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2012年湖北高考文科数学试题及答案.doc
2012 年湖北高考文科数学试题及答案
本试卷共 4 页，共 22 题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方块涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答
在试卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1 已知集合 A{x|
2x -3x +2=0,x∈R } ， B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件 A C B 的
集合 C 的个数为
A 1
B 2
C
3
D 4
2 容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表
则样本数据落在区间[10,40]的频率为
A 0.35
B
0.45
C
0.55
D
0.65
3 函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为
A 2
B 3
C
4
D
5
4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A.任意一个有理数，它的平方是有理数
B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
5.过点 P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最
大，则该直线的方程为
A.x+y-2=0
B.y-1=0 C.x-y=0
D.x+3y-4=0
6 ． 已 知 定 义 在 区 间 （ 0.2 ） 上 的 函 数 y=f(x) 的 图 像 如 图 所 示 ， 则 y=-f(2-x) 的 图 像 为
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数 f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}
仍是等比数列，则称 f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如
下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③
；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的 f（x）的序号为
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8.设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且 A＞B
＞C，3b=20acosA，则 sinA∶sinB∶sinC 为
A.4∶3∶2
B.5∶6∶7
C.5∶4∶3
D.6∶5∶4
9.设 a,b,c,∈ R,,则“abc=1”是“
1
a
1
b
1
c
”的
a b
c
A.充分条件但不是必要条件，B。必要条件但不是充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要的条件
10.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机
取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上答
错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
11.一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取
的男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有______人。
12.若
=a+bi（a，b 为实数，i 为虚数单位），则 a+b=____________.
13.已知向量 a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。
14.若变量 x，y 满足约束条件
则目标函数 z=2x+3y 的最小值是________.
15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.
16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s=_________。
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图
所示的三角形数：
将三角形数 1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个
新数列{bn}，可以推测：
（Ⅰ）b2012 是数列{an}中的第______项；
（Ⅱ）b2k-1=______。（用 k 表示）
三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分 12 分）
设函数 f（x）=
的图像关于直线 x=π对称，其
中
为常数，且
（1） 求函数 f（x）的最小正周期；
（2） 若 y=f（x）的图像经过点
，求函数 f（x）的值域。
19. （本小题满分 12 分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形
的四棱台 A1B1C1D1-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱
ABCD-A2B2C2D2。
（1） 证明：直线 B1D1⊥平面 ACC2A2；
（2） 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘
米），每平方厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？
20.（本小题满分 13 分）
已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为 8.
（1） 求等差数列{an}的通项公式；
（2）若 a2,a3,a1 成等比数列，求数列{
}na 的前 n 项和。
21. （本小题满分 14 分）
设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交点，点
M 在直线 l 上，且满足
当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C。
（1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为
点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m,使得对任意的 K>0，都有 PQ⊥PH？若存在，请说
，n 为正整数，a,b 为常数，曲线 y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方
明理由。
22.（本小题满分 14 分）
设函数
程为 x+y=1.
（1）求 a,b 的值；
（2）求函数 f(x)的最大值
（3）证明：f(x)<
1
ne
.
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷 A)
数学(文)
1.D【解析】求解一元二次方程，得
|
x x
2
3
x
2 0,
x
R
x
|
x
1
x
2
0,
x
R
1,2
A
，易知
B
x
| 0
x
5,
x
N
1,2,3,4
.因为
A C B ，所以根据子集的定义，
集合C 必须含有元素 1,2，且可能含有元素 3,4，原题即求集合
3,4 的子集个数，即有 22
4 个.
故选 D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.
列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
2.B【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40) 内的頻数为 2+3+4=9，样本总数为
2 3 4 5 4 2
，故样本数据落在区间[10,40) 内频率为
20
9
20
0.45
.故选 B.
【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本
总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本
频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.
3.D 【 解 析 】 由 ( )
f x
x
cos 2
x
0
， 得
0x
或 cos 2
0x
； 其 中 ， 由 cos 2
0x
， 得
2
x
k
2
k
Z ，故
x
k
2
4
以零点的个数为1 4 5
个.故选 D.
k
Z .又因为
x
0,2
π ，所以
x
π 3π 5π 7π
4
4 4
4
,
,
,
.所
【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种
方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是 R ,则零
点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.
4.B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否
定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选 B.
【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另
外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.
5.A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点 P 的圆的弦长达到最
小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点 (1,1)
P
，则
OPk
,故所求直线的斜率为-1.又
1
所求直线过点 (1,1)
P
，故由点斜式得，所求直线的方程为
y
1
x
1
，即
x
A.
2 0
y
.故选
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图
形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直
线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
6.B【解析】特殊值法：当 2
x 时，
y
f x
2
f
2 2
f
0
，故可排除 D 项；
0
当 1x 时，
y
f x
2
f
2 1
f
1
，故可排除 A,C 项；所以由排除法知选 B.
1
【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你
则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以
节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有 xe 的指数型函数或含有 ln x 的对数型函数的图象的
识别.
7.C 同理 7
【解析】设数列 na 的公比为 q .对于①，
(
f a
n
(
f a
)
1
)
n
2
a
1
n
2
a
n
2
q
,是常数，故①符合条件;对于②，
(
f a
n
(
f a
)
1
)
n
1
a
2
n
2
a
n
a
n
1
a
n
2
，不是常数，故②不符合条件;对于③，
|
(
f a
n
(
f a
)
1
)
n
|
a
n
|
a
1
|
n
a
1n
a
n
，是常数，故③符合条件;对于④,
q
条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 C.
(
f a
n
(
f a
)
1
)
n
ln |
a
n
ln |
a
1
|
n
|
，不是常数，故④不符合
【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去
利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.
8.D 【 解 析 】 因 为 ,
,a b c 为 连 续 的 三 个 正 整 数 ， 且
A B C ， 可 得 a
， 所 以
b
c
a
c
2,
b
c ① ； 又 因 为 已 知 3
1
b
20 cos
a
A ， 所 以
cos
A
3
b
20
a
② . 由 余 弦 定 理 可 得
cos
A
2
b
2
a
2
c
2
bc
③，则由②③可得
3
b
20
a
2
b
2
a
2
c
2
bc
④，联立①④，得 27
c
13
c
60 0
，
解 得
4c
或
c
（ 舍 去 ）， 则
6a
，
5b
. 故 由 正 弦 定 理 可 得 ，
15
7
:
sin :sin :sin
A
B
:
C a b c
6 :5: 4
.故应选 D.
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的
比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与
和差角公式的结合应用.
9.A【解析】当
abc 时，
1
1
a
1
b
1
c
abc
a
abc
b
abc
c
ab
bc
ca
，
而
2
a b c
a b
b c
c a
2
ab
2
bc
2
ca
（ 当 且 仅 当 a
， 且
b
c
abc ，即 a
1
时等号成立），故
b
c
1
a
1
b
1
c
ab
bc
ca
；但当取
a b c
a
,显然有
b
c
2
1
a
1
b
1
c
,但
a b c
abc ,即由
1
1
a
1
b
1
c
不
a b c
可以推得
abc ；综上，
1
abc 是
1
1
a
1
b
1
c
的充分不必要条件.应选 A.
a b c
【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件
能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）
等的结合考查.
10.C 同理 8
【解析】如图，不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块阴影部分
的面积分别为 S3,S4，
则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB=
1 (2 )
a
4
2
a
2
①,
而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆，即 S1+S3 +S2+S3
2a
②.
① - ② 得 S3=S4, 由 图 可 知 S3=
(
S
扇形
EOD
S
扇形COD
)
S
正方形
OEDC
1
2
2
a
a
2
, 所 以 .
S
阴影
a
2
22
a
.
由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率
S
阴影
扇形
OAB
P=
S
2
a
2
a
a
2
2
21
.
【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如
何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的
应用.
11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为 a ，则根据分层抽样的特性，有
8
a ，解得 6a .
42 56
故抽取的女运动员为 6 人.
【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接 2012 奥运会为题材，充分展示数学知识在生
活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的
考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查.
12. 3【解析】因为
3
bi a bi
1
i
，所以
3
bi
a bi
1
i
a b
b a i
.又因为 ,a b 都为实
数，故由复数的相等的充要条件得
3,
a b
,
b a b
解得
a
b
0,
3,
所以
3
a b .
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