DOI:10.16186/j.cnki.1673-9787.2014.04.019 3-PＲS机构工作空间的蒙特卡洛方法分析康件丽1，2，陈国强3，赵俊伟3(1．河南理工大学建筑与艺术设计学院，河南焦作454000;2．河南理工大学计算机科学与技术学院，河南焦作454000;3．河南理工大学机械与动力工程学院，河南焦作454000)＊摘要:工作空间分析是并联机构设计与评价中极其重要的工作．针对3-PＲS并联机构工作空间描述及求解复杂的问题，采用蒙特卡洛方法进行工作空间的求解及分析．对运动特性及工作空间进行了分析，给出了计算工作空间的方法，并给出了具体的实现步骤．最后用计算实例验证了该方法的有效性．结果表明，蒙特卡洛方法研究3-PＲS工作空间编程简单，并且工作空间中点的均匀性好;刀具的长度对工作空间的范围有很大影响;3个姿态角，X，Y的坐标等信息可以展现在一个二维图上，直观形象，方便查询．关键词:3-PＲS并联结构;工作空间;蒙特卡洛方法;位姿中图分类号:TP242．2文献标识码:A文章编号:1673-9787(2014)04-0478-04Analysisonworkspaceof3-PＲSmechanismbasedonmontecarlomethodKANGJian-li1，2，CHENGuo-qiang3，ZHAOJun-wei3(1．SchoolofArchitecturalandArtisticDesign，HenanPolytechnicUniversity，Jiaozuo454000，Henan，China;2．SchoolofComputerScienceandTech-nology，Jiaozuo454000，Henan，China;3．SchoolofMechanicalandPowerEngineering，HenanPolytechnicUniversity，Jiaozuo454000，Henan，Chi-na)Abstract:Theworkspaceanalysisisanimportanttaskinthedesignandassessmentofparallelmechanism．Ai-mingat3-PＲScomplexityofworkspacedescriptionandthecomputationofparallelmechanism，MonteCarlomethodisadoptedtocomputeandanalyzetheworkspace．Themovementandworkspacefeaturewereanalyzed，thecomputingalgorithmtotheworkspaceutilizationwaspresented，andthedetailedcomputingprocedurewasalsoshown．Thealgorithmisfinallyverifiedthroughacomputingexample．Theresultshowsthat(1)theanaly-sisof3-PＲSworkspacehasfeaturesofconvenientlyprogramminganduniformpointsintheworkspace，(2)thetoollengthhasaheavyeffectontheworkspace，and(3)theinformationofthreeorientationanglesandX，Ycoordinationvaluescanbepresentedinatwo-dimensiongraphthatisintuitive，visualizableandeasytobeen-quired．Keywords:3-PＲSparallelmechanism;workspace;montecarlomethod;positionandorientation0引言并联机床/机器人具有刚性大、定位准确、运动速度高等优点，已经在航空航天领域获得了大量的应用，在工业生产上也展现出极大的应用前景，得到了世界各国学术界及工业界的广泛关注［1-4］．但是并联机床还有一系列需要解决的关键技术问题:工作空间较小、控制复杂、运动学分析第33卷第4期2014年8月河南理工大学学报(自然科学版)JOUＲNALOFHENANPOLYTECHNICUNIVEＲSITY(NATUＲALSCIENCE)Vol．33No．4Aug．2014＊收稿日期:2014-01-23国家项目基金:河南省科技攻关项目(132102210430);河南理工大学博士基金资助项目(648495)．作者简介:康件丽(1977—)，女，河南平顶山人，讲师，主要从事计算机应用技术、计算机辅助设计方面的教学和科研工作．E-mail:kangjl@hpu．edu．cn中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

计算量大、关键零部件制造精度有待改善等．工作空间的描述与特性分析是并联机床设计及应用中极其重要的一项工作．针对不同的并联机器人/机构，出现了大量卓有成效的方法，可以用来进行工作空间的描述、设计、计算与优化，如代数法、几何法、数值法、可控随机搜索法、性能图谱法等［4-10］．黄俊杰等运用封闭力学矢量关系描述了3-PＲS机构的工作空间，并用MATLAB编程计算［11］．蒙特卡洛方法应用于机器人进行研究的有效性已经得到证实，特别是在串联机器人工作空间研究方面的应用最有成效［12-13］．刘志忠等对蒙特卡洛方法进行改进，改善了工作空间边界处随机点的分布状况，提高了边界点的精确度［13］．常军和陈善君用蒙特卡洛方法对DELTA及Tricept并联机器人的工作空间进行了研究［14-15］．3-PＲS机构是少自由度并联机构的典型代表，具有结构简单、控制方便、造价低廉等优点．本文针对3-PＲS并联机构，运用蒙特卡洛方法对其工作空间进行研究，给出了计算的方法及步骤，并针对具体的实例编程计算，得到其工作空间，并分析其特性．本文对于促进3-PＲS少自由度机构在工业生产或其他领域的应用具有重要意义．1平台结构及运动方式3-PＲS机构的如图1所示［1，11，16］，有主轴平台、3个连杆、3个立柱等组成．主轴平台通过3个球铰b1，b2，b3分别与3个连杆L1，L2，L3连接，3个球铰b1，b2，b3呈正三角形，其外接圆半径为r;连杆通过圆柱铰Ｒ1，Ｒ2，Ｒ3与3个滑座相连，滑座在立柱上做垂直移动;长度为h的刀具安装于主轴平台的中央，与主轴平台垂直;3个立柱空间均布，即在水平面内的投影B1，B2，B3呈正三角形，其外接圆半径为Ｒ．由于受圆柱铰的约束，每个连杆只能在各自相应的垂直平面内运动．主轴平台具有3个自由度，即1个垂直移动的自由度、2个旋转的自由度．2逆向运动学及工作空间固定坐标系OXYZ建立于基座上，X轴过点B1，Y轴沿B2，运动坐标系OTxyz置于刀尖(或主轴轴端)上，z轴与主轴轴线重合．设运动坐标系OTxyz相对于固定坐标系OXYZ的姿态角分别为α，β，γ．则从运动坐标系到固定坐标系的变换矩阵为［1］T=CβCγ－CβSγSβxTSαSβCγ+SαSγ－SαSβCγ+CαCγ－SαCβyT－CαSβCγ+SαSγCαSβSγ+SαCγCαCβZT0001，(1)式中:［xTyTZT］T为动坐标系xyz原点的位置矢量;Sα，Sβ，Sγ，Cα，Cβ和Cγ分别代表sinα，sinβ，sinγ，sinα，sinβ和sinγ．主轴平台具有2个转动自由度α，β，则姿态角γ可由α，β表示，于是γ=－arctan(sinα·sinβcosα+cosβ)，(2)另外加上1个Z轴移动的自由度，xT与yT可由其他的自由变量表示，于是xT=r2(cosβcosγ+sinαsinβsinγ－cosαcosγ)－hsinβ+Ｒ2，yT=hsinαcosβ－rsinαsinβcosγ－rcosαsinγ，(3)则所有满足机构运动约束条件的点(xT，yT，zT)的集合即为3-PＲS机构的工作空间．3基于蒙特卡洛方法工作空间分析蒙特卡洛方法是一种随机抽样模拟方法，是进行机器人工作空间及精度分析的强有力工具．用蒙特卡洛方法求解3-PＲS工作空间的过程如下．Step1:设置并联机构的基本参数．包括3个连杆长度l1，l2，l3，主轴平台的外接圆半径为r，3个立柱的外接圆半径为Ｒ，刀尖到主轴平台中心的垂直距离h，3个滑座的高度H1，H2，H3的范围，每个连杆与相连的立柱之间的夹角范围，α的范围［α1，α2］，β的范围［β1，β2］，zT的范围［zT1，zT2］．974第4期康件丽，等:3-PＲS机构工作空间的蒙特卡洛方法分析中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

Step2:设定蒙特卡洛方法抽样的次数N．Step3:蒙特卡洛方法开始，循环变量k←1．Step3．1:参数抽样．根据设定的概率分布及范围生成表示α，β及zT的随机数．Step3．2:用公式(2)计算γ．Step3．3:用公式(3)计算xT，yT．Step3．4:根据上面的α，β，γ，xT，yT，zT用式(1)计算变换矩阵．Step3．5:计算b1，b2，b3在固定坐标系OXYZ下的Z轴坐标．Step3．6:用下面公式计算3个滑座的高度H1，H2，H3，即Hi=biZ+l2i－(ＲiX－biX)2－(ＲiY－biY)槡2，i=1，2，3，(4)式中:ＲiX，ＲiY为滑座在OXYZ坐标系下的X，Y轴坐标．Step3．7:根据机构特性判断H1，H2，H3的范围，如果有任意一个超出范围，则认为当前(xT，yT，zT)不是有效的工作空间点，转Step3．11;否则，转Step3．8．Step3．8:计算每个连杆与相连的立柱之间的夹角θ=arccosHi－biZli，i=1，2，3．(5)Step3．9:根据机构特性判断θ1，θ2，θ3的范围，如果有任意一个超出范围，则认为当前(xT，yT，zT)不是有效的工作空间点，转Step3．11;否则，转Step3．10．Step3．10:保存当前点(xT，yT，zT)．Step3．11:如果k≥N，转Step4;否则k←k+1，转到Step3．1．Step4:绘制工作空间图、数据保存等．Step5:结束．在Step3．1中，通常直接采用高级语言提供的随机数生成函数．MATLAB中提供了大量的随机数生成函数，如rand()可以生成区间(0，1)上的服从均匀分布的随机数．一些不常用的概率分布，如果高级语言中没有提供相应的随机数生成函数，则可由均匀分布的随机数通过变换得到．算法中，需要将［0，1］上的随机数变换到需要的范围，如对α，则α=α1+(α2－α1)×rand()．(6)如果要分析某一特定姿态下，工作空间的特性，可以将姿态角设为固定值，只对zT随机抽样;当然，也可以设定zT，只对姿态角随机抽样．4实例分析与讨论设3-PＲS并联机构的参数为:l1=l2=l3=1107mm，r=200mm，由于3个圆柱铰的限制，b1，b2，b3的运行被限定在相应的空间平面Ω1:Y=0，Ω2:Y槡=3(X－Ｒ/2)和Ω3:Y槡=－3(X－Ｒ/2)．本实例中限定，b1，b2，b3运动的极限位置为这3个平面的交线，蒙特卡洛方法抽样的概率分布为均匀分布．工作空间的计算结果如图2所示，从中可以发现如下规律及原因．(1)从图2(a)、(b)和(h)中可以看出工作空间的对称性，这个是由3-PＲS结构的特点及本实例中3个连杆长度一致决定的．(2)刀具长度h对工作空间有很大影响．从图2(b)和(h)的对比可以发现，单纯从工作空间在XOY平面的投影来看，刀尖工作空间的外接圆084河南理工大学学报(自然科学版)2014年第33卷中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

比主轴平台中心工作空间的外接圆大;但是主轴中心可以达到的工作空间刀尖未必能够到达，这是由3-PＲS只有2个旋转的自由度及1个移动的自由度引起的．(3)从图2(e)、(f)和(g)中可以看出，当固定了zT，即用垂直于Z的轴的平面来截3-PＲS的工作空间得到的截面上，任意两点的姿态都不同．这是由于X，Y坐标并不独立，是由姿态角α与β决定的，实际应用中X，Y坐标的获得需要其他运动机构配合．(4)图2(e)、(f)和(g)清晰地呈现了不同姿态角下工作空间在XOY平面投影的分布．通过图2(g)，可以根据姿态角α与β来查阅X，Y坐标及γ值，这也是3-PＲS机构3个自由度在工作空间上的可视化形象表示．(5)从图2(a)和(b)中能明显看出抽样次数N对仿真精度的影响．N越大，工作空间中的点越密集，边界也越明显．但随着N增大，计算时间随其线性增加．并且当N增加到一定程度之后，再增加N，计算精度的增加效果越来越不明显，所以计算时N需要取一个合适的值．如果单纯为了观察工作空间的形状及区域，N取值可以小些，如图2(e)、(f)和(g)，尽管N为3000，但仍然能清晰地表现在不同姿态角下的工作空间;如果为了精确研究不同姿态下特性，则N应取大些．5结论(1)蒙特卡洛方法是进行3-PＲS并联机构工作空间研究的有效数学工具，此方法编程简单，并且工作空间中的点均匀性好．(2)3-PＲS并联机构工作空间具有对称性，刀具长度对刀尖所能到达区域有很大影响．总体来说，随着刀具长度增加，刀尖抵达区域变大．(3)由于3-PＲS具有α，β2个旋转的自由度和1个Z轴移动的自由度，通过α，β就可得到确定的γ值及X，Y的坐标，因此，这些信息可以展现在一个二维图上，直观形象，方便查询．(4)本文用蒙特卡洛方法，通过逆向运动学解分析3-PＲS并联机构的工作空间．也可采用此方法，通过正向运动学解来研究工作空间，但是由于正向解析解很复杂，这将有待于进一步研究．参考文献:［1］赵俊伟．串并联机床精度理论及检测装置研究［D］．武汉:华中科技大学，2001．［2］MACHOE，ALTUZAＲＲAO，PINTOC，etal．Enlar-gingoperationalworkspacesinparallelmanipulatorsbyconnectingworkingmodes．Applicationtothe3ＲSSrobot［J］．Ｒobotica，2013，31(4):539-548．［3］BＲISANCOＲNEL，CSISZAＲAKOS．Computationandanalysisoftheworkspaceofareconfigurableparallelroboticsystem［J］．MechanismandMachineTheory，2011，46(11):1647-1668．［4］MACHOE，PINTOC，AMEZUAE，etal．Softwaretooltocompute，analyzeandvisualizeworkspacesofparal-lelkinematicsrobots［J］．AdvancedＲobotics，2011，65(6-7):675-698．［5］郭宗和，段建国，郝秀清，等．4-PTT并联机构位置正反解与工作空间分析［J］．农业机械学报，2008，39(7):144-148．［6］鲁开讲，牛禄峰，刘亚茹，等．3-PＲS并联机构奇异位形及工作空间研究［J］．农业机械学报，2007，38(5):143-146．［7］李浩，张玉茹王党校．6-ＲSS并联机构工作空间优化算法对比分析［J］．机械工程学报，2010，46(13):61-67．［8］刘辛军，吴超，汪劲松，等．［PP］S类并联机器人机构姿态描述方法［J］．机械工程学报，2008，44(10):19-23．［9］刘玮，常思勤．一种新型并联机器人的奇异性与工作空间研究［J］．中国机械工程，2012，23(7):786-790．［10］金振林，何小静．一种新型3-UPS并联机构及其工作空间分析［J］．燕山大学学报，2011，35(3):203-207，227．［11］黄俊杰，贾智宏，赵俊伟．3-PＲS并联机器人的工作空间研究与分析［J］．机械科学与技术，2012，31(4):660-663．［12］李保丰，孙汉旭，贾庆轩，等．基于蒙特卡洛法的空间机器人工作空间计算［J］．航天器工程，2011，20(4):79-85．［13］刘志忠，柳洪义，罗忠，等．机器人工作空间求解的蒙特卡洛法改进［J］．农业机械学，2013，44(1):230-235．［14］常军，南文虎，李玉明．基于蒙特卡洛法的DELTA机器人工作空间分析［J］．机械工程师，2012(9):14-15．［15］陈善君，高元楼．蒙特卡洛方法在Tricept机器人工作空间分析中的应用［J］．机床与液压，2006(11):62-63．［16］黄俊杰，赵俊伟．3-PＲS并联机构位置正解分析［J］．河南理工大学学报:自然科学版，2013，31(4):434-437．(责任编辑李文清)184第4期康件丽，等:3-PＲS机构工作空间的蒙特卡洛方法分析中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net