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烟台大学数学与信息科学学院2018年数模国赛国二论文（高温作业专用服装设计）.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.61M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    高温作业专用服装设计 摘要 针对问题一，本文着重考虑热传导沿垂直皮肤方向进行，忽略同层壁之间微小的温 差的情况，求解出的毕渥数 Bi 趋近 0 用以消除材料接触面的热损耗情况。其次，考虑 邻近材料层之间存在一定温度关于厚度坐标的一阶偏导关系，在不同材料层边界设定热 量输出与输入的等式关系，利用热传导的性质，建立了一维非稳态导热模型。并对连续 变量厚度与时间构成的二维区域进行离散化处理，采用有限差分法及其递推公式来解决 以多层热防护服、空气层、人体皮肤为整体的偏微分方程组，利用 12 类边界条件对离 散后的结点进行正向递推，求解得各织物层边界的温度分布(见表 problem1.xlsx)，最后 借助 21 类边界条件对该模型进行逆向递推求解，与正向求解所得结果进行整合分析， 结果显示(见图表 6)：正向递推与逆向递推结果基本一致。 针对问题二，本文从目标优化入手，确定了工作时长为 60 分钟和 55 分钟的假人皮 肤温度分别不超过 47℃和 44℃的约束方程组，目标函数确定为使假人皮肤温度最低， 即 z=min u(x4,t) 的单目标非线性约束模型。同时在一维非稳态导热模型的基础上，改变 第 II 层的初始条件和左右边界条件，利用有限差分法和递推公式对其进行范围求解， 最后对第 II 层厚度范围解进行优化。得出当厚度为 8.7mm 时，假人皮肤温度最低。同 时为了测试该解的可信度，取定最优厚度解的邻域，将邻域中的值反向带入求皮肤温度， 并与最优厚度解对应的皮肤温度作比较，发现该约束模型能够较好地得出最优解。 针对问题三，在基于问题二约束模型的基础上，本题将一层材料最优厚度问题拓展 到两层材料最优厚度问题。确定了工作时长为 30 分钟和 25 分钟时的假人皮肤温度限度 的约束方程组，目标函数的确定与问题二确定的目标函数相同。在问题一一维非稳态导 热模型的基础上，改变第 II、IV 层的初始条件和左右边界条件，逐步进行范围优化， 得出当 II、IV 层的厚度分别为 12mm、4.3mm 时，假人皮肤温度最低。同时对得到的最 优厚度解进行检验，发现该约束模型也能够较好地得出最优解。 关键词：一维非稳态导热模型；有限差分法；12 类边界条件；约束模型； 1
    1.1 背景资料 1 问题重述 在高温环境下工作时，人们需穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物 材料构成，记为 I、II、III 层，其中 I 层与外界环境接触，III 层与皮肤之间还存在空隙， 将此空隙记为 IV 层。 为设计专用服装，将体内温度控制在 37ºC 的假人放置在实验室的高温环境中，测 量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，本文利用专业的数学模型 来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，用以解决以下三个问题： 1.2 问题提出 (1) 专用服装材料的某些参数值由附件 1 给出，对环境温度为 75ºC、II 层厚度为 6 mm、 IV 层厚度为 5 mm、工作时间为 90 分钟的情形开展实验，测量得到不同时间对应的假 人皮肤外侧的温度。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的 Excel 文件（文 件名为 problem1.xlsx）。 (2) 当环境温度为 65ºC、IV 层的厚度为 5.5 mm 时，确定 II 层的最优厚度，确保工 作 60 分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 47ºC，且超过 44ºC 的时间不超过 5 分钟。 (3) 当环境温度为 80ºC 时，确定 II 层和 IV 层的最优厚度，确保工作 30 分钟时， 假人皮肤外侧温度不超过 47ºC，且超过 44ºC 的时间不超过 5 分钟。 2 问题分析 2.1 问题一的分析 观察附件二中数据得，假人皮肤外侧的温度随时间而变化，且在经历较长时间后， 温度趋于恒定值，最终达到热平衡，此过程符合非周期性非稳态导热过程。在不考虑同 层壁温差的情况下，建立一维非稳态导热方程。其次，热量在传导过程中分热传导和热 辐射两方面，但由于空气层间隙非常小，从而不考虑对流情况，这时空气层以热传导为 主。问题一从非稳态导热方程着手，由于偏微分方程较为难解，所以借助有限差分法， 将连续变量厚度坐标 ，时间 离散化，继而对网格点进行递推求解。 2.2 问题二的分析 基于问题一的模型，本题为求出第 II 层在一定范围内的最优厚度，需再对其建立 约束模型。本题前提条件为环境温度变为 65ºC。在题一中给出的热传导方程的基础下， 层的边界条件改变，题二的约束条件为工作时长为 60 分钟时，假人皮肤外侧温度不 超过 47ºC，且超过 44ºC 的时间不超过 5 分钟等,其目标函数为工作时长为 60 分钟时， 假人皮肤外侧温度最低。在列出目标函数和约束条件之后，利用 LINGO 软件进行求解。 2.3 问题三的分析 基于问题二的约束模型，本题将材料层最优厚度问题拓展到两层，但本题仅在题二 的基础上改变了环境温度及 II、IV 层的厚度，其约束条件为工作时长为 30 分钟时，假 人皮肤外侧温度不超过 47ºC，且超过 44ºC 的时间不超过 5 分钟，目标函数为工作时长 为 30 分钟时，假人皮肤外侧温度最低。 3 模型假设 1. 假设同层壁温度相同； 2. 假设热传导率与时间无关，即忽略时间对热传导率的影响； 3. 假设热辐射对于热传递的影响； 2 xII
    4. 假设各织物层之间的温度分布是连续变化的，但温度梯度是跳跃的； 5. 假设假人体内部不发生热量的损耗。 4 符号说明 符号 含义 专用服装密度 专用服装比热容 专用服装热传导率 专用服装厚度 温度 时间 热流量 物体体积 物体表面积 5 问题求解 5.1 问题一模型的建立与求解 高温作业下的专用服装隔热层分为 4 层，假设同层壁之间不存在温差，温度仅沿垂 直于假人皮肤的方向变化，即在一维空间中建立模型。又考虑到各材料温度随时间的变 化而变化，本文建立了大平板一维非稳态导热模型进行温度分布的求解，利用差分解法 对其进行数值求解。 5.1.1 一维非稳态导热模型的建立 将服装最外层与空气的接触点定义为原点 ，以此建立大平板一维非稳态导热模型。 材料的剖面图解如下图 1 所示： 图 1 服装材料温度随厚度的变化曲线 温度分布随时间和空间的变化规律为： (1) 其中， 表示温度， 表示各层材料在坐标轴上的位置， 表示时间。 考虑到人体温度与外界环境温度差异较大，本文不涉人体为内热源的情况，故非稳 态导热的导热微分方程为： 3 chuqvsO,ufxux
    (2) 其中 表示专用服装各层材料的密度， 表示各层材料的比热容， 表示材料的热 传导率。 同时引入热扩散率 ，整理可得： (3) 其中 考虑到不同材料间的热损耗导致的在同一材料内部引起的温度分布不均情况，本题 引入毕渥数 ： (4) 其中 表示材料厚度， 为材料的热传导率， 表示材料内部导热热阻， 表示对 流传热热阻率， 表示对流传热热阻。 将附件二中相关数据带入公式（4）中得各层之间的毕渥数 ： 观察上式可得： 即： 认为对流传热热阻远大于导热热阻，所以在整个过程中各层材料内部温差较小。 不考虑临近层接触点之间的热量损失，单独针对第 I 层与第 II 层的导热关系方程， 则有： (5) 当考虑到 4 种邻近材料层之间的导热关系时，建立一维非稳态导热模型如下： 4 uucxxc2a222uuax2pacBi1hhBihh1Bi1230.0027073170.000729730.00224BiBiBi0,1,2,3iBii1h1112xlxluu
    (6) 上述模型(6)用来表示各邻近层之间的导热关系式，从而进行各材料层温度分布的求 解。 5.1.2 非稳态导热方程的有限差分解法 此类偏微分方程的求解过程较为困难，故本文借用有限差分法对非稳态导热方程进 行求解。 借用有限差分法需先确立各层材料定解条件，即初始条件和边界条件，详解如下： 初始条件： 其中经插值拟合得出在初始条件 处的函数： 拟合图形如图 2 所示： 图 2 人体温度随时间变化的函数拟合图像 边界条件： (7) 其中， 为热传导系数， 为衣物的体积， 表示热流量， 表示各层材料厚度累加 值。则热量公式为： 5 1112121231231223342221,2,3,41,2,3,4xlxlxllxllxlllxllliijuuuuiuujuuax,037ulCIVlx22225972197.1241.5592.87878514.812292964,64.091.9125.54918.4IVuxeeee0xxluQqxSuQqxSvql
    其中 (8) ， (9) 代表面积， 代表材料厚度。则可推出： (10) 根据 的不同值来确定各层材料热流量 ，从而确定其左右边界。 经分析，已知第 I 层左端初始温度，右端的热流量，故可确定此材料层属于 类边 界条件(见图 3 解释)： 图 3 12 类边界条件递推 经递推可得出各材料层的左端边界温度，即 4 层材料层均属于 12 类边界条件。于 是可建立如下方程组： (11) 为求解此方程组，需对其求解区域： 中某些离散点 上求出 足够近似的解。 首先对求解区域进行离散化处理，定义 在空间和时间的网格： (12) 6 Qcvvshshqchlq1222212,000,0,luuaxuxxxlugtuxg:0,0Gxlt,iix,iiuxt,ux00,0,1,2,,,0,1,2,,,ijlxxihihhNiMjNtjjM
    将 坐标分成 等份，将 坐标分成 等份，令 表示位置 横轴， 表示时间 纵轴， 网格上每一节点表示一个温度值，用中心差分近似代替对空间的偏微分： (13) 即对于节点 ，有： (14) 一阶热传导方程可近似为： 引进系数 ： 则上式变为： 由于差分格式为稳定差分格式的充分条件为： (15) (16) (17) (18) 经计算得，若任取定 ， ，得到 ，即认为此差分格式为稳定差分格式。 综上：由公式 得出差分递推公式： (19) 其递推过程为： 7 xNMixj222,2,,,,ijijuxhuxuxhuxhuxuxu,ijx21,,1,22,1,j2,,ijijijijijxxijixxuuuuxxhuuux,1,j1,,1,222ijiijijijuuuuuah22ah,11,,1,12ijijijijuuuu2212ahNM12610,11,,1,,00,j1,212ijijijijiljuuuuuxugjugj
    (20) 由此解得各层边界的温度分布，见表格 problem1.xlsx， 利用所求得的各材料层边界的温度分布，借助 MATLAB 软件得其边界温度分布图 如图 4 所示： 图 4 温度分布虚拟图 下面展示各材料层边界的局部温度分布，如表 1 所示： 表 1 各材料层边界的局部温度分布 时间/s I-II II-III III-IV 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.1140255 71.52531876 59.35701275 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 74.36862659 72.52383242 63.8523133 8 ,11,,1,1,12,1,0,2,13,2,1,1,1,1,2,1212012012ijijijijjjkjjjkjNjNjNkNjuuuuuuuuiNuuuujMuuuu
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