2019年福建闽南师范大学数学综合考研真题.doc

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2019 年福建闽南师范大学数学综合考研真题一、填空（1-8 小题每空 2 分，9-12 小题每空 4 分，共 40 分） 1.由基本初等函数 1( ) f x x 和 2( ) f x c 经过有限次代数运算所得的初等函数，叫做初等代数函数，非初等代数函数的初等函数叫初等超越函数。在函数 ① y  23 x  2 x 1,  ② y  ln sin x  ③ 2 ,x y  2 x  1 x  3  x , ④ y  5 cosx 2 中，是初等超越函数. （填写出全部正确序号） 2.实数集 R 不仅具有稠密性，而且具有 . 3.皮亚诺公理第五条的内容是：若 M N  , 并且满足：① ； ② ，则 M N  . 关系. 4.在集合论中，我们认为集合 A 与集合 B 的元素一样多，实质上就在集合 A 和集合 B 之间建立起了 5.数学思维深刻性是指思维活动的 6.抽象逻辑思维是按照逻辑规则进行的一种思维方式，这些逻辑规则在形式逻辑中表现为同一律、从认知心理学的角度看，数学概念获得往往有概念形成和 7.2017 年版普通高中数学课程标准指出数学学科核心素养包括：数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些数学学科核心素养既相互独立、又相互交融，是一个有机的整体。和逻辑推理水平. 、排中律和两种方式. . 、逻辑推理、 8.已知函数 y (1   2 x )( x 2  b  . ax b  的图像关于直线 ) x   对称，则 a  2 ， 9.函数 y a 与函数 y  xe x ( ( x  2) 2  1) 有两个交点， a 的取值范围是 . 10.函数 y  ( x  2) 1 1   x x 的值域是 . 11. 2   2 3 ( x cos 12. 行列式 a b c 2 x dx   1 2 ) 4 x 2 sinA b c  sinB b a   sinC a b   . .（其中 , ,A B C 及 , ,a b c 分别为三角形的三个角和三条边）. 二、改错题（14 分）

13.材料：某学生在解方式 log 2 x 1   x  2 2  时，这样解答： 2 解：原方程可变形为： 2  2  2  2 x 2 x x   1 x    2 1 x     1    答题要求：（1）指出解题过程中的错误之处，并分析产生错误的原因；（2）给出正确解法，并简述应采取哪些教学措施避免此类错误发生. 三、简答题（每小题 10 分，共计 30 分） 14.数学思想方法是数学知识的精髓和本质.请简要回答：在数学教学中，教师讲授思想方法需要注意哪些方面. 15.简述高中数学课堂小结的功能和作用. 16.列举 2011 年版义务教育数学课程标准指出的数学学习内容的核心概念. 四、解答题（17 题 12 分，18 题 10 分，共计 22 分） 17.如图，已知点 D在⊙O的直径 AB延长线上，点 C为⊙O上，过 D作 ED⊥AD，与 AC的延长线相交于 E，且 CD=DE． (1)求证：CD为⊙O的切线； (2)若 AB=12，且 BC = CE时，求 BD的长. 18.证明： 1 3  2 2 sec sec x x   tan tan x x  3( , x R x   k    ). 2 五、综合题（19 小题 14 分，20 小题 14 分，21 小题 16 分，共计 44 分） (第 17 题图) 19. ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 ABC△ 的面积为 2 a 3sin A ．（1）求 sin sinB （2）若 6cos B C ； cos C  ， 3 a  ，求 ABC△ 1 的周长． 20. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 (1,2) M ，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q ，点 ( ,0) P a 都满足 PQ a ，求 a 的取值范围． 21. 已知函数 ( ) f x ＝ 2x  ax b  ， ( )g x ＝ ( xe cx d ，若曲线 ) y  ( ) f x 和曲线 y  ( ) g x

都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 4 x y 2  . （Ⅰ）求 a ，b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若 x ≥－2 时， ( ) f x ≤ ( ) kg x ，求 k 的取值范围.

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