零点档铺，实在干货！ 几种常用的连续状态方程离散方法总结 ——用于卡尔曼滤波方程 1. 前言 多数情况下，系统状态方程是连续的，而卡尔曼滤波方程是离散的。为了套 用离散形式的滤波方程，需要对状态方程实施离散化。离散化过程的主要原则是 保证离散化后的状态方程与原有连续的状态方程等价。本文整理和总结了几种常 用的离散方法，希望能对各位同行有所帮助。 2. 几种状态方程离散方法 2.1 线性状态方程 设系统状态方程为 式中， 为系统状态， 、 为时变矩阵， (1) 为 系统输入， 为系统过程噪声。通常情况下，我们假设 为零均值连 续白噪声向量，自相关函数为 (2) 式中， 为对角矩阵， 为狄拉克 函数。根据线性系统理论的知识，由式(1) 我们有 (3) 式中， 为系统状态的转移矩阵。对于时变系统对应的转移矩阵，在多数 情况下难以求得解析解。此时，可尝试利用时间连续卡尔曼滤波方程，但是需要 在实时计算方面付出较大的代价。 针对时不变系统，即当 、 均为常值矩阵时，式(3)退化为如下形式： 设采样时间为 ，则在 时刻有 而在 时刻有 1 (4) (5) ()()()()()()ttttttxAxBuw1()ntxR()nntAR()nptBR1()ptuR1()ntwR()twT1212[()()]()EttttwwWW()000()(,)()(,)[()()()]tttttttdxxBuw0(,)tt()tA()tB00()()0()()[()()]ttttttetedAAxxBuwTtkT00()()0()()[()()]kTkTtkTtkTetedAAxxBuw(1)tkT

零点档铺，实在干货！ (6) 将式(5)代入式(6)，有 (7) 由于区间 的时间间隔较短，可认为在该区间内系统的输入 是常 值，于是式(7)可简记为 式中，下表“ ”表示 时刻对应的值。 的表达式为 (8) (9) 的表达式为 令 ，则式(10)可转化为 (10) (11) 式中，假设 是可逆的。 的表达式为 (12) 由于 为零均值的白噪声，再结合式(12)可得 , , (13) 进而， 为零均值白噪声向量序列，其协方差矩阵为 2 0000(1)[(1)][(1)]0()()0(1)[(1)][(1)]()[()()]()[()()][()()]kTkTtkTtkTkTtTkTtkTkTkTkTetedeetededAAAAAAxxBuwxBuwBuw(1)(1)[(1)][(1)][(1)]()()+()kTkTTkTkTkTkTkTekTededAAAxxBuw[,(1)]kTkT()tu1+kkkkxxukkT2211+()2!TTeTLsAIAAIA(1)[(1)]kTkTkTedAB(1)kT22002312312!()2!3!TTeddTTTABIAABAIIAAABAIBAk(1)[(1)]()kTkTkkTedAw()tw1[]knE0T+i[]kknnE00ik

零点档铺，实在干货！ (14) 由式(14)可看出，多数情况下 的计算量较大。在硕士论文《大气层高层机动目 标末段拦截制导控制方法研究》中的第四章第二节给出了上述离散化过程对应的 一个实例，可供进一步参考。 通过上述推导和论述，我们可得如下结论： (15) 若式(14)中的 确实难以计算，可认为 ，具体可见书籍《最优状态估计 —卡尔曼， 及非线性滤波》第一版中的第八章第一节。 2.2 非线性状态方程（方程中非线性函数的雅克比矩阵易求） 设系统状态方程为 (16) 式中， 为系统状态， 为非线性函数， 为系统输入， 为系统过程噪声。 针对式(16)，通常情况无法求解原系统的解析解。此时实施离散化，我们采 用如下办法。根据式(16)，我们可有 (17) 假设 在区间 匀加（减）速变化，则式(17)可近似表示为 (18) 将式(16)离散为式(18)的形式，可能难以套用离散卡尔曼滤波的公式，由于离散 3 T(1)(1)[(1)]T[(1)]T(1)(1)[(1)]T[(1)]T((1)[(1)][(1)]T[]()()()()()()()()kkkkTkTkTkTkTkTkTkTkTkTskTkTkTkTkTskTkTEEededEeseddseseddsAAAAAAQwwwwW1)(1)[(1)][(1)]TT0()()kTkTTkTkTkTeedeedAAAAWWQQ11()()()()[()]()~(0,)~(0,)TTkkkkktttteet离散化AAxAxBuwxxAIBuwWQQTQWH()(,,)txfxuw1()ntxR1()nfR1()ptuR1()qtwR(+1)1(,,)kTkkkTdtxxfxuw()tx[,(1)]kTkT21(,,)2(,,)1(,,)21(,,)2kkkkkkkkkkkkkkkdddTTdtdtdtddTTdtdtxuwxuwfxfufwxxfxuwxuwffufwxfxuwfxuw

零点档铺，实在干货！ 化后噪声相关项的处理比较困难。因此，针对式(16)的这种情况，可直接选用连 续形式的卡尔曼滤波。 当式(16)中的过程噪声为加性噪声时，即 对应的离散形式为 (19) (20) 式中， 。由此， 的均值为零，协方差为 (21) 在式(20)中包含实际情况下难以获知的噪声项，鉴于噪声项的量级通常较小，于 是可略去噪声项，并近似认为 在区间 内为常值，所以式(20)可简化 为 (22) 根据式(22)可得，离散卡尔曼滤波所需的雅克比矩阵（偏微分矩阵）为 (23) 当状态方程非线性不强时，为了降低计算量，可忽略式(23)中的二阶偏导数，于 是式(23)可简化为 通过上述推导和论述，我们可得如下结论： (24) 4 ()(,)txfxuw(+1)12(,,)2(,,)(,)1(,)21(,)2kkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkdtddTTdtdtdTTdtxuwxuwxxfxufxfuxfxuxufffuxfxufwxxu(+1)()kTkkTtdtwk(1)(1)TT(1)(1)(1)[]()()()kTkTkkkkTkTkTkTkTkTkTkTEEsddssddsdTQwwWWWu[,(1)]kTkT21(,)1(,)(,)2(,)kkkkkkkkkkkTTxufxxfxufxuxGxu221,2ˆ(,)ˆ(,)ˆ(,)12kkkkkkkkkkTTxuxuxuGffffIfxxxxx221,ˆ(,)ˆ(,)ˆ(,)12kkkkkkkkkkTTxuxuxuGffIxxx

零点档铺，实在干货！ (25) 2.3 非线性状态方程（方程中非线性函数的雅克比矩阵难求） 当非线性函数的雅克比矩阵难以计算或者无法求得时，上述第 2.2 节中的离 散化方法无法使用。考虑式(19)所示的非线性状态方程： 对应的离散形式为 (26) (27) 由上述可知， 。对于式(27)，无法再像式(27)一样利用扩展卡尔曼滤 波（EKF），只能利用无迹卡尔曼滤波（UKF）、容积卡尔曼滤波（CKF）等方法， 其中的积分项可采用四阶龙格库塔方法进行计算。 3. 结束语 本文给出了几种常用的连续状态方程的离散方法，可能并不能完全覆盖我们 在科研和工作中遇到的所有离散问题。但是，可本着原方程与离散后方程等价或 近似等价的原则，结合上述提供的几种方法的思路，具体问题具体分析，最终得 到令人满意的离散形式。 如有任何问题或疑问，可随时邮件联系（hjs_nudt@126.com），欢迎交流， 欢迎批评指正。 5 12(,)(,)()(,)1(,)(,)()~(0,)2~(0,)kkkkkkkkkkkkTtTtT离散化xuxxfxuxfxuwffxuGxuwWxW()(,)txfxuw(+1)1(,)kTkkkkTdtxxfxu~(0,)kTW