2017年天津高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2017 年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第Ⅰ卷 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式： ·如果事件 A，B互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·球的体积公式 V  4 π 3 3 R .其中 R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 A  {1,2,6}, B  {2,4}, C  {1,2,3,4} ，则 ( A B C    ) （A）{2} （B）{1,2,4} （C）{1,2,4,6}（D）{1,2,3,4,6} （2）设 x  R ，则“ 2 x  ”是“| 0 x   ”的 1| 1 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A） 4 5 （D） 1 5 （B） 3 5 （C） 2 5 （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为

（A）0 （B）1（C）2（D）3 （5）已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上， 0) OAF△ （A） 2 x 4 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 2 y 12 2 y 4  （C）  （B）  （D） 2 x 12 2 y 3 2 x 3 2 x  y 1 1 1 2  1 （6）已知奇函数 ( ) f x 在 R 上是增函数.若 a   f (log 2 1 5 ), b  f (log 4.1), 2 c  f 0.8 (2 ) ，则 , ,a b c 的大小关系为 b   （B） b a （A） a ), （7）设函数 ( ) 2sin(   c f x   （C） c c   x x R ，其中   （D） c b a a     0,| b  .若 5π | π 8 ( f )  2, f 11π ( 8 )  0, 且 ( ) f x 的最小正周期大于 2π ，则 2 3 x 11π 12 （C）     , 1 3 11π 24 （D）    , 1 3 7π 24 设 a  R ，若关于 x 的不等式 ( ) f x |  x 2  在 R 上恒 a | （A）    （B）     , 2 3 , π 12  1, x  1. x | 2,  2 , x  ( ) f x （8）已知函数 |     成立，则 a 的取值范围是（A）[ 2,2]  x （B）[ 2 3,2]  （C）[ 2,2 3]  （D）[ 2 3,2 3]  第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。

二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知 a R ，i 为虚数单位，若 i a  2 i   的图象在点（1， (1) ln x （10）已知 a R ，设函数 ( ) f x 为实数，则 a的值为 . ax  f ）处的切线为 l，则 l在 y 轴上的截距为 . （11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . （12）设抛物线 2 y x 的焦点为 F，学科&网准线为 l.已知点 C在 l上，以 C为圆心的圆 4 与 y轴的正半轴相切于点 A.若（13）若 a， b  R ， ab  ，则 0 FAC  a 4  ，则圆的方程为 . 1 的最小值为 . 120  44 b  ab （14）在△ABC中， A  60  ，AB=3，AC=2.若  BD  DC  ， AE  2   AD AE   4 ，则的值为 .   AC AB   （R ），且三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分 13 分）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c . 已知 sin a A  4 sin b B ， ac  2 5( a  2 b  2 c ) . （I）求cos A 的值；（II）求sin(2 B A 的值. ) （16）（本小题满分 13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲乙 70 60 5 5 60 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x ，学&科网 y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I）用 x ， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？（17）（本小题满分 13 分） 4 3  CD  ，中， AD  平面 PDC ， AD BC∥ ， PD PB ，如图，在四棱锥 P ABCD BC  ， 2 PD  . （I）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（II）求证： PD  平面 PBC ；（Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. AD  ， 1 （18）（本小题满分 13 分）已知{ }na 为等差数列，前 n项和为 0， nS n N ，{ }nb 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 ( * ) b 2  b 3  12, b 3  a 4  2 , a S 1 11  11 b 4 . （Ⅰ）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；（Ⅱ）求数列 2{ a b 的前 n项和 }n n ( n N . ) * （19）（本小题满分 14 分）设 ,a bR ，| a  .已知函数 | 1 ( ) f x  3 x  2 6 x  3 ( a a  4)  ， ( ) x b g x  x e ( ) f x . （Ⅰ）求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y  ( ) g x 和 ex y  的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证： ( ) f x 在 x x 处的导数等于 0； 0 （ii）若关于 x的不等式 ( ) g x  在区间 0 x ex [ 1, x 0 1]  上恒成立，求 b的取值范围. （20）（本小题满分 14 分）

  的左焦点为 0) b F c ( , )0 ，右顶点为 A ，点 E 的坐标为 (0, )c ，已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a EFA△ 的面积为 2 b 2 . （I）求椭圆的离心率；（II）设点Q 在线段 AE 上， | FQ c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在 x | 3 2 轴上， PM QN∥ ，且直线 PM 与直线QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为3c . （i）求直线 FP 的斜率；（ii）求椭圆的方程.

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案（2）B （6）C （3）C （7）A （4）C （8）A （1）B （5）D （9）−2 （12） ( x 2  1)  ( y  2 3)  1 （13）4 （15）（Ⅰ）解：由 sin a A  4 sin b B ，及 a sin A  b sin B （10）1 （11） 9π 2 （14） 3 11 ，得 2a b . 由 ac  2 5( a  2 b 2  ，及余弦定理，得 c ) cos A  2 b 2 c   2 bc 2 a   5 5 ac ac   5 5 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 sin A  2 5 5 ，代入 sin a A  4 sin b B ，得 sin B  A  a sin 4 b 5 5 . 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 cos B  1 sin  2 B  2 5 5 .于是 sin 2 B  2sin cos B B  ， 4 5 cos 2 B   1 2sin 2 B  ，故 3 5 sin(2 ) B A   sin 2 cos B A  cos 2 sin B A (    4 5 16.（Ⅰ）解：由已知， ,x y 满足的数学关系式为   即 )   5 3 2 5 5 5 5 70 60 600, y x     5 30, 5 x y     2 , x y   0, x 0, y  60, . 2 5 5 6 7 y x       6, x y   2 0, x y     0, x 0, y  该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：

y z   25 行直线. ，将它变形为考虑 60 x   z 为直线在 y 轴上的截距，当 25 12 x  ，随 z 变化的一族平 5 z 取得最大值时， z 的值最大.又因为 ,x y 满足约 25 z 最大，束条件，所以由图 2 可知，当直线 60 x 25 经过可行域上的点 M时，截距 25   y z . y x  25 z  ，这是斜率为 12 z 25 5 y （Ⅱ）解：设总收视人次为 z 万，则目标函数为 60  即 z 最大. 7 x     2 x  解方程组 6 y 60, y  0,  得点 M的坐标为 (6,3) . 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多. （17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分. （Ⅰ）解：如图，由已知 AD//BC，学|科网故 DAP 或其补角即为异面直线 AP与 BC所成的角.因为 AD⊥平面 PDC，所以 AD⊥PD.在 Rt△PDA中，由已知，得 AP  故 cos  DAP  AD AP  5 5 . 所以，异面直线 AP与 BC所成角的余弦值为 5 5 . 2 AD PD  2  ， 5

（Ⅱ）证明：因为 AD⊥平面 PDC，直线 PD 平面 PDC，所以 AD⊥PD.又因为 BC//AD，所以 PD⊥BC，又 PD⊥PB，所以 PD⊥平面 PBC. （Ⅲ）解：过点 D作 AB的平行线交 BC于点 F，连结 PF，则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB 与平面 PBC所成的角. 因为 PD⊥平面 PBC，故 PF为 DF在平面 PBC上的射影，所以 DFP 为直线 DF和平面 PBC所成的角. 由于 AD//BC，DF//AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC–BF=2.又 AD⊥DC，故 BC⊥DC，在 Rt △DCF中，可得 DF  2 CD CF  2  2 5 ,在 Rt△DPF中，可得 sin  DFP  PD DF  5 5 . 所以，直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值为 5 5 . 18.（Ⅰ）解：设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为 q .由已知 2 b b 3 12  ，得 1( b q q 2 ) 12  ，而 1 b  ，所以 2 q 2 q   .又因为 0 q  ，解得 2 q  .所以， 2n 6 0 nb  . b 由 3  a 4 12 a  ，可得 3 d a 1 S  ① .由 11 8 411 b ，可得 1 5 d a  ② ，联立①②，解得 16 1 1, a d  ，由此可得 3 na 3 n 2  . 所以，{ }na 的通项公式为 na 3 n  ，{ }nb 的通项公式为 2 nb  2n . （Ⅱ）解：设数列 2{ a b 的前 n 项和为 nT ，由 2 na }n n 6 n  ，有 2 nT    4 2 10 2  2  16 2  3    (6 n  2) 2n  ， 2 nT 4 2   2  10 2  3  16 2  4    (6 n 8) 2   n  (6 n  2) 2  n 1  ，上述两式相减，得 nT  4 2 6 2     2 6 2   3   6 2   n  (6 n  2) 2  n 1   n 12 (1 2 )   1 2    4 (6 n  2) 2  n 1    (3 n  4)2 n  2  16 .

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