概率论与数理统计公式整理.doc-资料库

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概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 （ 1 ）排列组合公式（ 2 ）加法和乘法原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试验和随机事件（ 5 ）基本事件、样本空间和事件第 1 章随机事件及其概率 P n m  ! m nm  ( )! C n m  ! m  (! nmn )! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用  表示。一个事件就是由  中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是  的子集。  为必然事件，Ø为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件 B发生）： A  如果同时有 B  ，则称事件 A与事件 B等价，或称 A等于 B： B A  ， B A （ 6 ）事件的关系与运算 A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。属于 A而不属于 B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB或者 BA ，它表示 A发生而 B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者 AB。A  B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1  -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：结合率：A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)   1  i A i    1  i A i BABA    ， BABA    德摩根率：设  为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 1A ， 2A ，…有   P    1  i A i    常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 A 的概率。  i 1  ( AP i ) 1°  2° P (  1 ) ， P (  2 n 2  1, 1 )    n 1, m 2 组成的，则有 ( ( ) ( P   m  = 2 1 (  n ) P P 。   ) ) 设任一事件 A ，它是由 P(A)= (  2 A  ( ) ) 1 基本事件总数所包含的基本事件数 m n    ( mP  ) 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A， ) ( AP  ) ( AL ( ) L  。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（ 7 ）概率的公理化定义（ 8 ）古典概型（ 9 ）几何概型（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B  A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 ( ABP / ) ( ) ABP ) ( AP ( ) ABP ( ) AP 。（12）条件概率 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Ω/B)=1  P( B /A)=1-P(B/A) ( ) ABPAP 乘法公式：更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 ( ABP  ) ( ) / ( AAP 1 2 … )nA AAAPAAPAP ) 1 ) 1 ( ( ( | | 1 3 2 2 ) ( AAAP n | 1 2 … …… （13）乘法公式 )1nA 。 ①两个事件的独立性 ) ( ABP ( ( BPAP  设事件 A 、B 满足 0 ( AP 若事件 A 、 B 相互独立，且 ( ) ( BPAP ( ) AP ( ) ABP ( ) AP ( ) ABP ) ) )    | ( BP ) ) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。，则有若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、A 与 B 也都相互独（14）独立性立。必然事件  和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。 nB , 2 , , 1° , BB 1  满足设事件 , , BB 1  两两互不相容， 2 n  nB iB  A ( BP i )  (0 i  ,2,1 ), n ， i 1  ， ( ) BAPBP 1 2° 则有 ( ( ) | BAPBP AP 设事件 1B ， 2B ，…， nB 及 A 满足 1° 1B ， 2B ，…， nB 两两互不相容， ) 1  ( ) ( )  | 2 2   ( BAPBP ( ) | n ) n 。 (BiP ) >0， i 1，2，…， n ， A  2° 则 ( ) ABP / i n  1 i iB ( AP ) 0 ，， i / ) ( ( BAPBP  n  i ( BAPBP ( ) / ) j j 1  ，i=1，2，…n。 ) j 此公式即为贝叶斯公式。 ) ，（ 1i ，2 ，…，n ），通常叫先验概率。，（ 1i ，2 ，…， ( iBP n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。 ( ) ABP i / 我们作了 n 次试验，且满足  每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；（15）全概公式（16）贝叶斯公式（17）伯努利概型 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1  n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；  每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为示 n 重伯努利试验中 A 出现 k 0(  k n ) 次的概率， kP n )( C k n kn  k qp k  ,2,1,0  , n ，。第二章随机变量及其分布 1 p  q )(kPn 表，用（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： , X  ( , XP   2 显然分布律应满足下列条件： , xx 1 2 , pp 1 x k p , , k x k , , ) | 。  k 1  kp  1 0kp ,2,1k 。，，（2）  x   （1） )(xF 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 )(xf ，对任意实数 x ，有设 )( xF 则称 X 为连续型随机变量。 )(xf 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质： )( dxxf ， 0 。 )( dxxf 1° )( xf 2°  ) ( XP x     1 。 ( xXxP   dx )  )( xf dx 积分元 )( xf dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 ( XP  x k )  p k 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（2）连续型随机变量的分布密度（3）离散与连续型随机变量的关系 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 （4）分布函数设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 )( xF ( XP   x ) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 ( bXaP   )  )( bF  )( aF 可以得到 X 落入区间 ],( ba 的概率。分布函数 )(xF 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质： 1° 0  xF ,1)(   x ； 2° )(xF 是单调不减的函数，即 x  时，有 1 x 2 ( 1xF ) ( 2xF ) ； 3° F (  )  lim x  )( xF  0 ， F (  )  lim x  xF 1)(  ； 4° ( xF  )0  )( xF ，即 )(xF 是右连续的； 5° ( XP  x )  )( xF  对于离散型随机变量， xF )(  对于连续型随机变量， )( xF   )0 。 p ； k ( xF   x x k x   )( xf dx 。（5）八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 ,2,1,0  。 n, ( kXP  )  )( kP n  k qpC k n kn  ，其中 q 1  p 0,  p  ,1 k  ,2,1,0  , n ，则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为 X ,(~ pnB ) 。当 1n 时， ( XP  k )  k qp 1  k ， 1.0k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 泊松分布设随机变量 X 的分布律为 ( XP  k )  k   ! k e ， 0 ， 2,1,0k ，则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布，记为 )(~ X 或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布 ( XP  k )  C k M kn  MN  C  n C N , 2,1,0 k  min( l  , l  ), nM 几何分布均匀分布随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 ( XP  k )  q k 1  , kp  ,3,2,1 ，其中 p≥0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 )(xf 在[a，b] 上为常数 1 b  a ，即 )( xf  ,1 a    b   ,0 a≤x≤b 其他，则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。分布函数为 )( xF  x   )( dxxf  0， ax  ab  , xb。当 a≤x1

概率论与数理统计公式（全）指数分布 2011-1-1 ,xe   0, )(xf 0x 0x , , 其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为 )(xF , xe  1 ,0 0x , x<0。记住积分公式：  dx  ! n  x n ex  0 1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 正态分布（6）分位数（7）函数分布下分位表：上分位表：离散型设随机变量 X 的密度函数为 ) x   2 2   ( 2 1 2   )( xf 其中、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、  ，， e x 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 )(xf 具有如下性质： 2NX ~ ( , ) 。对称的； 1° 2° 当 x 2NX , 若 )( xF )(xf 的图形是关于 x 1 2  时， ) ，则 X 的分布函数为  x   e ) t   2 2  ~  ) (  dt  ( f ( 2 1 2  。。为最大值； 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为参数 ~ NX )( x  0 、 )1,0( 1 ，其密度函数记为  2  2 x 2 e  ，  x ，分布函数为 1 2  )( x x   2 t 2  )(x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 e  dt 。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 1 2 。 X ~ ) , ( 2N )  2  ，则 x        2    )1,0(N 。 x    1       。如果 X ~  X ( xP x 1  ＝)  ＝) ( XP ( XP ；。已知 X 的分布列为 , x 1 , p 1 Y  X ( XP  (Xg ) Y  ,  ,  y  i ), 2 x 2 p , ) x , i 2 的分布列（ ( ( ), xg xg 1 , , p 1 ) p 2 , x n , p n ( i xg ,  , ，   ) 互不相等）如下： ( xg n ,  ), ， n ( y YP 若有某些 i ) ( ixg 相等，则应将对应的 ip 相加作为   p ( ixg 的概率。 ) 连续型先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤ y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 1

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