2018年云南昆明理工大学量子力学考研真题A卷.doc

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2018 年云南昆明理工大学量子力学考研真题 A 卷一、选择题（27 分，每题 3 分，共 9 题。每个题有 A、B、C 和 D 四个选项，其中只有一个符合题意，请将正确的选项写在答题纸上）。 1. 在量子力学中，描述微观粒子运动的波函数是概率波，这一解释是由[ ]提出的。 (A) 爱因斯坦 (B) 玻恩 (C) 狄拉克 (D) 普朗克 2. 康普顿散射中，当散射 X 光子与入射 X 光子方向所成夹角φ为[ ]时，散射光子的能量变化最大。 (A) 0 (B) 3 2 (C)  2 (D)  3. 下列微观粒子中，不是费米子的是：[ ]。 (A) 中子 (B) 电子 (C) 质子 (D) 光子 4. 关于不确定关系 p yΔΔ y   有以下几种理解，正确的是： [ ] (A) y方向上粒子的位置不能准确确定。 (B) y方向上粒子的动量不能准确确定。 (C) y方向上粒子的位置和动量不能同时准确确定。 (D) y方向上粒子的位置和动量都不能准确确定。 5. 设氢原子的动能等于氢原子处于温度为 T的热平衡状态时的平均动能 kT 3 2 ，氢原子的质量为 m，那么此氢原子的德布罗意波长为：[ ] (A) 3 mkT h (B) 5 mkT h (C)  h 3 mkT (D)  h mkT 5 6. 根据量子力学理论，当大量氢原子处于 2n 的激发态时，跃迁将发出：[ ] (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：   )( x 么在势阱中 0 a x 区域内找到粒子的几率为：[ cos x  2 a （ 1 a ]  a x a ），那

(A) 大于 1 2 (B) 等于 1 2 (C) 小于 1 2 (D) 不能确定 8. 关于算符，下列说法错误的是：[ ] (A) 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符 (B) 厄米算符的本征函数组成完全系 (C) 厄米算符在任何状态下的平均值必为实数 (D) 两个算符有一组共同本征函数且组成完全系，则这两个算符对易 9. 若 Sˆ 为自旋角动量算符， ˆ S  ˆ S x  ˆ Si y ，则  SS ˆ,ˆ 2 [ ] (A) 0 (B)  二、填空题（共 30 分）。 (C) 2  4 (D) ˆ zSi 10（6 分）. 根据玻尔的氢原子理论，若大量氢原子处于主量子数 n=4 的激发态，则跃迁辐射的谱线可以有条，其中属于巴尔末系的谱线有条。 11 （ 6 分） . 设描述微观粒子运动的波函数为  tΨ ,r ，则  tΨ ,r 须满足的条件是、和。 12（6 分）. 如果质量为 m的粒子在一维空间（x）运动，势能为 1 2 2 xm ，其基态（即零 2 点能）能量为；第二激发态能量为，相邻两能级的间隔为 13 （ 6 分） . 已知 xˆ ， yˆ ，和 zˆ 为泡利矩阵，则  y x  ˆ ˆ ， = 。， y  ˆ ˆi  ， ˆ x z = z ，   ˆ ˆ   ，， x ˆ y = 。 14 （6 分）. 设   ,r , nlm 是描述氢原子中电子运动的波函数，则在忽略自旋量子数的基础上，对于一个确定的 n , l 的取值有个；而且对应于一个具体的l ，m 的取值有个；故对于氢原子的第 n 个能级，其能级的简并度为。三、简答题（共 18 分） 15（6 分）简述康普顿效应及其意义。 16（6 分）阐述爱因斯坦在量力力学发展过程中所做出的贡献。 17（6 分）举例说明电子的自旋效应。

四、证明题（共 30 分） 2 d 18（15 分）.试证明下列函数是算符 2 d x （1） ikxe ；（2） xe ；（3） kx sin 的本征函数并给出相应本征值。 19 （ 15 分） . 已知无量纲算符： ˆ Q xm   ， ˆ F  1 m  ˆ xp ， ˆ a   FiQ ˆ ˆ  ， 1 2 ˆ a  1 2  FiQ ˆ ˆ  证明：（1） ˆ， QF ，其中 x 和 pˆ 分别表示在一维空间中运动的粒子的位置和动量算符。  ˆ ；（2） ˆ a，  1 ˆ a ；（3） ˆ a i ˆ ˆ ， aa  a ˆ  五、计算题（共 45 分） 20 (15 分). 设一维粒子由 x 处以平面波   x  in ikx e 入射，在原点处受到势能    xVxV 0 的作用。（1）写出入射区和透射区定态波函数的一般表达式；（2）确定粒子定态波函数在原点处应满足的边界条件；（3）求该粒子的透射系数和反射系数；（4）分别指出 0 V 0 和 0 V 0 时的量子力学效应。 21（15 分）设 a为实数且远小于 1，利用微扰理论求哈密顿量 H     a E 1 Ea 2    的本征值（精确到二级近似）。 22 (15 分). 在 zSˆ 的对角表象（用泡利矩阵的形式表示）中，求出自旋算符 xSˆ ， ySˆ ， zSˆ 的本征矢量和本征值。

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