第1页 / 共9页
第2页 / 共9页
第3页 / 共9页
第4页 / 共9页
第5页 / 共9页
第6页 / 共9页
第7页 / 共9页
第8页 / 共9页
2003年河南高考理科数学真题及答案.doc
2003 年河南高考理科数学真题及答案
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
[sin(
)
[sin(
)
sin(
)]
sin(
)]
sin
cos
cos
sin
cos
cos
1
2
1
2
1
2
1
2
[cos(
)
cos(
)]
cos(
)]
sin
sin
[cos(
)
S
台侧
1
2
(
c
)
lc
其中 c 、 c 分别表示
上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.
球体的体积公式：
V
4 R
球
3
3
，其中 R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
新疆
王新敞
奎屯
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的
1．已知
x
(
2
，0），
cos x ，则 2tg x
4
5
（A）
7
24
（B）
7
24
（C）
24
7
（D）
24
7
（ ）
2．圆锥曲线
的准线方程是
（ ）
（A）
3．设函数
cos
sin8
2
cos
2
x
1
2
)(
xf
（B）
cos
x ，若
x
0
0
1
2
x
（A）（ 1 ，1）
（C）（ ， 2 ） （0， ）
2
（C）
sin
2
（D）
sin
2
1)
( 0 xf
，则 0x 的取值范围是
（ ）
（B）（ 1 ， ）
（D）（ ， 1 ） （1， ）
4．函数
y
sin2
x
(sin
x
cos
x
)
的最大值为
（ ）
（A）
1
2
（B）
12
（C） 2
（D）2
5．已知圆 C：
(
ax
)
2
(
y
2
)2
4
（ 0a
）及直线 l ：
x
3 y
0
，当直线 l 被 C 截得
的弦长为 32 时，则 a
（ ）
（A） 2
（B）
2
2
（C）
12
（D）
12
6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
2
（B）
9 R
4
)(
xmx
2
（C）
2
（D）
8 R
3
0
的四个根组成一个首项为
3 R
2
2
2
nx
)
（A）
2
2 R
7．已知方程
2
(
x
2
|
|
nm
1 的的等差数列，则
4
（ ）
（A）1
（B）
3
4
（C）
1
2
（D）
3
8
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0），直线
y
1 x
与其相交于 M、N 两点，
MN 中点的横坐标为
2 ，则此双曲线的方程是
3
1
（D）
2
y
2
（ ）
2
x
2
2
y
5
1
（ ）
2
x
5
)(1 x
1
（C）
的反函数
f
（A）
1
2
x
3
)(
xf
2
y
4
sin
x
，
9．函数
（B）
2
2
x
y
4
3
3,
[
]
2
2
1[x
，1]
x
（A）
arcsin
x
（B）
arcsin
x
1[x
，1]
（C）
arcsin
x
1[x
，1]
（D）
arcsin
x
1[x
，1]
10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB 的
中点 0P 沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1P 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 2P 、
3P 和 4P （入射角等于反射角），设 4P 的坐标为（ 4x ，0），若
1
x
4
2
，则 tg的取值
范围是
（A）（
11．
lim
n
1 ，1） （B）（
3
2
C
2
(
Cn
1 ，
3
2
C
n
1
C
n
2
C
3
1
C
2
2
C
4
1
C
4
1
3
（ ）
2 ） （C）（
3
2 ，
5
1 ） （D）（
2
2 ，
5
2 ）
3
)
（ ）
（A）3
（B）
1
3
（C）
1
6
（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） 3
（B） 4
（C） 33
（D） 6
2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分
新疆把答案填在题中横线上
奎屯
王新敞
新疆
王新敞
奎屯
13．
(
2
x
14．使
9
)
1
2
x
log2
(
x
x
)
的展开式中 9x 系数是
1
成立的 x 的取值范围是
15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有
4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种
新疆（以数字作答）
王新敞
奎屯
16．下列 5 个正方体图形中，l 是正方体的一条对
角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能
得出 l 面 MNP 的图形的序号是
3
5
2
1
4
（写出所有符合要求的图形序号）
M
N
P
l
l
P
M
N
M
P
l
P
l
N
l
N
M
M
N
P
①
②
③
④
⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
已知复数 z 的辐角为 60 ，且
| z
|1
是 |
| z 和
| z
|2
的等比中项，求 |
| z
18．（本小题满分 12 分）
如图，在直三棱柱
ABC
角形，
ACB
90
，侧棱
中，底面是等腰直角三
1 CBA
1
1
2
，D、E 分别是 1CC 与 BA1
1 AA
的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G
（I）求 BA1 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角
函数值表示）
（II）求点 1A 到平面 AED 的距离
C
D
A
E
CG
K
A
F
B
B
19．（本小题满分 12 分）
已知 0c ，设
P：函数
y 在 R 上单调递减
xc
Q：不等式
x
|
x
1|2
c
的解集为 R
如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围
20．（本小题满分 12 分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
风中心位于城市 O（如图）的东偏南
(
arccos
2
10
）
方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北
45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径
为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该
城市开始受到台风的侵袭？
y
O
海
岸
线
北
x
东
P
r
45
P
21．（本小题满分 14 分）
0a
已知常数
4AB
分别在 BC、CD、DA 上移动，且 BE CF DG
BC CD DA
，在矩形 ABCD 中，
，
BC 4 ，O 为 AB 的中点，点 E、F、G
a
，P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在
两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存
在，请说明理由
王新敞
奎屯
新疆
y
22．（本小题满分 12 分，附加题 4 分）
（I）设 }{ na 是集合
2{
s
t
|2
s 0
t
且
Zts ,
D F
G
A
P
C
E
O
B
x
中所有的数从小到大排列成的数列，即
1 a
3
，
2 a
5
，
3 a
6
，
4 a
9
，
5 a
10
，
6 a
12
，…
将数列 }{ na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5
6
9
10
12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求 100a
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）
设 }{ nb 是集合
r
2{
s
2
t
0|2
列，已知
kb
1160
，求 k .
s
r
t
，且
,
Ztsr
,
中所有的数从小到大排列成的数
}
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分.
1．D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
10．C
2．C
4．A
6．B
8．D
7．C
9．D
3．D
5．C
11．B
12．A
13．
21
2
14．（-1，0）
15．72
16．①④⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． 解：设
z
r
cos
60
r
sin
)60
，则复数
z的实部为
r
2
.
z
z
,
zzr
2
r
由题设
2
|
|
|1
z
2
r
整理得
|
z
|
2
r
|2
z
即
.01
(:
z
解得
:
)(1
z
r
)1
|
,12
z
r
|
(
z
2
)(2
z
r
(12
|
即舍去
1
.12
,)2
).
r
|
z
rr
2
2
r
,4
18．（Ⅰ）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.
设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，
,
ED
连结
2
EF
,
,
CC
分别是
1
ADB
GDE
是
1
3
FD
FG
,
BA
的中点
又
1
,
G
的重心
DC
DF
平面
ABC
,
.
在直角三角形
CDEF
EFD
中
为矩形
2
FD
,
EF
,1
FD
.3
)4(
分
1
2
于是
ED
FC
CD
sin
EBG
,2
EG
3
AB
6
3
,2
EG
EB
.
6
3
BA
1
2
3
,22
1
3
,32
EB
.3
.
BA
1
与平面
ABD
所成的角是
arcsin
2
3
.
（Ⅱ）解：
ED
AB
,
ED
EF
,
又
EF
AB
F
,
作
ABA
ED
面
1
KA
AE
1
,
,
又
垂足为
在
,
ABA
中
1
1
KA
1
AED
AED
,
AED
ED
面
K
KA
1
BAAA
1
1
.
AB
1
1
平面
.
平面
222
32
平面
AKA
是即
1
1
62
3
A
1
,
ABA
1
到平面
且面
AED
ABA
面
1
.
的距离
AED
AE
.
到平面
AED
的距离为
62
3
.
19．解：函数
y 在 R 上单调递减
xc
c
0
.1
不等式
x
|
x
1|2
c
的解集为
R
函数
y
x
|
x
|2
c
在
R
上恒大于
.1
x
|
x
2 |
c
2 ,
c x
x
2 ,
c
2 ,
c
x
|
2
x
2 ,
c
2 |
c
y
函数
x
在 上的最小值为
R
2 .
c
不等式
|
x
x
2 | 1
c
R
的解集为
2
c
1
c
0
如果 正确 且 不正确 则
Q
P
,
,
c
1
2
.
1
2
.
c
如果 不正确 且 正确 则
Q
P
,
,
1.
所以 的取值范围为
c
(0,
1
2
]
[1,
).
（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）
20．解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.
在时刻：（1）台风中心 P（
x, ）的坐标为
y
x
300
y
300
2
10
27
10
20
2
2
t
,
20
2
2
t
.
此时台风侵袭的区域是
(
x
2
x
)
(
y
y
)
([
tr
)]
2
,
其中
)(
tr
10
t
,60
若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有
0(
2
x
)
0(
2
y
)
10(
t
2
.)60
即
300(
2
10
2
t
)
(
300
27
10
20
2
2
2
t
)
20
2
2
t
24
10(
t
2
,)60
即
t
2
36
t
288
,0
解得
12
答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否
存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.
按题意有 A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
BE CF DG k
BC CD DA
(0
k
1)
由此有 E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）
直线 OF 的方程为：
2
ax
2(
k
)1
y
0
①
直线 GE 的方程为：
2(
ka
)1
x
y
2
a
0
②
从①，②消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程
2
2
xa
2
2
y
2
ay
0
2
x
1
2
1
2
1
2
整理得
当
2 a
(
2
)
ay
2
a
1
当
2 a
1
2
时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长
新疆
王新敞
奎屯
当
2 a
时，点 P 到椭圆两个焦点（
1
2
2
a
,
a
1(),
2
2
a
),
a
的距离之和为定值 2
新疆
王新敞
奎屯
当
2 a
1
2
时，点 P 到椭圆两个焦点（0，
a
2
a
1
2
,0(),
a
2
a
1
2
)
的距离之和为定
值 2 a .
22．（本小题满分 12 分，附加题 4 分）
（Ⅰ）解：用(t,s)表示 2
t
s ，下表的规律为
2
3（(0,1)= 0
2
1
2 ）
5(0,2)
6(1,2)
9(0,3)
10(1,3)
12(2,3)
— — — —
（i）第四行 17(0,4)
第五行 33(0,5)
18(1,4)
34(1,5)
20(2,4)
36(2,5)
24(3,4)
40(3,5)
48(4,5)
…………
（i i）解法一：因为 100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以 100a
(8,14)＝ 8
2
14
2 ＝16640
解法二：设
a
100
s
0
2
t
0
2
，只须确定正整数
s
, 0
0 t
.
数列 }{ na 中小于 02t 的项构成的子集为
t
{2
s
0|2
其元素个数为
2
Ct
0
)1
t
0
(
t
0
2
,
依题意
)1
t
0
(
t
0
2
.100
满足等式的最大整数 0t 为 14，所以取
0 t
.14
s
t
t
0
},
因为 100－
C
2
14
s
0
,1
由此解得
s
,8
a
100
0
14
2
8
2
16640
.
（Ⅱ）解：
kb
1160
10
2
7
2
3
,2
令
M
{
CBc
|
}
1160
(
其中
B,
r
{2
s
2
t
0|2
s
r
t
}
因
|
cBcM
{
10
{}2
Bc
10
2|
c
10
2
7
{}2
Bc
10
2|
7
2
c
10
2
7
2
3
}.2
现在求 M 的元素个数：
{
cBc
|
10
2{}2
r
s
2
t
0|2
s
r
t
},10
其元素个数为 3
10C ：
{
Bc
10
2|
c
10
2
7
10
2{}2
s
2
r
0|2
s
r
}.7
某元素个数为
C
2
7
{:
Bc
2|
10
7
2
c
10
2
7
2
3
2{}2
10
7
2
r
0|2
r
}3
某元素个数为
7
C
10
:
3
Ck
10
C
2
7
C
2
3
1
.145
另法：规定 2
r
t
2
s
2
（r,t,s），
kb
1160
10
2
7
2
3
＝（3,7,10）
2
则
b
1
0
2
1
2
2
＝ （0,1,2）
2
依次为
（0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）
（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4）
（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9）
…………
2
2C
2
3C
2
4C
2
9C
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
