2011 年云南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
第Ⅰ卷
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号
填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
..........
3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
一、选择题
1.设集合 U=
1,2,3,4 ,
M
1,2,3 ,
N
2,3,4 ,
则
ð
=(M
N)
A.
1 2,
B.
2 3,
C.
2,4
D.
1,4
2.函数 2
y
(
x x
≥ 的反函数为
0)
A.
y
2
x
4
(
x R
)
C.
y
24
x
(
x R
)
B.
y
2
x
4
(
x
≥
0)
D.
y
24 (
x x
≥
0)
3.权向量 a,b 满足
|
a
|
|
b
| 1,
a b
,则
1
2
2a
b
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
4.若变量 x、y 满足约束条件
x
x
x
6
y
3
2
y
1
,则 2
z
x
的最小值为
y
3
A.17
5.下面四个条件中,使 a
A.
a
b
1
B.14
b 成立的充分而不必要的条件是
C.5
B.
a
b
D.3
1
C. 2
a
2
b
D. 3
a
3
b
6.设 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和,若 1 1
a ,公差为
d
2,
S
k
2
S
k
,则 k=
24
A.8
B.7
C.6
D.5
7.设函数 ( )
f x
cos
x
(
> ,将
0)
y
( )
f x
的图像向右平移
3
个单位长度后,所得的图像与
原图像重合,则的最小值等于
A. 1
3
B.3
C. 6
D.9
8.已知二面角 l ,点
A
,
AC=BD=1,则 CD=
AC l
C 为垂足,点
,
B
,
BD l
,D 为垂足,若 AB=2,
A.2
B. 3
C. 2
D.1
9.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有
A.12 种
B.24 种
C.30 种
D.36 种
10.设 ( )
1
2
A.-
f x 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, ( )
1
4
5(
f
2
1
2
11.设两圆 1C 、 2C 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离 1
2C C =
f x = 2 (1
1
4
x ,则
)
)
=
B.
x
C.
D.
A.4
B. 4 2
C.8
D.8 2
12.已知平面截一球面得圆 M,过圆心 M 且与成 060 ,二面角的平面截该球面得圆 N,若
该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4,则圆 N 的面积为
A. 7
C.11
B.9
D.13
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号
填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,
在试题卷上作答无效。
3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作
.....
答无效...)
13.(1- x )10 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为:
.
14.已知 a∈(
3,
), tan
2
则
2,
cos
=
15.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为
。
16.已知 F1、F2分别为双曲线 C:
2
x
9
-
2
y
27
=1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM
为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| =
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 2
a
6,
6
a
1
a
3
求 na 和 nS
30,
18.(本小题满分 2 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 sin
a
A
csin
C
2 sin
a
C b
sin ,
B
(Ⅰ)求 B;
(Ⅱ)若
A
075 ,
b
a c
求 与
2,
19.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种
保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。
(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率;
(II)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
20.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
如图,四棱锥 S ABCD
中, AB CD
, BC CD
,侧面 SAB 为等边三角形,
AB BC
2,
CD SD
.
1
(I)证明: SD 平面 SAB;
(II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。
21.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效
已知函数
( )
f x
3
x
3
ax
2
.........)
a R
(3 6 )
a x
12
4
a
(I)证明:曲线
y
( )
f x
在
x
0
处的切线过点(2,2);
(II)若
( )
f x
x在
x
0
处取得极小值, 0
x
(1,3)
,求 a 的取值范围。
22.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
已知 O 为坐标原点,F 为椭圆
C x
:
2
1
在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2
2
y
2
OA OB OP
0.
的直线l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;
(II)设点 P 关于 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。
参考答案
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度,可视影响的程度决定后继部分的给力,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数,选择题不给中间分。
一、选择题
1—6
二、填空题
DBBCAD
13.0
14.
三、解答题
7—12
CCBACD
5
5
15.
2
3
16.6
17.解:设{ }na 的公比为 q,由题设得
a q
1
6
a
1
6,
a q
1
2
30.
a
解得 1
q
3,
2,
或
a
1
q
2,
3.
当
a
1
3,
q
2 ,
时
a
当
a
1
2,
q
3 ,
时
a
n
n
18.解:
1
3 2 ,
S
n
1
2 3 ,
S
n
3 (2
n
1);
n
3
1.
n
n
…………3 分
…………6 分
…………10 分
(I)由正弦定理得 2
a
2
c
2
ac b
2
.
…………3 分
由余弦定理得 2
b
2
a
2
c
2
ac
cos .
B
故
cos
B
2
2
,
B
因此
45 .
(II)sin
A
sin(30
45 )
sin 30 cos 45
cos30 sin 45
6 .
2
4
故
a
b
sin
sin
C
B
A
B
2
2
2
sin 60
sin 45
6
1
3,
6.
c b
sin
sin
…………6 分
…………8 分
…………12 分
19.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;
B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;
C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种;
D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买;
E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。
(I) (
P A
) 0.5,
(
P B
) 0.3,
C A B
,
)
)
(
P A
(
P B
) 0.8.
(
P C
)
(
P A B
(II)
D C P D
(
,
) 1
(
P C
) 1 0.8 0.2,
(
P E
)
C
1
3
0.2 0.8
2
0.384.
20.解法一:
…………3 分
…………6 分
…………9 分
…………12 分
(I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2,
…………3 分
…………6 分
连结 SE,则
SE
AB SE
,
3.
又 SD=1,故 2
ED
2
SE
2
SD
,
所以 DSE
为直角。
由
AB DE AB SE DE SE E
,
,
,
得 AB 平面 SDE,所以 AB SD 。
SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。
所以 SD 平面 SAB。
(II)由 AB 平面 SDE 知,
平面 ABCD 平面 SED。
作
SF DE
,
垂足为 F,则 SF 平面 ABCD,
SF
SD SE
DE
3 .
2
作 FG BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。
连结 SG,则 SG BC
,
又
BC FG SG FG G
,
,
故 BC 平面 SFG,平面 SBC 平面 SFG。
作 FH SG ,H 为垂足,则 FH 平面 SBC。
…………9 分
FH
SF FG
SG
3
7
,即 F 到平面 SBC 的距离为
21 .
7
由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有
21 .
7
设 AB 与平面 SBC 所成的角为α,
则
sin
d
EB
21
7
,
arcsin
21
7
.
…………12 分
解法二:
以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。
设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0)。
y
0,
z
z BS
0.
( ,
x y
2, )
z
,
DS
(
x
1,
, )
y z
,
2,
y
2, ),
x
则
0,
又设 ( ,
, ),
S x y z
AS
AS
(
x
|
BS
由|
(I)
|
|
得
(
x
2
2)
(
y
2
2)
2
z
2
x
(
y
2
2)
2
z
,
故 x=1。
DS
由
|
| 1
BS
y
得
2
2
z
1,
又由
|
| 2
2
x
得
(
y
2
2)
2
z
4,
即 2
y
2
z
4
y
1 0,
y
故
1
2
,
z
3
2
.
…………3 分
于是
S
(1,
AS
),
1
3
,
2 2
( 1,
BS
),
3
3
,
2 2
(1,
3
3
,
2 2
)
,
DS
(0,
1
3
,
2 2
DS AS
),
DS BS
0,
0.
故
DS
AD DS
,
BS
,
又
AS BS
S
,
所以 SD 平面 SAB。
(II)设平面 SBC 的法向量 (
a m n p
)
,
a BS a CB a BS
,
,
则
0,
,
,
a CB
0.
BS
又
(1,
CB
),
3
3
,
2 2
(0,2,0),
故
n
3
2
0.
m
2
n
3
2
p
0,
…………9 分
取 p=2 得 (
a
3,0,2),
又
AB
( 2,0,0)
。
,
AB a
cos
AB a
|
AB
a
|
|
|
21
7
.
故 AB 与平面 SBC 所成的角为
arcsin
21
7
.
21.解:(I)
f
'( ) 3
x
x
2
6
ax
3 6 .
a
…………2 分
由 (0) 12
f
a
4,
f
'(0) 3 6
得曲线
a
y
( )
f x
在
x
0
处的切线方程为
由此知曲线
y
( )
f x
在
x
0
处的切线过点(2,2)
…………6 分
(II)由
f
'( ) 0
x
x
得
2
2
ax
1 2
a
0.
(i)当 2 1
a
2 1 ,
时
( )
f x
没有极小值;
(ii)当
a
2 1
a
或
2 1 ,
f
时 由
'( ) 0
x
得
x
1
a
2
a
2
a
1,
x
2
a
2
a
2
a
1,
x
故 0
x 由题设知
2.
1
a
2
a
2
a
1 3.
当
a
2 1
时,不等式
1
a
2
a
2
a
1 3
无解。
当
a
2 1
时,解不等式
1
综合(i)(ii)得 a 的取值范围是
2
a
2
a
1 3
得
a
5
2
2 1.
,
2 1).
…………12 分
a
5(
2
22.解:(I)F(0,1),l 的方程为
y
2
x
1
,
代入
2
x
2
y
2
并化简得
1
24
x
2 2
x
1 0.
设 1
(
,
A x y B x y P x y
3
),
),
(
(
,
1
,
2
2
3
…………2 分
),
x
则 1
2
4
6
,
x
2
6
,
2
4
x
1
x
2
2 ,
2
y
1
y
2
2(
x
1
x
2
) 2 1,