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2013年湖南普通高中会考数学真题及答案.doc
2013 年湖南普通高中会考数学真题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.
1．已知集合
M
{0,1,2}
，
N
x ，若
{ }
M N
{0,1,2,3}
，则 x 的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
2．设
( )
f x
1 ,(
x
2,(
x
x
1)
1)
，则 (1)
f 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．-1
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（
）.
A.圆柱
C.球
B. 三棱柱
D.四棱柱
4．函数 2cos ,
x x R
的最小值是（
y
）
A．-3
C．1
B．-1
D．3
5．已知向量 (1,2),
a
b
( ,4)x
，若 a ∥ b ，则实数 x 的值为（
）
A．8
B． 2
C．-2
D．-8
6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400，800，为了了解教师的教学情
况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈，则高一、高
二、高三年级抽取的人数分别为（
）
A．15,5,25
B．15,15,15
C．10,5,30
D．15,10,20
7．某袋中有 9 个大小相同的球，其中有 5 个红球，4 个白球，现从中任意取出 1 个，则取
出的球恰好是白球的概率为（
B． 1
4
A． 1
5
）
C． 4
9
D． 5
9
8．已知点 ( ,
x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则 z
)
的最大值是（
x
y
）
A．1
B．2
C．3
D．5
9．已知两点 (4,0),
P
Q
(0,2)
，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（
）
A．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
5
B．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
10
C．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
5
D．
(
x
2
2)
(
y
2
1)
10
10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点
,A B 到点C 的距离
AC BC
km，且
1
ACB
0
120
，则 ,A B 两点间的距离为（ ）
A． 3 km
C．1.5 km
B． 2 km
D． 2 km
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分．
11．计算： 2
log 1 log 4
2
.．
12．已知1,
,9x 成等比数列，则实数 x
．
开始
输入 x
13．经过点 (0,3)
A
，且与直线
y
x 垂直的直线方程是
2
．
x
0?
否
1
是
y
x
14 ． 某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 若 输 入 的 x 的 值 为 2 ， 则 输 出 的 y 值
y
2
x
为
.
15 ． 已 知 向 量 a
b
.
与 b
的 夹 角 为
a
，
4
2
， 且
a b
4
， 则
输出 y
结束
（第 14 题图）
三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 6 分）
已知
cos
,
1
2
(0,
)
2
（1）求 tan的值；
（2）求 sin(
的值.
)
6
17．（本小题满分 8 分）
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用（单
位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有 1000 名职员，试估
计该公司有多少职员早餐日平均费用
不少于 8 元？
18．（本小题满分 8 分）
如图，在三棱锥 A BCD
中，AB ⊥平面 BCD ，BC BD
，
BC ，
3
BD ，直线 AD
4
与平面 BCD 所成的角为 045 ，点 ,E F 分别是 ,AC AD 的中点.
（1）求证： EF ∥平面 BCD ；
（2）求三棱锥 A BCD
的体积.
19．（本小题满分 8 分）
已知数列 na 满足： 3
a ，
13
a
n
a
1
n
4
(
n
1,
n N
)
.
（1）求 1
,a a 及通项 na ；
2
（2）设 nS 是数列 na 的前 n 项和 nS ，则数列 1S ， 2S ， 3S ，…中哪一项最小？并求出这个
最小值.
20．（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) 2
f x
x
2
x
(
)R
（1）当
1 时，求函数 ( )
f x 的零点；
f x 为偶函数，求实数的值;
（2）若函数 ( )
1
2
（3）若不等式
≤ ( )
f x ≤ 4 在 [0,1]
x
上恒成立，求实数的取值范围.
一、选择题
参考答案
题号
答案
1
A
2
B
3
C
4
A
5
B
6
D
7
C
8
D
9
C
10
A
二、填空题
11、 2
； 12、 ±3 ； 13、
x
y ； 14、 2 ； 15、 4
3 0
三、解答题：
16、（1）
(0,
2
), cos
0
，从而
cos
1 sin
2
3
2
2sin cos
1 2sin
2
1200 120
（人）；高二有 200 120 80
（人）
3 1
2
（2）
sin 2
cos2
17、（1）高一有： 200
2000
（2）频率为 0.015 10 0.03 10 0.025 10 0.005 10 0.75
人数为 0.75 2000 1500
（人）
18、（1）
f
f
(0)
(1)
6
b
a b
1 5
a
b
2
6
( )
f x
2
x
2
x
6
（2）
( )
f x
2
x
2
x
6 (
x
2
1)
5,
x
[ 2,2]
1x 时， ( )
f x 的最小值为 5，
x 时， ( )
f x 的最大值为 14.
2
19、(1)
a
1
2,
a
n
2
a
n
1
,
a
2
4,
a
3
8
a
n
a
1
n
2(
n
2,
n N
*
)
， na
为首项为 2，公比为 2 的等比数列，
2 2
na
n
1
n
2
(2)
b
n
log
a
n
2
log 2n
2
n
，
1 2 3
S
n
n
1)
(
n n
2
20、（1）
: (
C x
2
1)
(
y
2
2)
5
k
， ( 1,2)
C
（2）由 5
k
k
0
5
（3）由
2
x
y
(
1)
x
4 0
2
(
y
2
2)
5
k
5
y
2
16
y
8
k
0
设
y
M x y N x y 则 1
),
),
(
(
,
,
1
1
2
2
y
2
16
5
,
y y
1 2
8
k
5
，
2
16
20(8
k
) 0
k
x
1
2
y
1
4,
x
2
2
y
2
4,
y
1
4)(2
y
2
4) 4[
y y
1 2
2(
y
1
y
2
) 4]
4
k
OM ON x x
1 2
,
y y
1 2
5
16
8
k
5
0
k
8
5
(
满足
k
24
5
)
(2
x x
1 2
即 4
k
0,
24
5
16
5
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