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MATLAB矩阵分解-MATLAB矩阵分解.doc

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.04M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    MATLAB矩阵分解
    MATLAB 矩阵分解 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个 矩阵的乘积。常见的矩阵分解有 LU 分解（三角分解）、QR 分解（正 交变换）、Cholesky 分解，以及 Schur 分解、Hessenberg 分解、奇 异分解等。 (1) LU 分解（三角分解） 矩阵的 LU 分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上 三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵 A 是非奇异（即 行列式不等于 0）的，LU 分解总是可以进行的。 MATLAB 提供的 lu 函数用于对矩阵进行 LU 分解，其调用格式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵 U 和一个变换形式的下三角阵 L(行 交换)，使之满足 X=LU。注意，这里的矩阵 X 必须是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵 U 和一个下三角阵 L 以及一个置 换矩阵 P，使之满足 PX=LU。当然矩阵 X 同样必须是方阵。 （设 P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵，如 m≤n 且 P*P′=E，则称 P 为一个 m×n 的置换矩阵。） 实现 LU 分解后，线性方程组 Ax=b 的解 x=U(Lb)或 x=U(LPb)，这样可 以大大提高运算速度。 例 7-2 用 LU 分解求解例 7-1 中的线性方程组。
    命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U(Lb) 或采用 LU 分解的第 2 种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U(LP*b) (2) QR 分解（正交变换） 对矩阵 X 进行 QR 分解，就是把 X 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三 角矩阵 R 的乘积形式。QR 分解只能对方阵进行。MATLAB 的函数 qr 可用于对矩阵进行 QR 分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R，使之 满足 X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q、一个上三角矩阵 R 以及 一个置换矩阵 E，使之满足 XE=QR。 实现 QR 分解后，线性方程组 Ax=b 的解 x=R(Qb)或 x=E(R(Qb))。 例 7-3 用 QR 分解求解例 7-1 中的线性方程组。 命令如下：
    A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R(Qb) 或采用 QR 分解的第 2 种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R(Qb)) (3) Cholesky 分解 如果矩阵 X 是对称正定的，则 Cholesky 分解将矩阵 X 分解成一个下 三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为 R，则下三角矩阵为 其转置，即 X=R'R。MATLAB 函数 chol(X)用于对矩阵 X 进行 Cholesky 分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵 R，使 R'R=X。若 X 为非对称正定，则 输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当 X 为对称正定 的，则 p=0，R 与上述格式得到的结果相同；否则 p 为一个正整数。 如果 X 为满秩矩阵，则 R 为一个阶数为 q=p-1 的上三角阵，且满足 R'R=X(1:q,1:q)。
    实现 Cholesky 分解后，线性方程组 Ax=b 变成 R‘Rx=b，所以 x=R(R’b)。 例 7-4 用 Cholesky 分解求解例 7-1 中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明 A 为非正定矩阵。 (4) 任意方阵的 Schur 分解 任意一个 n 阶方阵 X 可以分解为 X=URU'，其中 U 为酉矩阵，R 为上三 角 schur 矩阵且其主对角线上的元素为 X 的特征值。 酉矩阵的相关性质： 设有A，B矩阵 （1）若 A 是酉矩阵，则 A 的逆矩阵也是酉矩阵 （2）若 A，B 是酉矩阵，则 AB 也是酉矩阵 （3）若 A 是酉矩阵，则|detA|=1
    （4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的 n 个列向量是两两正交的单 位向量 [U,R]=schur(X) (5) 任意方阵的 Hessenberg 分解 任意一个 n 阶方阵 X 可以分解为 X=PHP', 其中 P 为酉矩阵, H 的第一 子对角线下的元素均为 0，即 H 为 Hessenberg 矩阵。 [P,H]=hess(X) (6) 任意方阵的特征值分解 EVD 任意一个 n 阶方阵 X 可以分解为 XV=VD，其中 D 为 X 的特征值对角阵， V 为 X 的特征向量矩阵。 [V,D]=eig(X) [V,D]=eig(X,Y)计算广义特征值矩阵 D 和广义特征值向量矩阵 V，使 得 XV=YVD。 (7)任意矩阵的奇异值分解 SVD 任意一个 m*n 维的矩阵 X 可以分解为 X=USV'，U，V 均为酉矩阵，S 为 m*n 维的对角矩阵，其对角线元素为 X 的从大到小排序的非负奇异 值。U,V 为正交阵，S 为对角阵，svd(A)恰好返回 S 的对角元素，而 且就是 A 的奇异值（定义为：矩阵 A’*A 的特征值的算数平方根）
    [U,S,V]=svd(X) (8) 任意矩阵的几何均值分解 GMD 任意矩阵 m*n 维的矩阵 X 可以分解为 X=QRP', Q，P 均为酉矩阵，R 为 k*k 维的实正线上三角矩阵，其主对角线元素均等于 X 的所有 K 个正奇异值的几何均值，k=rank(X)。 （PS: 一个 n × n 的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非 零实系数向量 z，都有 zTMz > 0。其中 zT 表示 z 的转置。 对于复数的情况，定义则为：一个 n × n 的埃尔米特矩阵 M 是正定 的当且仅当对于每个非零的复向量 z，都有 z*Mz > 0。其中 z* 表示 z 的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的 复向量 z，z*Mz 必然是实数，从而可以与 0 比较大小。因此这个定义 是自洽的。正定方阵 M 的所有的特征值 λi 都是正的。）
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