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数值最优化算法与理论 第二版 (李董辉 董小娇 万中 着) 课后答案.pdf
第一章答案
第二章答案
第三章答案
第四章答案
第五章答案
第六、七章答案
第八章答案
第十一章答案
via
Ch
max
xjcj
n
Xj=1
2007-9-21
1.15WX Bj℄>f xjg`℄f
1.2 (1)
_{
aijxj ≤ bi (i = 1, 2, · · · , m)
xj ≥ 0, (j = 1, 2, · · · , n)
n
Xj=1
s.t
∇f (z) = ( ∂f (z)
∂z1
∂f (z)
∂z2
· · ·
∂f (z)
∂zn
)T
1
A
A
x = Az + b =
a11z1 + a12z2 + · · · + a1nzn + b1
a21z1 + a22z2 + · · · + a2nzn + b2
...
an1z1 + an2z2 + · · · + annzn + bn
xi = ai1z1 + ai2z2 + · · · + ainzn + bi, i = 1, 2, · · · , n
∇f(z) = (
∂f (x)
∂z1
,
∂f (x)
∂z2
,
· · · ,
∂f (x)
∂zn
)T
∂f (x)
∂z1
=
∂f (x)
∂x1
·
∂x1
∂z1
+
·
∂x2
∂z1
+ · · · +
·
∂xn
∂z1
= a11
∂f (x)
∂x1
+ a21
+ · · · + an1
∂f (x)
∂xn
∂f (x)
∂xn
∂f (x)
∂x2
∂f (x)
∂x2
...
∂f (x)
∂zn
= a1n
∂f (x)
∂x1
+ a2n
∂f (x)
∂x2
+ · · · + ann
∂f (x)
∂xn
a11
∂f (x)
∂x1
+ a21
∂f (x)
∂x2
+ · · · + an1
∂f (x)
∂xn
...
∇f(z) =
=
a1n
∂f (x)
∂x1
a11 a21
...
a1n a2n
+ · · · + ann
∂f (x)
∂xn
+ a2n
∂f (x)
∂x2
· · · an1
·
∂f (x)
∂x1...
∂f (x)
∂xn
· · · ann
2
|f
/
^x
|f
(2)
:8
∇f (x) = (
∂f (x)
∂x1
∂f (x)
∂x2
· · ·
∂f (x)
∂xn
)T
∇f (Az + b) = (
∂f (x)
∂x1
∂f (x)
∂x2
· · ·
∂f (x)
∂xn
)T
∇f (z) = AT ∇f (Az + b)
∇2f (z) =
∂2f (z)
∂z1∂z1
· · ·
∂2f (z)
∂z1∂zn
...
∂2f (z)
∂zn∂z1
· · ·
∂2f (z)
∂zn∂zn
∂(a11
∂f (x)
∂x1
∂2f (x)
∂z1∂z1
=
+ a21
+ · · · + an1
∂f (x)
∂xn )
= (a11, a21, · · · , an1) ·
∂f (x)
∂x2
∂z1
∂2f (x)
∂x1∂x1
· · ·
∂2f (x)
∂x1∂xn
...
∂2f (x)
∂xn∂x1
· · ·
∂2f (x)
∂x1∂xn
= (a11, a21, · · · , an1)∇2f (Az + b) ·
= αT
1 ∇2f (Az + b)α1
a11
a21
...
an1
∂2f (x)
∂zi∂zj
= αT
j ∇2f (Az + b)αi, (i, j = 1, 2, · · · , n)
3
^x8
∇2f (z) =
1 ∇2f (Az + b)α1
αT
· · · αT
n ∇2f (Az + b)α1
1 ∇2f (Az + b)α2
αT
· · · αT
n ∇2f (Az + b)α2
...
1 ∇2f (Az + b)αn
αT
· · · αT
n ∇2f (Az + b)αn
= (α1, α2, · · · , αn)T ∇2f (Az + b)(α1, α2, · · · , αn)
= AT ∇2f (Az + b)A
1.3
(1)
∇f (x) = (
∂f (x)
∂x1
,
∂f (x)
∂x2
)T
∇f (x) =
−40x1(x2 − x2
1) + 2(1 − x1)
20(x2 − x2
1)
∇2f (x) =
∂2f (x)
∂x1∂x1
∂2f (x)
∂x1∂x2
∂2f (x)
∂x2∂x1
∂2f (x)
∂x2∂x2
=
−40(x2 − x2
1) + 80x1 − 2 −40x1
−40x1
20
(2)
∇f (x) =
16x1x2
2 − 48x2
1x2 + 32x3
1 − 8x1x2 + 8(x1 + x2)
16x2
1x2 − 16x3
1 + 12x2
2 − 4x2
1 + 8(x1 + x2)
∇2f (x) =
16x2
2 − 92x1x2 + 96x2
1 − 8x2 + 8 32x1x2 − 48x2
1 − 8x1 + 8
32x1x2 − 48x2
1 − 8x1 + 8
16x2
1 + 24x2 + 8
4
(1)\`^b3 S1\ G8 S1\ d.
(2)\d.{8x S2\d.
(3)\y8d.{\d.
(4)\|f S4\6f 1 e =R
=\ S4=2< /=
d Ey/=d S4V^x
S4\d.
1.5
UR
|f SfdÆ βix(i) ∈ S, βjx(j) ∈ S|f Sfd.
∀λ ∈ [0, 1]
/
αi = λβi, αj = (1 − λ)βj βi, βjUz8
∀αi, αj ≥ 0
λ(βix(i)) + (1 − λ)βjx(j) ∈ S
x(i), x(j) ∈ S, ∀βi, βj ≥ 0
1.4
(λβi)x(i) + (1 − λ)βjx(j) ∈ S
αix(i) + αjx(j) ∈ S
5
k
Xi=1
k
Xi=1
αix(i) ∈ S
αj = 0, (j = 1, 2, · · · , i − 1, i + 1, · · · , k)
"8
wb3 ∀αi ≥ 0, x(i) ∈ S
(1)A
^x SfÆ
(2)A
αi, αlUz8A αi = λ, αl = 1 − λ ∀λ ∈ [0, 1]
1.6 |f fi, i = 1, · · · , m\ S ⊆ RnVd℄ ∀x, y ∈ S, ∀α ∈
[0, 1]
αj = 0, (j = 1, · · · , i − 1, i + 1, · · · , l − 1, l + 1, · · · , k)
αix(i) = αix(i) + αlx(l) ∈ S
λx(i) + (1 − λ)x(l) ∈ S
αix(i) = αix(i) ∈ S
αix(i) ∈ S
k
Xi=1
k
Xi=1
fi(tx + (1 − t)y) ≤ tfi(x) + (1 − t)fi(y), i = 1, · · · , m
6
fi(tx + (1 − t)y)
tfi(x) + (1 − t)fi(y)
fi(x) + (1 − t) max
1≤i≤m
fi(y)
= tF (x) + (1 − t)F (y)
1≤i≤m
1≤i≤m
fi(x)
G(tx + (1 − t)y) =
F (tx + (1 − t)y) = max
1≤i≤m
≤ max
1≤i≤m
≤ t max
1≤i≤m
A F (x) = max
^x max
fi(x)\d℄A G(x) =
^x m
fi(x)\ S ⊆ Rnd℄
A H(x) =
^x H(x)\ S ⊆ RnVd℄
Xi=1
Xi=1
Xi=1
H(tx + (1 − t)y) =
m
Xi=1
Xi=1
Xi=1
m
max{fi(x), 0}
m
Pi=1
Pi=1
m
m
m
7
fi(x)
m
Pi=1
m
fi(tx + (1 − t)y)
≤
(tfi(x) + (1 − t)fi(y))
= t
fi(x) + (1 − t)
fi(y)
= tG(x) + (1 − t)G(y)
m
Xi=1
max{fi(tx + (1 − t)y), 0}
≤
max{tfi(x) + (1 − t)fi(y), 0}
≤ t
max{fi(x), 0} + (1 − t)
= tH(x) + (1 − t)H(y)
max{fi(y), 0}
m
Xi=1
2
22
(i = 1, 3)
1.7}℄"
∀x, y ∈ S α = 1
ZÆ;
α = i
i = 1Z
i = 3Z
:8
1W α = i
2k ı = 1, 3, · · · , 2k−1ZÆ;/
α = i
2k+1 ı = 1, 3, · · · , 2k+1 − 1Z
1
22 )y) = f (
i
2k )y) ≤
x + (1 −
x+(1−
x + y
i
2k
)) ≤
f (y)+
f (
1
22
i
2k
1
2
(y+
2
f (
1
2
1
2
f (
x + y
2
) ≤
1
22
f (x)+(1−
1
22 )f (y)
f (x) + (1 −
i
2k )f (y)
f (
i
2k+1
x + (1 −
i
2k+1 )y)
= f (
[y + i+1
2k+1 (x − y)] + [y + i−1
2k+1 (x − y)]
2
)
≤
1
2
f [y +
i + 1
2k+1 (x − y)] +
1
2
f [y +
i − 1
2k+1 (x − y)]
=
1
2
f [
i + 1
2k+1
x + (1 −
i + 1
2k+1 )y] +
1
2
f [
i − 1
2k+1
x + (1 −
i − 1
2k+1 )y]
≤
i + 1
2k+2
f (x) +
1
2
(1 −
=
i
2k+1
f (x) + (1 −
f (x) +
i − 1
2k+2
i + 1
i − 1
2k+1 )f (y) +
2k+1
2k+1 )f (y) ı = 1, 3, · · · , 2k+1 − 1.
1
2
i
f (y)
8
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