2019年天津卷理科数学高考真题及答案.doc-资料库

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第Ⅰ卷 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式： ·如果事件 A 、 B 互斥，那么 ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) ． ·如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ( P AB )  ( ( P A P B ) ) ． ·圆柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式 V  1 3 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 { 1,1,2,3,5},   A B  {2,3,4}, C   { x R |1   x 3} ，则 ( A C  )  B  A． 2 B． 2,3 C．   1,2,3 D．  1,2,3,4 2．设变量 ,x y 满足约束条件 2 0, 2 0, x y         y x     1, x     1, y  则目标函数 z   4 x  的最大值为 y A．2 B．3 C．5 D．6 3．设 x  R ，则“ 2 5 x x  ”是“| 0 x   ”的 1| 1 A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A．5 B．8 C．24 D．29 5．已知抛物线 2 y x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 4 2 2 x a  2 2 y b  1 ( a  0, b  的两条渐近线分 0) 别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 |  OF | （O 为原点），则双曲线的离心率为 A． 2 B． 3 C． 2 D． 5 6．已知 a  log 2 5 ， b  0.5og l 0 2. ， c  0.5 0.2 ，则 , ,a b c 的大小关系为 A． a   c b B． a b c   C．b c   a D． c a b     f x 7．已知函数 ( ) f x  A sin( )(    x A  0, |     是奇函数，将 0,|  ) y  的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为  g x ．若   g x 的最小正周期为 2π ，且  g   4      2 ，则 f 3   8      A． 2 B． 2 C． 2 D． 2 8．已知 a R ，设函数 ( ) f x     2 2 x  x a  ax  ln , x 2 , a x x   1, 1. 若关于 x 的不等式 ( ) 0 f x  在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为

A． 0,1 B． 0,2 C． 0,e D． 1,e 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．i 是虚数单位，则 5 i  i1  的值为_____________． 10． 2 x     8 1 8 x 3    的展开式中的常数项为_____________． 11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设 a R ，直线 ax y   和圆 2 0 x       y  2 2cos ,  1 2sin  （为参数）相切，则 a 的值为_____________． 13．设 0,  x y  0, x  2 y  ，则 5  1) ( x  1)(2 y xy 的最小值为_____________． 14．在四边形 ABCD 中， AD BC AB ∥ ,  2 3, AD  5,   A 30  ，点 E 在线段CB 的延长线上，   且 AE BE ，则 BD AE  _____________．三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知（Ⅰ）求 cos B 的值； b c   ，3 sin 2 a c B  4 sin a C ．

 （Ⅱ）求sin 2   B    6  的值． 16．（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为影响，且任一同学每天到校情况相互独立． 2 3 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率． 17．（本小题满分 13 分）如图， AE  平面 ABCD ， CF ∥ AE , AD BC ∥ ， AD AB  , AB AD   1, AE BC   ． 2 （Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角 E BD F  的余弦值为  1 3 ，求线段CF 的长． 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 0) b 5 5 ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上．若| ON OF | | | （O 为原点），且OP MN ，求直线 PB 的斜率． 19．（本小题满分 14 分）设 na 是等差数列， nb 是等比数列．已知 1 a  4, b 1  6 b ， 2  2 a 2  2, b 3  2 a 3  4 ．

（Ⅰ）求 na 和 nb 的通项公式；（Ⅱ）设数列 nc 满足 c 1  1, c n k  1, 2   , b n   k n   k 2 , k 1  2 , 其中 k N ． * （i）求数列  a n 2  c  的通项公式； 2 n   1 （ii）求 n 2  i 1  a c i i  n  * N ．  20．（本小题满分 14 分）设函数 ( ) f x  x e cos , x ( ) g x 为  f x 的导函数．  （Ⅰ）求  f x 的单调区间；  （Ⅱ）当 x       4 2 ,    时，证明 ( ) f x  ( ) g x   2   x     0 ；（ Ⅲ ）设 nx 为函数 ( ) u x  ( ) 1 f x   在区间 2   n    4 ,2 n    2    内的零点，其中 n  N ，证明 2 n     2 x n  sin e x 0 2 n   c s o  x 0 ． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． 9． 13 10． 28 11． π 4 12． 3 4 13． 4 3 14． 1 三．解答题 15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分 13 分．

（Ⅰ）解：在 ABC△ 中，由正弦定理 b sin B  得 3 sin b C  4 sin a C ，即 3 b a ．又因为 4 b ，得 sin c sin C b c   ，得到 2 a sin 4 3 C c  B ，又由3 sin c B  4 sin a C ， b a ， c a 2 3 ．由余弦定理可得 cos B  2 a 2 b 2 c   2 ac  2 a 2 a  4 9 2  2 a a  16 9 a  2 3   1 4 ．（ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可得 sin B  1 cos  2 B  15 4 ，从而 sin 2 B  2sin cos B B   15 8 ， cos 2 B  2 cos B  sin 2 B   ，故 7 8  sin 2   B    6   sin 2 cos B  6  cos 2 sin B  6   15 8  3 2     7 1 8 2 3 5 7  16 ． 16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分．（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 ，故 X B    ~ 3, 2 3    ，从而 ( P X k  ) C  k 3 3  k 2 3 k       1 3       , k  0,1,2,3 ．所以，随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 27 2 3 随机变量 X 的数学期望 E X    ． ) 3 2 ( 1 2 9 2 4 9 3 8 27 （ Ⅱ ）解：设乙同学上学期间的三天中 7 ： 30 之前到校的天数为 Y ，则 Y B  ~   3, 2 3    ，且 { M X   3, Y  1} {  X  2, Y  0} ．由题意知事件{ X 3, Y 1}  与{ X 2, Y  互斥，且事件 0}  3X  与 1Y  ，事件 2X  与 Y  均相互独立，从而由（Ⅰ）知 0 ( ({ P M P X  )  3, Y  1} {  X  2, Y  0})  ( P X  3, Y 1)   ( P X  2, Y  0)  ( P X  3) ( P Y   1) ( P X  2) ( P Y  0)  8 2 27 9 4 1    9 27  20 243 ． 17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立

体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分．    依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB AD AE ，，的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得 (0,0,0), A B (1,0,0), C (1,2,0), D (0,1,0) ， (0,0,2) E ．设 CF h  ( h > ， 0) 则  F 1,2,  h ．（Ⅰ）证明：依题意，  AB  (1,0,0) 是平面 ADE 的法向量，又  BF  (0,2, ) h ，可得   BF AB  0 ，又因为直线 BF  平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE ．（Ⅱ）解：依题意，  BD   ( 1,1,0),  BE   设 ( , n , ) x y z 为平面 BDE 的法向量，则 ( 1,0,2),  BD  BE   0, 0,  CE    ( 1, 2,2) ．即 0, x       0, z x   y 2 不妨令 1z  ，   n   n     n CE  | || n CE 4 9   4 9 ．．可得 (2,2,1) n ．因此有 cos  CE , n  | 所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为（Ⅲ）解：设 m ( , , ) x y z 为平面 BDF 的法向量，则不妨令 1y  ，可得 m  1,1,     2 h    ．  BD  BF   m   m     0, 0, 即 0, x y    2 0, y hz      由题意，有 cos  m n ,   | | m n  || m n | |  24  h 3 2  4 2 h  1 3 ，解得 h  ．经检验，符合题意． 8 7 所以，线段CF 的长为 8 7 ．

18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 13 分． 2 b （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 c ，依题意，  4, c a  5 5 ，又 2 a  2 b 2  ，可得 c a  ， 2, b  5 所以，椭圆的方程为 2 x 5 2 y 4  ． 1 （Ⅱ）解：由题意，设  P x y ， P P  x p   0 ,  M x M ,0  ．设直线 PB 的斜率为  k k  ，又  B 0 1c  ． 0,2 ，则直线 PB 的方程为 y kx 2 y   ，与椭圆方程联立 2 x 5     kx  2 y 4  2,  1, 整理得 4 5  k 2 2 x  20 kx  ，可得 0 x P   20 k 4 5 k  2 ，代入 y kx  得 2 y P  2 8 10 k  2 4 5 k  ，进而直线OP 的斜率 y x P p  2 4 5 k  10 k  ．在 y kx  2 中，令 0 y  ，得 Mx 2 4 5 k  10 k       k 2      1   ．由题意得  N 2 k  0, 1  ，所以直线 MN 的斜率为 k ．由 OP MN 2 ，得，化简得 2 k  ，从而 24 5 k   2 30 5 ．所以，直线 PB 的斜率为 2 30 5 或  2 30 5 ． 19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分 14 分．（Ⅰ）解：设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q ．依题意得 6 6 q q 6 2 , d   2 12 4 , d      解得 n n a 故 3, 2, 4 (   d    q 所以， na 的通项公式为（Ⅱ）（i）解：  n n 所以，数列  a n 2 a n  3 n  1,   b n 的通项公式为 nb   ． 2  b a c 2  1 a   c  的通项公式为    1     1 a 2 2 2 n n n n n   1 9 4 c    2 n n 1  ． 1) 3 3 n     1, b n 6 2   n 1    ． 3 2 n  3 2   1 3 2  n 9 4 1    n 1  ． 3 2n  （ii）解： n 2  i 1  a c i i  n 2  i 1  a i     a c i i   1    n 2 i 1  n   a i  a i 2  c i 2   1 i 1 

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