2018云南考研数学二真题及答案.doc

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2018云南考研数学二真题及答案

2018 云南考研数学二真题及答案一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 若 A a C a   , lim 0 x  1 2 1 2 , x ( e  2 ax  bx ) 1 2 x  1 ,则（） b b  1  1 B a D a  1 , 2 1  2 b  1 , b  1 2 下列函数中不可导的是（） A. )( xf  x sin( x ) )( xf  cos x C. B. )( xf  x sin( x ) D. )( xf  cos( x ) )( xf  ,1 0 x     ,1 0 x   )( xg  3 设函数  2 , 1 xax  1 x x  0 xbx        0 若 )( xf  )( xg 在 R 上连续，则（） a  b ,3  1 a  ,3  b 1 A C 4 设函数 )(xf 在 f ]1,0[ 1( 2 1 2  xf 0)(  时， 0)   )( xf  0 ）（时，f  0 A 当 C 当上二阶可导，且 a  b ,3  2 B a  ,3  b 2 D )( dxxf  0 则（） 1  0 f  x 0)(  f 时， B 当 f  )( x  0 时， f D 当 1( 0)  2 1( 2 0)  ) x 2 x 2 Ndx ,  x   2   2 1  x e Kdx , 1(  cos x ) dx 则 M,N,K 大小关系为（） 5   M   A. C.  2   2 1(  1  KNM  NMK  0 x  1(  5 A 3 5 B 6 dx 1   2  6  x 2  2   2     B. D.    NKM MNK ) xy dy  （） 7 D 6 xy ) dy  1  0 dx  x 2 2  x 1( 7 C 3 7 下列矩阵中，与矩阵      011 110 100      相似的为（）

A. .C      111  110 100           111  010 100      B.      101  110 100      D.      101  010 100      8 设 A,B 为 n 阶矩阵，记 )(xr 为矩阵 x 的秩， ( YX 表示分块矩阵，则 ) （） A. ( ABAr )  ) ( Ar B. ) ( BAAr  ) ( Ar C. ( BAr )  max  ) ( Ar D. ( BAr )  T BAr ( T ) 二、填空题：9~14 题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上。 9 lim 2 x x  [arctan( x )1  arctan x ]  10 曲线 y  x ln22  x 在其拐点处的切线方程是 11  5 x 2 12 曲线在 t   4 对应点处的曲率为  1 dx 4 3 x  3 cos  3 sin  t t   x    y 13 设函数 z  ,( yxz ) 由方程 ln z  1 z  e xy 确定，则 z  x   | 1,2( 2 ) 14 设 A 为 3 阶矩阵， ,  3 , 2 1 为线性无关的向量组，若 A  3 ,2 3  A A 2    , 3   1  1 2 2 2 3 2 ，则 A 的实特征值为三、解答题：15~23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本题满分 10 分）求不定积分 2 x e arctan x e 1 dx  16（本题满分 10 分）已知连续函数 )(xf 满足（1）求 )(xf 1  0 f )( t dt x   0 tf ( tx  ) dt  2 ax （2）若 )(xf 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值

17（本小题 10 分）设平面区域 D 由曲线 18（本小题 10 分） x y    t  1  sin t cos t 0( )2  t 与 x 轴围成，计算二重积分 D ( x  )2 y dxdy 已知常数 k 12ln  证明： ( x  )(1 x  2 ln x  ln2 k x 0)1  :  19（本题满分 10 分）将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值 20（本小题 10 分） 4 9 设 P 是 L 上的动点，S 是直线 OA 与已知曲线），点）（（点 2 ( xx yL 0,0 1,0 ),0 O A 直线 AP 与曲线 L 所围图形的面积，若 P 运动到点（3,4）时沿 x 轴正向的速度是 4，求此时 S 关于时间 t 的变化率。 21（本小题 11 分） x 1 证明 nx 收敛，并求设数列 nx 满足： )2,1  ex n x n (1 ,0    n e  x n x n 1  lim n 22（本小题 11 分）设实二次型 ( , xxxf 3 2,1 )  ( x 1  x 2  2 x 3 )  ( x 2  2 x 3 )  ( x 1  2 ax 3 ) ，其中 a 为参数。（1）求 ( xxxf ) 2,1 , 3 0 的解（2）求 ( , xxxf 3 2,1 ) 的规范形 23（本小题 11 分）已知 a 是常数，且矩阵 A  21 a 031 72 a            （1）求 a （2）求满足 AP  的可逆矩阵 p B 可经初等列变换化为矩阵 B  21 31 72      a 0 a       答案： 1-5 9, 10, 11， 12， 13， 14, BDDDC 6-8CAA 1 4x-3 ln 2 2 2 3 1 4 2

15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 1 = e 2 2x arctan e -1- x x e +2   1 6 x e -1+C   1 =2a 1-e  -x   2 = e 2 2 =5 +3π π 解：记（）（ 2 f x = x-ln x+ klnx-  f x 2  2，当 1，证明（） 0即可。 x 0 1），1，当 x 1   ，证明（） 0； f x  = π 1 4 3 3    单位： m 2 ds =10 dt 略   1 1 a=2 ，时， x=k -1 2 a ；，不等于时， 2      -2 1      0     x= 0     0     2 1 a=2 ，时，为 2 y +y 2 a 1 2 ；，不等于时，为 2 2 2 y +y +y 1 2 2 2 3 。 23,   1 a=2.       3-6k 1  2 P= -1+2k 1 k 1 4-6k 2 -1+2k 2 k 2 4-6k 3 -1+2k 3 k 3      ，且不等于，对于所有的 k k k 1 2 成立。 3 k 2 k 3

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