥3
D. x >3
【答案】C
7.(2018 湖南省怀化市,7,4 分)二元一次方程组
x
x
2
y
y
2
的解是(
)
A.
x
y
0
2
B.
x
y
0
2
C.
x
y
2
0
D.
x
y
2
0
【答案】B
8.(2018 湖南省怀化市,8,4 分)下列命题是真命题的是(
)
A.两直线平行,同位角相等
C.菱形的对角线相等
B.相似三角形的面积比等于相似比
D.相等的两个角是对顶角
【答案】A
9.(2018 湖南省怀化市,9,4 分)一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h,它以最大航速沿江顺流航行
100km 所用时间,与以最大航速逆流航行 80km 所用时间相等,设江水的流速为 v km/h,则可列方程为
(
)
A.
100
30
v
【答案】C
=
80
v
30
B.
100
30
v
80
30
v
C.
100
30
v
80
30
v
D.
100
30
v
80
30
v
10.(2018 湖南省怀化市,10,4 分)函数
y
kx
3
与
y ( 0k )在同一坐标系内的图像可能是(
k
x
)
【答案】B
【解析】因为当 0k 时,
y
kx
3
过一、三、四象限,反比例函数
当 0k 时,
y
kx
3
过二、三、四象限,反比例函数
所以 B 正确,故选 B.
y 过一、三象限,
y 过二、四象限.
k
x
k
x
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
11.(2018 湖南省怀化市,11,4 分) 因式分解:
【答案】
_________.
ac
(
cba
)
ab
12.(2018 湖南省怀化市,12,4 分)计算: a2 ∙
a3 ________.
【答案】 5a
13.(2018 湖南省怀化市,13,4 分) 在一个不透明的盒子中,有五个完全相同的小球,把它们分别标号
1,2,3,4,5,随机摸出一个小球,摸出的小球标号为奇数的概率是________.
【答案】
3
5
14.(2018 湖南省怀化市,14,4 分)关于 x 的一元二次方程
22
x
mx
0
有两个相等的实数根,则 m 的
值是________.
【答案】1
15.(2018 湖南省怀化市,15,4 分)一个多边形的每一个外角都是 36 ,则这个多边形的边数为________.
【答案】这个多边形的边数是:
16.(2018 湖南省怀化市,16,4 分)根据下列材料,解答问题.
.故答案为 10.
360
36
10
等比数列求和:
概念:对于一列数 a1 , a2 , a3 ,…, an ,…( n 为正整数),若从第二个数开始,每一个数与前一个
数的比为一定值,即
a
k
1
k
a
q
(常数),那么这一列数 a1 , a2 , a3 ,…, an ,…这一列数成等比数
列,这一常数 q 叫做该数列的公比。
例:求等比数列 1,3, 23 , 33 ,…, 1003 的和.
解:令
S
331
2
3
3
100
3
则
3
S
33
2
3
3
4
3
101
3
因此,
-3
SS
101
3
1-
,所以,
S
即
331
2
3
3
100
3
1-
101
3
2
1
3101
2
仿照例题,等比数列 1,5, 25 , 35 ,…, 2018
5 的和为________.
【答案】
S
1-
52019
4
【解析】令
S
551
2
3
5
5
2018
○1 ,则
5
S
55
2
3
5
4
5
5
2019
○2 ,
由○2 -○1 得,
4
S
5
2019
1-
,所以
S
1-
52019
4
三、解答题(本大题共 8 小题,满分 86 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2018 湖南省怀化市,17,8 分)计算:
sin2
30
(
)2
13
1(
2
1)
解:
sin2
30
(
)2
13
1(
2
1)
=2×
1 -1+ 2 +2
2
= 2 +2
18.(2018 湖南省怀化市,18,8 分)解不等式组
23
3
x
x
(5
3)1
x
7
1
x
,并把它的解集在数轴上表示出来.
23
x
7
解:
x
3
(5
解不等式○1 :
3
x
2
x
3-7
4x
x
3)1
x
1
35
解不等式○2 :
所以不等式的解集为:
5
x
x
3
x
15
2 x
4
2x
x
2
1
x
5
4
19.(2018 湖南省怀化市,19,10 分)已知:如图,点 A,F,E,C 在同一直线上,AB//DC,AB=CD,
B
D
(1)求证: ABE CDF;
(2)若点 E,G 分别为线段 FC,FD 的中点,连接 EG,且 EG=5,求 AB 的长.
解:(1)证明:∵AB//DC ∴
AEB
CFD
,又∵
B
D
AED
,
D
B
,AB=CD,∴在 ABE 和 CDF 中,
,
AB
CD
CFD
,
∴ ABE CDF(AAS)
(2)∵点 E,G 分别为线段 FC,FD 的中点,∴线段 EG 为 CDF
的中位线,根据三角形中位
线的性质定理,可得:
EG
1
2
∴
1
2
AB ,即
5
10AB
.
CD
,又∵ ABE CDF ∴AB=CD ∴
EG
1
2
CD
1
2
AB
5
,
20.(2018 湖南省怀化市,20,10 分)某学校积极相应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进
A,B 两种树苗,共 21 棵,已知 A 种树苗每棵 90 元,B 种树苗每棵 70 元.设购买 A 种树苗 x 棵,购买
两种树苗所需费用为 y 元.
(1)求 y 与 x 的函数表达式,其中
(2)若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费
用.
x
21
;
0
解:(1)设购买 A 种树苗 x 棵,则购买 B 树苗(21- x )棵,由已知得,
y
90
x
21(70
x
)
20
x
1470
( x
为整数且
0
x
21
)
(2)由已知得:(21- x )< x ,解得:
取最小值,最小值为 1470.
21x
2
.∵
y
20
x
1470
中得 20>0,∴当 0x 时, y
答:费用最省得方案为购买 A 种树苗 0 棵,B 种树苗 21 棵,此时所需费用为 1470 元.
21.(2018 湖南省怀化市,21,12 分)为弘扬中华传统文化,我你市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建
课外兴趣小组,因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查,将收集的数据整理并绘制成下列
两幅统计图,
请根据图中的信息,完成下列问题;
(1)学校这次调查共抽取了_______名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“戏曲”所在扇形的圆心角度数为________;
(4)设该校共有学生 2000 名,请你估计该校有多少名学生喜欢书法?
解:(1)设学校共抽取了 y 名学生,则有
10
y
10
%,得出 y =100,即学校共抽取了 100 名学生.
(2)设喜欢民乐的有 x 人,则有
360 ×10%= 36
(3)
(4)2000×25%=500(名)
x
100
20
%,则 x =20
22.(2018 湖南省怀化市,22,12 分)已知:如图,AB 是ʘ O 的直径,AB=4,点 F,C 是ʘ O 上两点,连
接 AC,AF,OC,弦 AC 平分 FAB, BOC
= 60 ,过点 C 作 CD AF 交 AF 的延长线于点 D,垂足为点 D.
(1)求扇形 OBC 的面积(结果保留);
(2)求证:CD 是ʘ O 的切线.
解:(1) BOC
= 60 ,直径 AB=4,即半径等于 2,∴扇形 OBC 的面积=
(2)证明:∵
OA
OC
R
∴
OAC
OCA
60
360
.又因为 CA 平分 BAF
2
2
2
3
,所以
OAC
FAC
,
于是
FAC
OCA
,所以 OC // AD .又因为
CD ,所以
AD
CD ,故 CD 是ʘ O 的
OC
切线.
23.(2018 湖南省怀化市,23,12 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,点 E 为 CD 边上一点,AE
与 BE 分别为 DAB 和 CBA 的平分线.
(1)请你添加一个适当的条件________,使得四边形 ABCD 是平行四边形,并证明你的结论;
(2)作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O,并以 AB 为直径作ʘ O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,
不写做法);
(3)在(2)的条件下,ʘ O 交边 AD 于点 F,连接 BF,交 AE 于点 G,若 AE=4,sin AGF=
4 ,求ʘ O
5
的半径.
解:(1)令 AD=BC,又∵AD//BC,根据平行四边行的判定定理,∴四边形 ABCD 是平行四边形.
(2)∵ʘ O 交边 AD 于点 F,∴点 F 为圆上一点,∴
AFG
90
,因为 AE 与 BE 分别为 DAB
和 CBA 的平分线,AD//BC,所以
的角平分线,∴
又∵AE 为 DAB
EAB
FAG
EAB
AFG
AEB
,
FAG
EAB
,∴ AFG
∽ EAB
EBA
90
,即得,在 AEB
中,
AEB
90
,所以在三角形 AFG 和三角形 AEB 中,有
4 ,
5
AE =sin ABE
AB
,∴sin AGF=
=
已知 AE=4,所以可得出直径 AB=5,即半径等于 2.5.
24.(2018 湖南省怀化市,24,14 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线
y
ax
2
2
x
c
与 x 轴交于 A
(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式;
(2)请在 y 轴上找一点 M,使 BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标;
(3)试探究:在抛物线上是否存在点 P,使以点 A,P,C 为顶点,AC 为直角边的三角形是直角三角形?
若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把点 A(-1,0)和 B(3,0)代入抛物线
y
ax
2
2
x
c
中,可得○1 :
2 ca
,○2 :
9
ca
6
○2 -○1 得:
8
a
8
,所以
1a
.然后把
1a
代入○1 可得: 3c .
把
1a
和 3c 代入
y
ax
2
2
x
c
,得出抛物线解析式:
y
x
2
2
x
3
因为抛物线与 y 轴相交,令 0x ,则 3y ,所以,点 C 的坐标为(0,3),
设直线 AC 的解析式为
,
y
kx
b
则
b
b
k
3
0
,
解得
k
b
3
3
.
所以,直线 AC 的解析式为
y
x
3
3
;
(2)过点 D 作
DD 1 轴于点 F,使
y
DF
FD
1
,则 1D 为点 D 关于 y 轴的对称点.连接 1BD 交
y 轴于点 M,则点 M 为所求,
过点 D 作
y
DD 1 轴于点 F,
4,
根据抛物线顶点公式(
-
2
B 点的坐标为(3,0).
b
a
2
ac
b
4
a
DF
FD
1
,D 点为抛物线的顶点,
)可得 D 点的坐标(1,4),则 1D 的坐标为(-1,4)
设直线
1BDl 的解析式为
y
kx
b
,把 B(3,0)和 1D (-1,4)两点代入解析式中可得:
0
3
k
b
4
b
k
即
k
b
1
3
,则直线
1BDl 的解析式为
y
3 x
,令 0x 可得 3y ,则点 M 的坐标为(0,3).
(3)存在.
当 ACP
是以点为 C 直角顶点时,如图,过点 C 作 CP 垂直于 AC 于 C 点,交抛物线于点 P,C
点坐标为(0,3),则可得直线 CP 的解析式为
y
1
x
3
3
.
直线 CP 与抛物线交于 P 点,联立解析式得:
y
y
x
1
3
2
x
3
2
x
3
,则
x
1
x
2
,0
7
3
y
1
3
,
y
1
20
9
,P 点坐
标即 P(
当 ACP
20
9
7 , )
3
是以点 A 为直角顶点时,如图,过点 A 作 AP 垂直于 AC 于 A 点,交抛物线于点 P,A
点坐标为(-1,0),则可得直线 AP 的解析式为
y
1
x
3
1
3
.
直线 AP 与抛物线交于 P 点,联立解析式得:
y
y
点坐标即 P(
10 , )
3
11-
3
1
3
2
x
x
1
3
2
x
x
1
x
2
,1
10
3
y
1
0
,
y
2
11
3
,P
,则
3