2017年广西民族大学高等代数考研真题A卷.doc

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2017 年广西民族大学高等代数考研真题 A 卷考生须知 1．答案必须写在答题纸上，写在试题、草稿纸上无效。 2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。 3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。一、（15 分）设 f (x)  x 4  2x 3  x 2  4x  2 ， g (x)  x 4  x 3  x 2  2x  2 都是有理数域 Q 上的多项式，求 u(x), v(x)  Q[x] 使得 f(x)u(x)  g (x)v(x)  ( f (x), g (x)) ．二、（15 分）计算 n 阶行列式 x  a a a a x  a a a a a x  a a a x  a a a a ．三、（15 分）  取怎样的数值时，线性方程组  x1  x2  2x3  3x4  2  2 x  3x  2x  x  1 4 3  1 2 有解？

四、（20 分）设行列式 a a 11 21 a a 12 22 a n1 a n 2 令 Aij 是元素 aij 的代数余子式，证明：矩阵 a1n a2n a nn  0 11 12 A A   A  1n A A A 2n A n1 21 22 An 2   A  nn  的秩1．五、（15 分）设向量 1 ,2 , ,r 线性无关，而 1 ,2 , ,r , , 线性相关，证明：或者与中至少有一个可由 1 ,2 , ,r 线性表示，或者向量组 {1 ,2 , ,r , } 与 {1 ,2 , ,r , } 等价．

六、（20 分）证明：{x 3 , x 3  x, x 2 1, x 1} 是 F3 [x] （数域 F 上一切次数  3 的多项式及零）的一个基．求多项式 x 2  2x  3 关于这个基{x 3 , x 3  x, x 2 1, x 1}的坐标．七、（15  4  分）设 A    3  5  3  6 6 ，问矩阵 A 是否可以对角化？若 A 可以对角化， 0 0     1 求出一个可逆矩阵 T ，使得 T 1 AT 成对角形．八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 , ，有不等式： ( ,) 2  ( , )(,) ，当且仅当 与 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设,  是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件： (,) 和 (, ) 都是  0 的整数．证 235 2(,) 2(,) 九、（15 分）证明：实二次型 (ij  i  j)xi x j (n  1) 的秩和符号差与  无关． i 1 j 1 n n

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