例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。
单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。
在水平方向,对小车与摆球应用牛顿第二定律:
在水平方向,对摆球来说,重力作用应用牛顿第二定律:
ulytmtyM)sin(dddd2222sin)sin(dd22mglytm
而有:
线性化:当 和 较小时 ,有
线性化 化简后,得
求解得:
)(cos)(sinddtcos)sin()(sindd222t)sin()(cosddt)sin()cos()(cosdd222t1cossin02umlymM)(mgmlymuMMmgy1uMlMlgmM1)(
选择状态变量
,
,
,
为系统输入, 为系统输出
状态图为
yx1yxx123x34xxuy1112233()14401000000;00010000mgMMMmgMlMlxxxxuxxxx43210001xxxxy
选择状态变量
,
,
,
为系统输入, 为系统输出
状态图为
yx1yxx123x34xxuy1112233()14401000000;00010000mgMMMmgMlMlxxxxuxxxx43210001xxxxy
Matlab
Inv()函数求矩阵逆
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]
B=[0;1;0;-1]
C=[1 0 0 0]
Q=[B A*B A*A*B A*A*A*B]
rank(Q)
或者
rank(ctrb(A,B))
5.11.3 单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计
1. 状态反馈系统的极点配置及其MATLAB/Simulink仿真
例3-5中给出的单级倒立摆系统的状态方程为
首先,使用MATLAB,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。输
入以下程序
计算结
果为
uxxxxxxxx1010011001000010000104321432143210001xxxxy