2019年上海高考数学真题试题及答案.doc-资料库

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2019 年上海高考数学真题试题及答案一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．（4 分）已知集合 {1 A  ，2，3，4， 5} ， {3 B  ，5， 6} ，则 A B  ． 2．（4 分）计算 lim n  3．（4 分）不等式| 2  2 n 2 n x   的解集为 1 3 n   4 1 n   1| 5 ．． 4．（4 分）函数 ( ) f x  2 ( x x  的反函数为 0) ． 5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3 z    ，则| 6 5 i i |z 的值为 6．（4 分）已知 2 4    2 y x  2 x a y  1   a  ，当方程有无穷多解时， a 的值为． 7．（5 分）在 ( x  61 ) x 的展开式中，常数项等于． 8．（5 分）在 ABC 中， AC  ， 3sin 3 A  2sin B ，且 cos C  ，则 AB  1 4 ． 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示） 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 ( OA a a   ，函数 1) 23y x 交 BC 于点 P ，函数 y 1 2 x 交 AB 于点 Q ，当| AQ | CP | | 最小时，则 a 的值为． 11．（5 分）在椭圆 2 x 4 2 y 2 1  上任意一点 P ，Q 与 P 关于 x 轴对称，若有 1   F P F P   1 ，则 1F P 2  与 2F Q 的夹角范围为． 12．（5 分）已知集合 [A t ， 1]  t  [ t 4 ， 9] t  ， 0 A ，存在正数，使得对任意 a A ，

都有  a  ，则 t 的值是 A ．二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）下列函数中，值域为[0 ， ) 的是 ( ) A． 2x y  B． y x 1 2 C． tan  y x D． cos  y x 14．（5 分）已知 a 、 b R ，则“ 2 a 2 b ”是“| a | | b ”的 ( | ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（5 分）已知平面、 、两两垂直，直线 a 、 b 、 c 满足： a  ， b  ， c  ，则直线 a 、 b 、 c 不可能满足以下哪种关系 ( ) A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 16．（5 分）以 1(a ， 0) ， 2(a ， 0) 为圆心的两圆均过 (1,0) ，与 y 轴正半轴分别交于 1(y ， 0) ， 2(y ， 0) ，且满足 1 lny lny 2  ，则点 0 ( 1 1 a a 1 2 , ) 的轨迹是 ( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）如图，在正三棱锥 P ABC  中， PA PB PC    2, AB BC AC    ． 3 （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；（2）求 P ABC  的体积． 18．（14 分）已知数列{ }na ， 1 a  ，前 n 项和为 nS ． 3 （1）若{ }na 为等差数列，且 4 a  ，求 nS ； 15 （2）若{ }na 为等比数列，且 lim n  S n 12  ，求公比 q 的取值范围． 19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生

总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015  年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出用（亿元）绝对数（亿元）占卫生总费用绝对数（亿元）占卫绝对数占卫比重 (%) （亿元）生总费用比重生总费用比重 (%) (%) 2012 28119.00 9656.32 2013 31668.95 10729.34 2014 35312.40 11295.41 2015 40974.64 11992.65 （数据来源于国家统计年鉴） 34.34 33.88 31.99 29.27 10030.70 35.67 8431.98 29.99 11393.79 35.98 9545.81 30.14 13437.75 38.05 10579.23 29.96 16506.71 40.29 12475.28 30.45 （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设 1t  表示 1978 年，第 n 年卫生总费用与年份 t 之间拟合函数 f ( ) t  357876.6053 6.4420 0.1136 1 t  e  研究函数 ( ) t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份． f 20．（16 分）已知抛物线方程 2 y x ， F 为焦点， P 为抛物线准线上一点， Q 为线段 PF 与 4

抛物线的交点，定义： ( d P )  | | PF FQ | | ．（1）当 P   时，求 ( ( 1, d P ； ) ) 8 3 （2）证明：存在常数 a ，使得 2 ( d P ) |  PF | a  ；（3） 1P ， 2P ， 3P 为抛物线准线上三点，且 1 2 PP | | |  P P 2 3 | ( d P ，判断 1 )  ( d P 3 ) 与 2 ( d P 的关系． ) 2 21 ．（ 18 分）已知等差数列 { }na 的公差 (0 d  ， ] ，数列 { }nb 满足 b n  sin( a n ) ，集合 S   | x x b n N  ．  ,n * 2  3 a （1）若 1  0, d  ，求集合 S ； a （2）若 1  ，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；  2 （3）若集合 S 恰好有三个元素： n T b   ，T 是不超过 7 的正整数，求T 的所有可能的值． b n 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．（4 分）已知集合 {1 A  ，2，3，4， 5} ， {3 B  ，5， 6} ，则 A B  {3 ， 5} ．【解答】解：集合 {1 A  ，2，3，4， 5} ， B  ，5， 6} ， {3

  A B {3 ， 5} ．故答案为：{3 ， 5} ． 2 n 2 n 2．（4 分）计算 lim n  2 1 3 n   1 4 n    2 ．【解答】解： lim n  2 2 n 2 n 1 3 n   1 4 n    lim n  2 1     3 n 4 n 1 2 n 1 2 n  2 ．故答案为：2． 3．（4 分）不等式| x   的解集为 ( 6,4) 1| 5  ．【解答】解：由| x   得 5 1| 5     ，即 6 1 5    x x 4 故答案为：{ 6 ， 4) ． 4．（4 分）函数 ( ) f x  2 ( x x  的反函数为 0) f  1( ) x  ( x x  0) ．【解答】解：由 y  2( x x  解得 x 0) y ，  f 1( ) x  ( x x  0) 故答案为 1f  ( ) x  ( x x  0) 5．（4 分）设 i 为虚数单位， 3 z    ，则| 6 5 i i |z 的值为【解答】解：由 3 z    ，得 3 6 5 i i z   ，即 2 2 i   ， 6 6 i z | |   z | z |  2 2  2 2  2 2 ．故答案为： 2 2 ． 6．（4 分）已知 2 4    2 y x  2 x a y  1   a  ，当方程有无穷多解时， a 的值为 2 ．【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解， 可对① 2 ，得： 4 x 4 y   ． 2 再与②式比较，可得： a   ． 2 故答案为： 2 ． 7．（5 分）在 ( x  61 ) x 的展开式中，常数项等于 15 ．

【解答】解： ( x  61 ) x 展开式的通项为 rT   1 r C x 6 6 3 r  2 9 令 3 r  2 故展开式的常数项为第 3 项： 2 C  ． 6 15 故答案为：15．  得 2 r  ， 0 8．（5 分）在 ABC 中， AC  ， 3sin 3 A  2sin B ，且 cos C  ，则 AB  1 4 10 ．【解答】解： 3sin  A  2sin B ， 由正弦定理可得： 3 BC  2 AC ， 由 AC  ，可得： BC  ， 2 3 1 4  cos C  ， AB 2 2   2 3 2   2 ， 由余弦定理可得： 2 3   1 4 解得： AB  10 ．故答案为： 10 ． 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 3 34 A  种， 24 故答案为：24． 10．（5 分）如图，已知正方形 OABC ，其中 ( OA a a   ，函数 1) 23y x 交 BC 于点 P ，函数 y 1 2 x 交 AB 于点 Q ，当| AQ | CP | | 最小时，则 a 的值为 3 ．【解答】解：由题意得： P 点坐标为 ( a ， )a ， Q 点坐标为 3 ( , a 1 a ) ，

| AQ |  | CP |  a 3 2  1 a 1 3 ，当且仅当 a  时，取最小值， 3 故答案为： 3 ． 11．（5 分）在椭圆  与 2F Q 的夹角范围为 [  arccos ， ] ．【解答】解：设 ( , P x y ，则 Q 点 ( , x ) 1 3 y ， ) 2 x 4 2 y 2 1  上任意一点 P ，Q 与 P 关于 x 轴对称，若有 1   F P F P   1 ，则 1F P 2 椭圆 1  的焦点坐标为 ( 2 ， 0) ， ( 2 ， 0) ， 2 x 4 2 y 2   F P F P  2  1 1 ，    ， 2 2 2 x 1 y 结合 2 x 4 2 y 2  1 可得： 2 y  ， 2] [1  故 1F P  与 2F Q 的夹角满足： cos     F P F Q 1   F P F Q 1   2 2 故    [ arccos 2 2 x   2 y   y 2 2 ) 2  2 8 x  2 3  2 y  2 y 2    3 8  2 2 y [ 1   ， 1] 3   2 ( x 1 3 ， ] 故答案为： [  arccos 1 3 ， ] 12．（5 分）已知集合 [A t ， 1]  t  [ t 4 ， 9] t  ， 0 A ，存在正数，使得对任意 a A ，都有  a  ，则 t 的值是 1 或 3 ． A 【解答】解：当 0 t  时，当 [a t ， 1] t  时，则 [ t   ， 9] t  ， 4  a 当 [ t  ， 9] t  时，则 [t  ， 1] t  ， 4 a  a 即当 a t 时，  9t ；当 a t  时， t 9 ，即 ( t t  ； 9) 当 a t  时， 1  ，当 4 t a t  时， 4 1t  ，即 ( t   1)( t  ， 4)  a  a  a  a

  ( t t 9)   ( t 1)( t  ，解得 1t  ． 4) 当 1 0     时，当 [a t ， 1] t  时，则 [t  ， 1] t  ． 4 t t  a 当 [ t  ， 9] t  ，则 [ t   ， 9] t  ， 4 4 a  a 即当 a t 时，  a 1t  ，当 a t  时， t 1 ，即  a ( t t 1)  ，即当 a t  时， 4     ( t t 1) ( t 4)( t t   ． 3 ，当  9t  a  ，解得 9) a t  时， 9  a  ，即 ( t   4 t 4)( t  ， 9) 当 9 t   时，同理可得无解． 0 综上， t 的值为 1 或 3 ．故答案为：1 或 3 ．二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）下列函数中，值域为[0 ， ) 的是 ( )

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