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2020年新疆高考理科数学试题及答案.doc
2020 年新疆高考理科数学试题及答案
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分 150 分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 (
)
U A B
ð
A．{−2，3}
B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3}
D．{−2，−1，0，2，3}
2．若α为第四象限角，则
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大
幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份
订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，
为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环
绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石
板(不含天心石)
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2
x
y 的距离为
3 0
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
3 5
5
D．
4 5
5
6．数列{ }na 中， 1
a ， m n
2
a
a a
m n
.若
a
k
1
a
k
2
a
k
10
15
2
5
2
，则 k
A．2
B．3
C．4
D．5
7．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对
应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为
A． E
B． F
C．G
D． H
8．设O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
若 ODE△
的面积为 8，则C 的焦距的最小值为
1(
a
0,
b
的两条渐近线分别交于 ,D E 两点，
0)
A．4
B．8
C．16
D．32
x
9．设函数 ( )
f x
ln | 2
1|
A．是偶函数，且在 1(
2
,
单调递增
)
ln | 2
x
1|
，则 f(x)
(
B．是奇函数，且在 1 1
,
2 2
1
2
(
,
)
单调递减
C．是偶函数，且在
1
2
10．已知△ABC是面积为 9 3
的等边三角形，且其顶点都在球 O的球面上．若球 O的表面积为16π ，则 O
4
单调递增
单调递减
D．是奇函数，且在
(
)
)
,
到平面 ABC的距离为
A． 3
B． 3
2
11．若 2x－2y<3−x－3−y，则
C．1
D． 3
2
A．ln(y-x+1)>0
B．ln(y-x+1)<0
C．ln∣x-y∣>0
D．ln∣x-y∣<0
a a
12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 1 2
a 满足 {0,1}(
i
ia
n
1,2,
，且存在正整数 m ，
)
使得
a
i m
(
a i
i
1,2,
成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足
)
a
i m
(
a i
i
1,2,
的最小正整数 m 为
)
a a
这个序列的周期．对于周期为 m 的 0-1 序列 1 2
a ，
n
( )
C k
1
m
m
i
1
a a
i
i k
(
k
1,2,
,
m
1)
是描述其性
质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足
( )
C k
1
5
(
k
1,2,3,4)
的序列是
A．11010
B．11011
C．10001
D．11001
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．
14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不
同的安排方法共有__________种．
|
15．设复数 1z ， 2z 满足 1
z
|=|
z
z ， 1
2
|=2
z
2
3 i
z
，则 1
|
z
2
|
=__________．
16．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
p
① 1
p
4
p
② 1
p
2
p
③ 2
p
3
p
④ 3
p
4
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
ABC△
中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求 ABC△
周长的最大值．
18．（12 分）
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物
的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，
调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi分别表示第 i个样区的植物覆盖面积(单位：
公 顷 ) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ， 并 计 算 得
20
ix
i
1
60
，
20
iy
i
1
1200
，
20
i
1
(
x
i
2
x
)
8
0
，
20
i
1
(
y
i
2
y
)
9000
，
20
i
1
( i
x
x
)(
y
i
y
) 800
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的
平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数
r
n
i
1
(
x
i
x
)
(
y
i
y
)
n
i
1
(
x
i
2
x
)
n
1
i
(
y
i
y
2
)
， 2 1.414
．
19．（12 分）
已知椭圆 C1：
2
2
x
a
2
2
y
b
(a>b>0)的右焦点 F与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F
1
且与 x轴垂直的直线交 C1 于 A，B两点，交 C2 于 C，D两点，且
CD
4
3
AB
．
（1）求 C1 的离心率；
（2）设 M是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程．
20．（12 分）
如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N分别为 BC，B1C1 的中点，P
为 AM上一点，过 B1C1 和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F．
（1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN所成角的正弦值．
21．（12 分）
已知函数
( )
f x
sin sin2
x
2
x
．
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
( )
f x
3 3
8
；
（3）设
n N ，证明： 2
2
sin sin 2 sin 4
x
x
*
2
x
2
sin 2
n
x
n
3
4
n
．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错
涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为
C1：
x
y
，
2
4 cos
2
4sin
（θ为参数），C2：
x
t
y
t
1,
t
1
t
（t为参数）．
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且
经过极点和 P的圆的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．
（1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集；
（2）若 f(x)≥4，求 a的取值范围．
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．C
5．B
6．C
7．A
8．B
9．D
10．C
11．A
12．C
13．
2
2
14．36
15． 2 3 16．①③④
17．解：（1）由正弦定理和已知条件得 2
BC
2
AC
2
AB
AC AB
，①
由余弦定理得 2
BC
AB
2 2
AC AB
cos
A
，②
由①，②得
cos
因为 0
πA ，所以
2
AC
1
A .
2
A
2π
3
.
（2）由正弦定理及（1）得
从而
AC
2 3 sin
B
，
AB
BC
AB
AC
sin
sin
sin
B
C
A
) 3cos
2 3 sin(π
A B
2 3
，
B
3 sin
B
.
故
BC AC AB
3
B
3cos
B
3 2 3 sin(
B
)
.
又
0
B
，所以当
π
3
B 时， ABC△
周长取得最大值3 2 3
.
3 sin
π
6
π
3
18．解：（1）由已知得样本平均数
y
20
1
20 i
1
y
i
60
，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×
200=12000．
（2）样本 (
,
x y
i
i
)
(
i
1,2,
,20)
r
20
i
1
(
x
i
x
)(
y
i
y
)
20
i
1
(
x
i
2
x
)
20
i
1
(
y
i
2
y
)
的相关系数
800
80 900
0
2 2
3
0.94
．
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物
覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了
样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
的估计．
19．解：（1）由已知可设 2C 的方程为 2
y
4
cx
，其中
c
2
a
2
b
.
不妨设 ,A C 在第一象限，由题设得 ,A B 的纵坐标分别为
2b
a
，
； ,C D 的纵坐标分别为 2c ， 2c ，
2b
a
故
|
AB
|
22
b
a
，|
CD
| 4
c
.
由
|
CD
|
4
3
|
AB
|
得
4
c
28
b
3
a
，即
3
所以 1C 的离心率为
1
2
.
2 2(
c
a
c
a
2
)
，解得
c
a
（舍去），
2
c
a
.
1
2
（2）由（1）知 2a
c ，
b
3
c
，故
C
1
:
2
x
4
c
2
2
y
3
c
2
1
，
设
M x y ，则
(
)
,
0
0
2
x
0
4
c
2
2
y
0
2
3
c
， 2
y
0
1
04
cx
，故
2
x
0
4
c
2
4
x
0
3
c
.①
1
由于 2C 的准线为 x
c ，所以
|
|MF
x
0
，而|
c
MF ，故 0
x
| 5
，代入①得
c
5
2
)
(5
c
2
4
c
4(5
3
c
c
)
，即 2 2
c
c
1
，解得
3 0
c （舍去）， 3c .
1
所以 1C 的标准方程为
2
x
36
2
y
27
， 2C 的标准方程为 2
y
1
12
x
.
20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以
MN CC∥ ．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．
1
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面 1
EB C F ．
1
（2）由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点，MA
的方向为x轴正方向， MB
为单位长，建立如图所示的空
间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM= 3 ．
连接 NP，则四边形 AONP为平行四边形，故
作 NQ⊥AM，垂足为 Q，则 NQ⊥平面 ABC．
PM
2 3
3
,
E
(
2 3 1
,
3
3
,0)
．由（1）知平面 A1AMN⊥平面 ABC，
设 ( ,0,0)
Q a
，则
NQ
4 (
2 3
3
a
2
) ,
B a
1
( ,1, 4 (
2 3
3
a
2
) )
，
B E
1
(
故
2 3
3
a
,
2
3
,
4 (
2 3
3
a
2
) ),|
B E
1
|
2 10
3
．
又 (0, 1,0)
n
是平面 A1AMN的法向量，故
,
n
B E
1
sin(
π
2
)
cos
,
n
B E
1
n
| n |
B E
1
|
B E
1
|
10
10
．
所以直线 B1E与平面 A1AMN所成角的正弦值为 10
10
．
21．解：（1） ( )
f x
cos (sin sin 2 )
x
x
x
sin (sin sin 2 )
x '
x
x
2sin cos sin 2
x
x
x
2sin
2
x
cos2
x
2sin sin 3
x
x
．
当 (0,
x
3
)
(
3
,
)
f x
时， ( )
；当 (
x
0
3 3
,
)
时， ( ) 0
f x
．
所以 ( )
f x 在区间 (0,
3
),(
3
,
)
单调递增，在区间 (
3 3
,
)
单调递减．
（2）因为 (0)
f
f
( )
，由（1）知， ( )
f x 在区间[0, ] 的最大值为
0
最小值为
f
(
3
)
3 3
8
（3）由于
2
(sin
x
2
sin 2
x
．而 ( )
f x 是周期为 的周期函数，故
|
( ) |
f x
2
sin 2 )n
x
3
2
3 3
8
，
)
．
f
(
3
3 3
8
| sin
3
x
3
sin 2
x
3
sin 2
n
x
|
| sin || sin
x
2
x
3
sin 2
x
3
sin 2
n
1
x
sin 2
n
x
|| sin 2
2
n
x
|
| sin ||
x
( )
f x f
(2 )
x
f
(2
n
1
x
) || sin 2
2
n
x
|
|
( )
f x f
(2 )
x
f
n
(2
1
x
) |
，
所以
2
sin
x
2
sin 2
x
2
sin 2
n
x
(
2
n
3
3 3
8
)
n
n
3
4
．
22．解：（1） 1C 的普通方程为
x
y
4(0
．
4)
x
由 2C 的参数方程得 2
x
2
t
1
2
t
， 2
y
2
2
t
1
2
t
，所以 2
x
2
2
y
．
4
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