第 32 卷第 3 期 电 子 与 信 息 学 报 Vol.32No.3 2010 年 3 月 Journal of Electronics & Information Technology Mar.2010 采用单次快拍数据实现相干信号 DOA 估计 谢 鑫 李国林 刘华文 (海军航空工程学院 烟台 264001) 摘 要：该文针对均匀线性阵列的相干信号 DOA 估计问题，提出了一种基于单次快拍数据的解相干算法，该算法 直接利用快拍数据构造一个 Toeplitz 矩阵，经理论推导，该 Toeplitz 矩阵的秩不受信号的相干性影响，仅和入射 信号的个数有关，因此对该矩阵进行特征值分解可得到正确的信号子空间和噪声子空间，结合 MUSIC，ESPRIT 等子空间算法，即可实现对相干信号的 DOA 估计。数值仿真验证了该算法的有效性。 关键词：DOA 估计；相干信号；Toeplitz 矩阵 中图分类号：TN911.23 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2010)03-0604-05 DOI:10.3724/SP.J.1146.2009.00321 DOA Estimation of Coherent Signals Using one Snapshot Xie Xin Li Guo-lin Liu Hua-wen (Naval Aeronautics and Astronautics University, Yantai 264001, China) Abstract: A new decorrelation algorithm based on one single snapshot is proposed for Direction-Of-Arrival (DOA) estimation of coherent signals on a ULA, which reconstructs a Toeplitz matrix using the observed data vector directly. It is proved that the rank of this Toeplitz matrix is determined merely by the number of incident sources and has no relations with the coherency of the signals. Then accurate signal subspace and noise subspace can be acquired by performing eigenvalue decomposition of the matrix. Combined with the subspace kind algorithms such as MUSIC and ESPRIT, the DOA of coherent signals can be estimated. Simulation results verify that the proposed algorithm is effective. Key words: DOA estimation; Coherent signals; Toeplitz matrix 1 引言 到达角(DOA)估计是阵列信号处理所要研究的 主要问题之一，DOA 估计在无线电通信、电子侦察 等领域有着广泛的应用。MUSIC，ESPRIT 等子空 间类算法的出现使得 DOA 估计突破了瑞利极限而 能达到所谓的超分辨率，但基本的子空间类算法都 不能直接对相关或者相干信号进行有效估计，要利 用此类算法，都需要预先进行解相关处理。传统的 解相关处理一般是采用空间平滑技术，包括前后向 平滑算法(FBSS)及其多种变形 [1 4]− ，该类算法存在 的问题在于需要先对接收数据的协方差矩阵(记为 XXR )进行空间平滑处理以实现解相关，该处理增加 了计算量，减小了阵列孔径；特别是进行空间平滑 的子阵个数和相关入射信号的个数有关，而在大多 数情况下，相关入射信号的个数是无法预知的，这 就限制了空间平滑类算法的应用。近几年又出现了 一类利用 XXR 构造 Toeplitz 矩阵以实现解相关的算 法：文献[5]针对均匀线性阵列(ULA)，利用 XXR 的 2009-03-14 收到，2009-09-23 改回 通信作者：谢鑫 xxin1980@163.com 任意一行构造了一个 Toeplitz 矩阵，利用该矩阵得 到信号子空间和噪声子空间，并利用 ESPRIT 实现 了相关信号的 DOA 估计；文献[6]在文献[5]的基础 上降低了 Toeplitz 矩阵的维数以降低特征值分解的 运算量，但其需要已知的信号个数；文献[7,8]则将 这一解相关技术与模式空间法结合，实现了均匀圆 形阵列(UCA)的相关信号 DOA 估计。文献[9]直接 采用单次快拍数据实现解相关并将其用于 UCA，文 献[10]不用特征值分解实现相关信号 DOA 估计，减 小了计算量。但需要指出的是，文献[5-10]中所构造 N + ，其中 N 为阵 矩阵的最大维数都不能超过( /2 列长度，从而这些算法所能处理的信号个数也不能 N + ，这样虽然能够降低部分运算量，但 超过( /2 对于机载、弹载等小型阵列天线而言，却严重制约 了它们在多种干扰情况下处理信号的能力。文献[11] 提出了一种基于 XXR 的迭代解相关算法，该算法能 直接应用于非均匀阵列和圆阵列，但运算量较大。 本文提出了一种新的相关信号 DOA 估计算法， 该 算 法 仅 利 用 接 收 阵 列 的 一 次 快 拍 数 据 来 构 造 Toeplitz 矩阵，实时性好，对该矩阵进行特征值分 解后得到的信号子空间和噪声子空间不受信号相关 性的影响，能够实现对相关信号的 DOA 估计，而 1) 1) 

第 3 期 谢 鑫等：采用单次快拍数据实现相干信号 DOA 估计 605 且该算法无需计算 XXR ，降低了运算量。 2 信号模型 考虑一个由 N 个全向阵元组成的均匀线性阵 列，阵列间距为 d，如图 1 所示。 图 1 均匀线性阵列 R 假设 M 个远场窄带信号( M N< )分别从 (i iθ = )M 方向入射到接收阵列，且入射波信号和噪 1,2, , 声不相关，以阵元 1 为参考阵元，则第k 个阵元的 输出信号可表示为 ∑ (1) ( ) s t e i ( ) n t k ( ) x t k π 2 λ i 1)sin = + d k ( M − − θ i j i = 1 is t 为第i 个信号的复包络， iλ 为其中心波长， 其中 ( ) kn t 为第k 个阵元中的零均值高斯加性白噪声。 ( ) 则阵列的输出信号矢量可表示为 A S X t ( ) 式中 x t x t [ 1 t t ( )] = ( ) ( ) ( ), ( ), , = θ x N T 2 + N t ( ) (2) θ 1 θ ( ) =A θ a a [ ( ), ( 2 (3) 为 N M× 维阵列流形矩阵， ( )iθa 为对应的方向向 量，且有 θ a , ( )]M ), x t ( ) k = = M ∑ i = 1 M ∑ = i 1 M = ∑ = 1 p k , i 其中 D 信号进行 DOA 估计。 前面提到的空间平滑类算法和 Toeplitz 类算法 都是可看作是利用 XXR 中的元素构造一个秩等于入 射信号个数的矩阵，并利用该矩阵恢复准确的信号 子空间和噪声子空间。本文提出一种新的方法，直 接利用阵列接收的快拍数据构造如下矩阵： ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x t ( ) 1 ∗ x t ( ) 2 t ( ) ∗ N x x t ( ) 2 x t ( ) 1 x ∗ N − 1 t ( ) x x N N ⎤ t ( ) ⎥ ⎥ t ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − 1 x t ( ) 1 (10) 由式(1)及阵列流形向量 ( )iθa 的特点可得 − j s t e ( ) i d k ( − 1)sin θ i + n t ( ) k π 2 λ i − j π 2 λ i s t e ( ) i d p k ( + − 2)sin θ i j π 2 λ i ⋅ e d p ( − 1)sin θ i + n t ( ) k s t a ( ) i θ a ( ) i ∗ p θ ( ) i + n t k ( ), + − p k 1 = 1,2, 则式(10)可写为 H R A DA θ ( ) = N p ( + ≤ + k N 1) (11) θ ( ) + N (12) r t ( ) ⎡ s t ( ) ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0 s t ( ) 0 2 0 s ⎡ n t ( ) ⎢ 1 ⎢ ∗ n t ( ) ⎢ 2 ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ∗ n t ( ) ⎢ ⎣ N n t ( ) 2 n t ( ) 1 n ∗ N − 1 t ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ t ( )M ⎥ ⎦ (13) N ⎤ n t ( ) ⎥ N ⎥ t n ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − 1 n t ( ) 1 (14) 显然 D 的秩等于入射信号个数 M ，而和入射信号之 间的相关性无关。 j H ) θ ( ) θ ( ) 由于 ( )θA 是一个Vandermonde矩阵，且 iθ ≠ θ ≠ ，所以 ( )θA 和 A DA 的秩都为 M ， j i ( 即利用构造的矩阵 R 能够达到“解相关”的目的。 对 R 进行特征值分解，可得到 M 个大特征值和 N M− 个小特征值，它们对应的特征向量分别为 u u , , 的各列可 =U 的各列可张成 张成信号子空间， 噪声子空间。 4 DOA 估计 =U ，则 u [ , u 1[ , u , u u M M u , + 1 + 1 M M N N N , , , ] ] S 1 根据上一节中子空间估计的结果，可以结合 MUSIC 算法来进行 DOA 估计，其空间谱表达式 π 2 λ i − j e = d k ( − 1)sin θ i , θ a ( ) i k =S t ( ) 2 t ( ) ( ), =N s t s t [ ( ), 1 ( ), 为 M 个入射信号矢量。 n t n t [ ( ), 1 为阵列噪声矢量，且满足 σ= 2 0 3 入射信号的解相关 N N N N t ( )] t = ( )] t ( ) t ( ) E[ E[ H T 2 , k N 1,2, = (4) T (5) t ( )] , s M , n t N T ( )] (6) N r t ( ) I (7) (8) 基本的子空间类算法(如MUSIC)是直接对接收 数据的协方差矩阵 XXR 进行特征值分解以获取信号 子空间或噪声子空间的，而 H H + = R H H XX XX = 在信号之间不相关时， XXR 的秩 rank( ASS A NN (9) )XXR 等 于入射信号的个数 M ，对其进行特征值分解能够得 到准确的信号子空间和噪声子空间。而入射信号之 间相关甚至相干时， rank( )XXR 将小于 M ，秩的降 低使得对其进行特征值分解时噪声子空间和信号子 空间不能完全分离，从而无法利用子空间类算法对 

606 电 子 与 信 息 学 报 第 32 卷 为[12] P MUSIC θ ( ) = 1 H H a U U a N N θ ( ) θ ( ) (6)根据 Φ 的表达式计算相应的入射角。 (15) 5 数值仿真 若利用子空间的旋转不变原理[5,13]进行DOA估 计，则 可令 A θ ( ) = ⎡ ⎤ θ a 1( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B = ⎤ ⎡ A ⎥ ⎢ F ⎢ ⎥ θ a ( ) ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ N (16) N θa 分别为 ( )θA 的第 1 行和最后 1 行， 其中 1( )θa 和 ( ) 同样令 j d sin θ M π 2 λ M ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ B=U S F N u ⎡ ⎢ ⎢ U ⎢ ⎣ 1 B ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = = U ⎡ U ⎢ u (17) ⎢ ⎢ ⎣ 其中 1u 和 Nu 分别为 SU 的第 1 行和最后 1 行。则有 A Φ (18) F=A B ⎡ π 2 d sin ⎢ λ e ⎢ 1 ⎢ ⎣ =diag ，根 其中 , π 2 λ 2 Φ sin e e θ 2 θ 1 − j − j − , d , A T 且 A T ，其中T 为一个非奇异转换矩阵。则由 据 子 空 间 旋 转 不 变 原 理 ， 易 得 ： B F=U 式(18)可得 F 1 Ψ = B −T T U U F=U + = F U Ψ (19) ，显然Ψ 与 Φ 有同样的特 其中 征值，即对Ψ 进行特征值分解就可得到 Φ ，从而得 出各个入射角 iθ 的值。 Φ B 下面分别给出利用本文算法结合 MUSIC 和 ESPRIT 进行 DOA 估计的算法具体步骤： 算法 1 (1)获取阵列天线单次快拍数据向量 ( )tX ； (2)根据式(10)构造矩阵 R； (3)对 R 进行特征值分解得到 SU 和 NU ； (4)利用式(15)进行到达角搜索。 算法 2 算法 2 的前 3 步与算法 1 前 3 步相同； (4)利用 SU 得到 BU 和 FU 并计算 Ψ ； (5)对 Ψ 进行特征值分解得到 Φ ； (1)相干信号 DOA 估计 利用第 2 节中的阵列 模型，在阵元数为 15， 3 个等功率相干信号到达角 ，信噪比为 10 dB 的情况下， 分别为 45 , 30 ,62 对第 4 节中的算法 1 进行仿真计算，图 2 所示为结 合 MUSIC 算法进行 DOA 估计得到的空间谱。 − 从图 2 中可以看出，对于 3 个完全相干的不同 角度入射信号，本文算法能够正确实现 DOA 估计 而不受信号相干性的影响。 在同样的阵元数和入射信号条件下，对第 4 节 中的算法 2 在 0 到 20 dB 的不同信噪比下分别进行 了 200 次 Monte-Carlo 仿真统计实验，得到本文算 法的 DOA 估计均方误差随信噪比变化的情况，在 仿真中，加入了 FBSS 算法的仿真作为比较，FBSS 算法所用的快拍数为 128 次，仿真结果如图 3 所示。 从图 3 可以看出，本文算法在低信噪比条件下的 DOA 估计误差较大，特别是在信噪比低于 7 dB 时， 随着信噪比的降低估计误差迅速增大，但在信噪比 大于 7 dB 时性能基本与采用 128 次快拍数据的 FBSS 算法相当。 (2)相关信号 DOA 估计 同样利用第 2 节中的 阵列模型，在阵元数为 15， 3 个入射信号功率相等， 到达角为 45− 和 30 的两个信号相关系数为 0.5，到 达角为 62 的信号和前两个信号不相关，信噪比为 10 dB 的情况下，对第 4 节中的算法 1 进行仿真计 算，图 4 所示为估计得到的空间谱，仿真时，加入 了标准 MUSIC 算法作为对比，从图 4 可见，本文 算法对相关或不相关信号的 DOA 同样能得到较好 的估计效果。 在同样的阵元数和入射信号条件下，对第 4 节 中的算法 2 在 0 到 20 dB 的不同信噪比下分别进行 了 200 次 Monte-Carlo 仿真统计实验，得到本文算 法在估计相关或不相关信号的 DOA 时估计均方误 差随信噪比变化的情况，在仿真中，加入了标准 图 2 算法 1 的相干信号 DOA 估计仿真 图 3 相干信号 DOA 估计的均方误差比较 图 4 算法 1 相关信号 DOA 估计仿真 

第 3 期 谢 鑫等：采用单次快拍数据实现相干信号 DOA 估计 607 图 5 相关信号 DOA 估计的均方误差比较 图 6 快拍累积的相干信号 DOA 估计均方误差比较 ESPRIT 算法的仿真作为比较，ESPRIT 算法所用 的快拍数为 128 次，仿真结果如图 5 所示。从图 5 可以看出，与相干信号的 DOA 估计性能相似，在 低信噪比条件下的 DOA 估计误差较大，特别是在 信噪比低于 6 dB 时，随着信噪比的降低估计误差迅 速增大，但在信噪比大于 6 dB 时其性能基本与采用 128 次快拍数据的 ESPRIT 算法相当。 (3)快拍累积效果分析 从上述仿真可以看出， 本文算法在较低信噪比条件下估计误差较大，这是 由于采用单次快拍进行 DOA 估计利用的数据量少 造成的，比较式(9)和式(12)不难发现，本文所构造 的矩阵相对于接收数据的协方差矩阵缺少信号的累 积和噪声的消除过程，因此对信噪比要求较高。 数据的叠加通常用于实现信号的累积，提高信 噪比。由式(10)，式(13)，式(14)可以看出，对于本 文所构造的矩阵，若将不同快拍进行叠加，则有 D D N N = = r r r ) D + + + t t ( ) ( ) 1 2 N + t t ( ) ( ) 1 2 D (20) t )K ( N (21) + + t ( r K 式中 K 为叠加的快拍数。虽然快拍叠加后噪声矩阵 受到了衰减，但信号的累积形式却是每个信号不同 时间采样点数据的叠加，显然这种叠加得不到需要 的累积效果，甚至会带来信号的衰减。按照第(1)小 节中算法 2 的仿真条件，本文对经过 8 次快拍累积 的数据进行仿真，得到结果如图 6 所示，从图中可 以看出，这种快拍累积的效果比不累积更差，这也 符合上述分析。 6 结论 综上所述，本文算法仅利用单次快拍数据就能 够实现相干信号的 DOA 估计，相比已有的基于接 收数据协方差矩阵的解相干算法降低了计算量；在 信噪比低于 7 dB 时本算法的估计误差较大，但信噪 比较高时，算法性能与 FBSS 算法相当，这样的抗 噪声干扰能力在多数应用中已能够满足要求；与已 有的解相干算法相比，本文算法不损失阵列孔径， 从而能够提高小型阵列天线处理多信号的能力；对 于相关或不相关信号也有较好的 DOA 估计效果。 因此本算法特别适合于对信号处理的实时性要求较 高、面临多信号问题的小型阵列天线系统，如小型 地面阵列天线系统和机载、弹载阵列天线系统。 参 考 文 献 [1] Pillai S U and Kwon B H. Forward/backward smoothing identification[J]. IEEE techniques Transactions on Acoustics, Speech, Signal Processing, 1989, 37(1): 8-15. for coherent signal [2] Dmochowski J, Benesty J, and Affes S. Direction of arrival estimation using eigenanalysis of the parameterized spatial correlation matrix[C]. ICASSP 2007, Honolulu, Hawaii, U.S.A, 2007, Vol 1: 1-4. [3] Ye Zhong-fu, Xiang Li, and Xu Xu. DOA estimation with circular array via spatial averaging algorithm[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2007, 6(1): 74-76. [4] Xu Di-hua, Chen Jian-wen, and Wu You. A novel subspace coherent signal processing algorithm for high-resolution DOA estimation[C]. International Symposium on Intelligent Signal Processing and Communications, 2006. Yonago, Japan. 12-15 Dec. 2006: 653-656. [6] [5] Han Fang-ming and Zhang Xian-da. An ESPRIT-like algorithm for coherent DOA estimation[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2005, 4(6): 443-446. Liu Li-guo, Gai Yi-bing, Wang Hai-song, and Ding Guo-wen. An improved ESPRIT-like algorithm for coherent signal and its application for 2-D DOA estimation[C]. 7th International Symposium on Antennas, Propagation & EM Theory, 2006. ISAPE, Orchard Hotel, Singapore, 26-29 Oct 2006: 1-4. [7] Wang Tao, Yang Li-sheng, Lei Jian-mei, and Yang Shi-zhong. A modified MUSIC to estimate DOA of the coherent narrowband sources based on UCA[C]. International Conference on Communication Technology, 2006. Guilin, China. 27-30 Nov 2006: 1-4. [8] Gao Shu-yan, Chen Hui, Wang Yong-liang, and Meng Cang-zhen. A novel algorithm for estimating DOA of 

608 电 子 与 信 息 学 报 第 32 卷 [9] coherent signals on uniform circular array[C]. International Conference on Radar, 2006. Shanghai, China. 16-19 Oct 2006: 1-4. Jabr K A, Kwon H M, and Tayem N. Modified UCA-ESPRIT for estimating DOA of coherent signals using one snapshot[C]. 2008 IEEE 67thVehicular Technology Conference. Marina Bay, Singapore. 11-14 May 2008: 290-293. [10] Salameh A and Bagby J. Angle of arrival estimation without EVD for coherent sources[C]. International Conference on Telecommunications, 2008. St. Petersburg, Russian. 16-19 June 2008: 1-4. [11] Kaneko K and Sano A. Music-like iterative DOA estimation in multipath environments[C]. 5th IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop, 2008. Darmstadt, Germany. 21-23 July 2008: 212-215. [12] Schmidt R O. Multiple emitter location and signal parameter IEEE Transactions on Antennas and estimation[J]. Propagation, 1986, 34(3): 276-280. [13] Roy R and Kailath T. ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, Signal Processing, 1989, 37(7): 984-995. 谢 鑫： 男，1980 年生，讲师，博士生，研究方向为无线电引信 探测、阵列信号处理. 李国林： 男，1955 年生，教授，博士生导师，研究方向为军用近 程目标探测、识别与信息处理. 刘华文： 男，1979 年生，讲师，研究方向为引信技术.