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病毒扩散与传播的控制模型论文.doc

发布时间：2022-06-06 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.44M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    病毒扩散与传播的控制模型 内容摘要：本文是研究某传染病的传播的问题，采用了 SIR 模型进行处理，把所 有的人群分为四类，分别为易感人群、疑似患者、患者和退出人群。建立相应的 微分方程组，采用 MTLAB 进行模拟，得到相关的数据及图表，根据图表在对该 问题进行灵敏度分析。 问题一：问题中的四类人群我们可以知道他们的转化关系，通过对这四类人群的 分析，采用 SIR 模型进行处理，可以的得到相关的微分方程组，人为的假定以及 给定的相关条件，可以求出它们的初始条件，之后可以采用计算机模型。 问题二：在问题一的基础上，给定了一些条件和人为的一些参数的复值，可以通 过 MTLAB 求出对应条件结果。该传染病在一个人数为 1000 万的城市中的变化 情况为在今后的第 24.928 天会使患者数量达到高峰，其数量约为 34.5 万人。该 病约在 50 天后才能得到完全的控制。 问题三：在问题二的基础上，只把患者 2 天后入院治疗改为 1.5 天，疑似患者 1.5 天后被隔离改为 1.5 天，其余条件不变，通过求解，我们可以得到，在今后的第 22.968 天会是患者数量的高峰期，其数量约为 34.4 万，同比 2 天后隔离时的在 高峰期的患者数量多 1000 人左右。该病在今后的 53 天后才能得到完全的控制， 同比 2 天后隔离时推迟了 3 天左右。 问题四：在问题二的基础上只是把隔离措施强度改为 p=40%，通过求解得到， 在今后的第 16.048 天会使患者数量达到高峰，其数量约为 76.8 万人。该病约在 38 天后才能得到完全的控制。对应隔离强度 P=60%的时候，患者数量在高峰期 增加了 42.3 万了，但是完全控制的时间提前了 15 天。 问题五：在问题二的基础上把条件一改为 d1=1, d2=11, d3=30, r=250，通过求解 得到，在今后的第 2.7947 天会使患者数量达到高峰，其数量约为 215 万人。该 病约在 17 天后才能得到完全的控制。对应问题二的时候，患者数量在高峰期增 加了 180.5 万了，但是完全控制的时间提前了 15 天。 问题六：通过上述问题二、问题三、问题四和问题五，我们可以对患者多少天入 院治疗、疑似患者多少天被隔离、隔离强度和该病的传染强度（r）做灵敏度分 析。
    问题七根据本文建立的模型和得出的结论给政府部门写了一份建议报告。报告针 对疫情的防治提出了几点建议和对策。 关键词： 传染病毒 微分方程组 灵敏度分析 MTLAB 模拟 问题重述 已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为 d1~d2 天，病患者的治愈时间 为 d3 天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每 天接触人数为 r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑 似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度 p（潜伏期内的患 者被隔离的百分数）。 要求： 1．在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型； 2． 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟 条件 1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10, 条件 2：已经知道的初始发病人数为 890、疑似患者为 2000 条件 3：隔离措施强度 p=60% 条件 4：患者 2 天后入院治疗，疑似患者 2 天后被隔离,试给出患者人数随时间变 化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。 3． 若将 2 中的条件 4 改为条件：患者 1.5 天后入院治疗，疑似患者 1.5 天后被 隔离,模拟结果有何变化？ 4． 若仅将 2 中的条件 3 改为条件：隔离措施强度 p=40%，模拟结果有何变化？ 5．若仅将 2 中的条件 1 改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变 化？ 6． 分析问题中的参数对计算结果的敏感性。 7． 针对如上数据给政府部门写一个不超过 400 字的建议报告。
    基本假设 1)假设该病毒康复者不会被再次感染，并且不具备传染性； 2)不考虑在该病毒传播期间人口的自然出生和自然死亡； 3)所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出； 4)各类人群在人群总体中分布均匀； 5)潜伏期的患者潜伏期的患者感染力很小。 符号约定 )(tS ：t 时刻易感群的人数； ( )R t ：t 时刻退出人群的人数； )(tP ：t 时刻疑似患者的人数； )(tI ：t 时刻确诊患者的人数； N：表示总人数； w ：表示疑似患者中潜伏期病人所占得比例； l ：表示退出人群的比例，即恢复系数； P：表示隔离强度； m：表示患者第 m 天后入院治疗； r ：表示该人群的人均每天接触人数； n：表示疑似患者 n 天后被隔离。 问题分析 针对问题一中，我们结合实际问题，把问题简化为患者治愈后就有了该传染 病的抗体，不会在被感染了，所以这个问题就简化成了SIR模型。为了便于研究， 我们假定在短时间内的人口是不会变的（除了是因为该传染病导致死亡的），假 定一开始人数为1000000，通过分析我们可以把人群分为四类，分别为患者、易
    感人群、疑是患者和退出人群（治愈的患者和死亡的人）。 疑似患者全部是由易感人群转化而来，患者全部是由疑似患者转化而来，退 出人群包括治愈的人和不愈而亡的人，它们都是由患者转化而来 这样我们就可以建立SIR模型的微分方程。相应的流程图如下; 易感 人群 疑似 患者 患者 退出 人群 治愈的患者 不愈而亡的患 针对问题二、三、四、五，我们只须模型一中代入数据进行模拟，即可得出 相应的结果 。 问题6要求我们分析各参数对计算结果的敏感性，我们可定性地对其进行分 析。要分析的参数有 r 、 p 、m、n，我们可分别假设其中的三个参数不变，改 变另一参数的值来分析各参数对结果的影响。 问题7要求针对我们以上给出的数据给政府部门写一份建议报告，报告内容 可根据我们分析得出的结果，对于怎样更好地控制和预防病毒的传染给出一些指 导建议。 模型建立与求解 问题一: SIR 模型： 在现实生活中大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫 力，所以治愈的人既非正常的健康者也非病人，他们是属于退出人群的一部分， 还有就是由于该病而死亡的人群也归为退出者。 我们假设： 1).总人数为 N，则 ( ) I t  ( ) S t  ( ) P t  ( ) R t  N 2).单位时间内，治愈后的患者数和由于该病而死亡 的人数之和与当时的患者人 数成正比，的单位为天，比例系数为l 。
    由以上的两个假设可以得到如下微分方程：  ( ) lI t (1   )  ( ) P t ( ) P t                 ( ) P t dI dt ( ) ( ) rS t I t dS N dt ( ) ( ) rS t I t dP N dt dR lI t ( ) dt   问题二：根据问题一中建立 SIR 模型，给出的相应的参数如下： 条件 1：d1=1, d2=11, d3=30, r =10. 条件 2：初始发病人数 I(0)=890、初始疑似患者 P(0)=2000、易感人群的人数 S（0）=100000000-2890，初始退出人群 R（0）=0. 条件 3：隔离措施强度 P=60% 条件 4：患者 2 天后入院治疗（m=2），疑似患者 2 天后被隔离（n=2） 0.3 条件 5：疑似患者中潜伏期病人所占得比例 w  条件 6：退出人群的比例，即恢复系数： 0.5 l  根据上述的 6 个假设，可以得到初始条件为: (0) 890 I 7 (0) 10 S (0) P (0) 0 R  2000            2890 通过 MTLAB 可以求出其数值解，把所以数据可以反映到图表中，如下：
    图一：各类人群随时间变化的曲线图 从图一中我们可以得出确诊人数在 0-5 天时增长比较缓慢，正好说明了该病毒有 个潜伏期大概为 5 天左右，不仅符合题目所说的该病毒有 6-11 天的潜伏期，而 且还符合我们假设潜伏期的患者感染力很小。从 5-13 天时快速增长，达到最大 1.85 10 ，说明从此时开始度过潜伏期的患者开始感染易感染者，此时政府还 6 值 未来得及采取措施，使得确诊患者呈指数增长，达到最大值。从第 13 天以后就 开始慢慢减少，此时政府的措施起到了效果，确诊患者已经在政府的控制当中， 并且医院及时拯救，使得确诊人数最后趋近于 0. 问题三、问题四和问题五： 在问题二的基础上，只需更改相应的参数，通过 MTLAB 求解其数值解，相应的 数据如下图表： 问题三：将 2 中的条件 4 改为条件：患者 1.5 天后入院治疗，疑似患者 1.5 天后 被隔离, 得出患者人数随时间变化的曲线图
    图二：天数为 1.5 天和 2 天后隔离时确诊患者人数随时间变化的曲线图 从图二中，我们可以得出 t=1.5 时确诊患者的最大值在第 24 天时，人数为 34.4 万，而 t=2 时确诊患者的最大值在第 25 天时，人数为 34.5 万,从而得出隔离越及 时，高峰期确诊患者数越少，这是符合实际情况的，说明政府及时采取措施，有 效的控制住了人数的增多。 问题四：仅将 2 中的条件 3 改为条件：隔离措施强度 p=40%，得出患者人数随 时间变化的曲线图
    图三：P=40%和 P=60%时确诊患者人数随时间变化的曲线图 从图三，我们可以得出 P=40%时，确诊患者在第 16 天时，达到最大值为 76.8 万， 而 P=60%时，确诊患者在第 23 天时，达到最大值为 34.5 万。说明隔离强度越低， 患者人数越多，且达到高峰期的时间也更正早，所以我们必须加大隔离强度，就 有效控制住患者人数增多 。 问题五：仅将 2 中的条件 1 改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，得出患者人数 随时间变化的曲线图
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