2007 年湖北高考理科数学真题及答案
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效.
3.将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题
对应的答题区域内.答在试题卷上无效.
4.考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.如果 2
x
3
n
2
3
x
的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为(
)
A.3
2.将
y
(
)
B.5
x
3
2cos
π
6
C.6
的图象按向量
a
D.10
π
4
,
2
平移,则平移后所得图象的解析式为
A.
y
2cos
C.
y
2cos
π
x
3
4
π
x
3 12
2
B.
y
2cos
2
D.
y
2cos
x
3
x
3
π
4
π
12
2
2
3.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合
P Q
|
x x P
,且
x Q
,如果
P
x
| log
2
x
,
1
Q
|
x x
,那么 P Q 等于(
2
1
)
A.
x
| 0
x
1
B.
x
| 0
x ≤
1
x
x
|1
| 2
3
2
x ≤
x ≤
D.
C.
4.平面外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面内的射影分别是 m 和 n ,给出下列
四个命题:
m n
① m n
② m n m n
③ m 与 n 相交 m 与 n 相交或重合;
④ m 与 n 平行 m 与 n 平行或重合.
其中不正确的命题个数是(
A.1
;
;
)
C.3
D.4
B.2
5.已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且
q ≥ ,则
2
A.0
B.1
C.
p
q
(
)
lim
n
→
p
q
11
n
11
n
1
1
D.
p
q
1
1
6.若数列{ }na 满足
2
a
( p 为正常数, n
1
n
2
a
n
p
N ),则称{ }na 为“等方比数列”.
乙:数列{ }na 是等比数列,则(
甲:数列{ }na 是等方比数列;
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
)
7.双曲线
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0
,
b
0)
的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为 1F 和 2F ;
抛物线 2C 的准线为 l ,焦点为 2
F F
MF
1
F C; 与 2C 的一个交点为 M ,则 1 2
MF MF
1
2
1
等于(
)
A. 1
B.1
C.
1
2
D.
1
2
8.已知两个等差数列{ }na 和{ }nb 的前 n 项和分别为 A n 和 nB ,且
A
n
B
n
7
n
n
45
3
a
,则使得 n
b
n
为整数的正整数 n 的个数是(
A.2
9.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 (
a =
B.3
C.4
)
D.5
)m n,
与向量 (1 1)
,b
的夹角为
,则
0
, 的概率是(
)
A.
5
12
10.已知直线
x
a
y
b
B.
1
2
1
C.
7
12
5
6
D.
2
y
100
有公共点,且公共点的横
( a b, 是非零常数)与圆 2
x
坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有(
A.60 条
C.72 条
B.66 条
)
D.78 条
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.已知函数 2
x a
的反函数是
,则 a
;b
bx
.
3
y
y
12.复数
z
a b
i
a b
, ,
R
,且 0
b ,若 2 4
是实数,则有序实数对 (
bz
z
a b, 可以
)
是
.(写出一个有序实数对即可)
13.设变量 x
y, 满足约束条件
x
2
0
y
≤ ≤
≥ ,
3.
x
则目标函数 2x
y 的最小值为
.
14.某篮运动员在三分线投球的命中率是
.(用数值作答)
1
2
,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率
y (毫克)
15.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知
药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时
间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为
1
t a
y
1
16
( a 为常数),如图所示.据图中提供的信息,回答
下列问题:
(I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时
间t (小时)之间的函数关系式为
(II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么
药物释放开始,至少需要经过
小时后,学生才能回到教室.
O 0.1
;
t (小时)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
AB AC
≤
≤ ,设 AB
6
和 AC
的夹角为.
的面积为3 ,且满足 0
已知 ABC△
(I)求的取值范围;
(II)求函数
( )
f
2sin
2
π
4
3 cos 2
的最大
值与最小值.
17.(本小题满分 12 分)
在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的
一种量)共有 100 个数据,将数据分组如右表:
(I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系
中画出频率分布直方图;
(II)估计纤度落在[1.381.50), 中的概率及纤度小于
1.40 的概率是多少?
(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值
(例如区间[1.30 1.34), 的中点值是1.32 )作为代表.据
此,估计纤度的期望.
分组
频数
[1.30 1.34),
[1.34 1.38),
[1.381.42),
[1.42 1.46),
[1.46 1.50),
[1.50 1.54),
合计
4
25
30
29
10
2
100
18.(本小题满分 12 分)
如 图 , 在 三 棱 锥 V ABC
AC BC a
, VDC
中 , VC ⊥ 底 面 ABC , AC
0
π
2
.
BC⊥ , D 是 AB 的 中 点 , 且
(I)求证:平面VAB ⊥ VCD ;
(II)当解变化时,求直线 BC 与平面VAB 所成的角的取值范围.
V
C
A
B
D
19.(本小题满分 12 分)
C
p, 作直线与抛物线 2
x
在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 (0
A B, 两点.
(I)若点 N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求 ANB△
(II)是否存在垂直于 y 轴的直线l ,使得l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存
p )相交于
面积的最小值;
py
(
2
0
)
在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.
y
C
B
A
O
N
x
(此题不要求在答题卡上画图)
20.(本小题满分 13 分)
已知定义在正实数集上的函数
( )
f x
21
x
2
2
ax
,
( ) 3
g x
a
2
ln
,其中 0
x b
a .设两
曲线
y
( )
f x
,
y
( )
g x
有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示b ,并求b 的最大值;
(II)求证: ( )
f x
x ).
( 0
( )
g x≥
21.(本小题满分 14 分)
已知 m n, 为正整数,
(I)用数学归纳法证明:当
x 时, (1
1
mx
)
1
≥
mx
;
(II)对于
n ≥ ,已知
6
1
m
1
3
n
1
2
,求证
1
mm
3
m
1
2
,
求证
1
m
m
n
3
m
1
2
,
m
1 2
,, , ;
n
n
(III)求出满足等式3
n
4
(
n
n
2)
(
n
3)
m
的所有正整数 n .
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工农医类)试题参考答案
2.A
7.A
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.
1.B
6.B
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 25 分.
)
b 的任一组非零实数对 (
12. (2 1), (或满足 2
5.C
10.A
3.B
8.D
4.D
9.C
11.
a
a b, )
16
;
2
13.
3
2
14.
15
128
15.
y
0
10
t
,
1
16
t
,
;0.6
≤ ≤
t
1
10
1
10
t
,
1
10
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16.本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本
知识,考查推理和运算能力.
解:(Ⅰ)设 ABC△
中角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , ,
则由
1
2
bc , 0
sin
3
≤
bc
cos
≤ ,可得0
6
1≤ ≤ ,
cot
∴
π π
,
4 2
.
(Ⅱ)
( )
f
2sin
2 π
4
3 cos 2
1 cos
π
2
2
3 cos 2
(1 sin 2 )
3 cos 2
sin 2
3 cos 2
1 2sin 2
π
3
1
.
∵
π π
,
4 2
,
2
π
3
π 2π
, ,
6 3
∴ ≤
2
2sin 2
π
3
1
≤ .
3
即当
时,
( )
f ;当
3
max
时,
( )
f .
2
min
5π
12
π
4
17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计
方法,考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.
解:(Ⅰ)
分组
1.30 1.34,
1.34 1.38,
1.381.42,
1.42 1.46,
1.46 1.50,
1.50 1.54,
频数 频率
4
0.04
25
30
29
10
2
0.25
0.30
0.29
0.10
0.02
合计
100
1.00
频率/组距
1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54
样本数据
(Ⅱ)纤度落在
1.381.50, 中的概率约为 0.30 0.29 0.10 0.69
,纤度小于 1.40 的概率
约为
0.04 0.25
1
2
0.30 0.44
.
(Ⅲ)总体数据的期望约为
1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088
.
18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运
算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.
解法 1:(Ⅰ) AC BC a
是等腰三角形,又 D 是 AB 的中点,
ACB
∴△
∵
,
CD AB∴
,又VC 底面 ABC . VC AB∴
又 AB 平面VAB ,∴平面VAB 平面VCD .
(Ⅱ) 过点C 在平面VCD 内作CH VD 于 H ,则由(Ⅰ)知CD 平面VAB .
连接 BH ,于是 CBH
就是直线 BC 与平面VAB 所成的角.
.于是 AB 平面VCD .
在
Rt△
CHD
中,
CH
2 sin
a
2
;
设 CBH
,在
Rt△
BHC
中,
CH a
sin
,
∴
2 sin
2
sin
.
∵
0
π
2
,
∴
0 sin
1
,
0 sin
又
0
≤ ≤ ,
∴
π
2
0
π
4
.
2
2
.
即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为
π0
, .
4
A
V
C
H
D
B
解法 2:(Ⅰ)以CA CB CV
, , 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立如图所示的空间
直角坐标系,则
C
(0 0 0)
D
,,, ,,, , ,,
( 0 0)
A a
(0
0)
B
a
2
a a
, , , ,,
2 2
2
0 0
V
0
tan
a
,
于是,
VD
a a
, ,
2 2
2 tan
a
2
,
CD
a a
, , ,
2 2
0
AB
(
a a
, , .
0)
AB CD
·
(
从而
0
a a
, , , ,
0)
·
a a
2 2
1
2
a
2
1
2
2
a
0 0
,即 AB CD
.
a
·
同理
AB VD
0)
·
tan
2
2
(
a a
, , , ,
a a
2 2
即 AB VD .又 CD VD D
又 AB 平面VAB .
∴平面VAB 平面VCD .
(Ⅱ)设直线 BC 与平面VAB 所成的角为,平面VAB 的一个法向量为 (
平面VCD .
, AB ∴
0 0
1
2
1
2
,
2
a
2
a
n
x y z
, ,
)
,
AB
n
·
0
n
VD
,
·
0
.
则由
z
V
C
A
x
B
y
D
得
a
2
ax ay
ax
2
y
0
,
2
2
az
tan
0
.
可取 (11 2 cot
,,
n
)
,又
BC
(0
, , ,
0)
a
于是
sin
∵
0
π
2
BC
BC
n
·
n
·
a
·
a
2 2cot
2
2
2
sin
,
, 0 sin
1
∴
,
0 sin
2
2
.
又
0
≤ ≤ ,
∴
π
2
0
π
4
.
即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为
π0
, .
4
解法 3:(Ⅰ)以点 D 为原点,以 DC DB, 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴,建立如图所示
的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
D
(0 0 0)
,,, ,
A
0
2
2
0
C
a
, , , , ,
B
0
0
a
2
2
2
2
a
0 0
,, ,
V
AB
2
2
2
0
a
,,
2
tan
a
,于是
DV
2
2
2
0
a
,,
2
tan
a
DC
,
2
2
0 0
a
,, ,
(0 2 0)
, , .
a
AB DC
·
从而
(0 2 0)
, ,
a
·
2
2
0 0
a
,,
0
,即 AB DC
.
AB DV
·
同理
(0 2 0)
, ,
a
tan
a
2
0
a
,,
2
2
2
平面VCD .
0
,即 AB DV
.
, AB ∴
又 DC DV D
又 AB 平面VAB ,
∴平面VAB 平面VCD .
(Ⅱ)设直线 BC 与平面VAB 所成的角为,平面VAB 的一个法向量为 (
n
x y z
, ,
)
,
AB
n
·
0
n
DV
,
·
则由
0
,得
2
ay
2
2
0
,
ax
2
2
az
tan
0
.