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2007年江苏高考数学真题及答案.doc
2007 年江苏高考数学真题及答案
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共 4 页，包含选择题（第 1 题～第 10 题，共 10 题）、填空题（第 11 题～第
16 题，共 6 题）、解答题（第 17 题～第 21 题，共 5 题）三部分。本次考试时间为 120
分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在
试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其
它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：
n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为： ( )
P k
n
k
C p
k
n
(1
n k
)
p
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有．．
一项．．是符合题目要求的。
2
1．下列函数中，周期为
的是（D）
A． sin
y
x
2
B． sin 2
y
x
C． cos
y
x
4
D． cos 4
y
x
为（A）
2．已知全集U Z ，
A
{ 1,0,1,2},
B
{ |
x x
2
，则
}
x
A C B
U
A．{ 1,2}
B．{ 1,0}
C．{0,1}
D．{1,2}
3．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为
x
2
y
，则它的离心率为（A）
0
A． 5
B．
5
2
C． 3
D． 2
4．已知两条直线 ,m n ，两个平面 ,，给出下面四个命题：（C）
① //
,m n m
n
② //
m
n
,
,
m n
//
③ //
m n m
,
//
n
//
④ //
,
,m n m
//
n
,0]
6
f x
其中正确命题的序号是
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
5．函数 ( )
f x
A．
[
,
x
sin
5
]
6
3 cos (
,0])
[
x x
5[
]
6
6
,
B．
的单调递增区间是（B）
C．[
3
,0]
D．[
6．设函数 ( )
f x 定义在实数集上，它的图像关于直线 1x 对称，且当 1x 时， ( ) 3
1x
，
f
f
f
f
f
f
(
)
(
)
(
)
(
B．
C．
A．
3
2
1
( )
3
则有（B）
1
( )
3
2
3
2
3
3
2
7．若对于任意实数 x ，有 3
x
a
B． 6
是奇函数，则使 ( ) 0
2
3
3
2
(
a x
2
A．3
( )
f x
(
a x
1
8．设
lg(
D．
2)
a
)
f
(
f
(
)
)
)
0
f
f
(
(
3
2
2
3
2)
C．9
2
1
x
D．12
f x 的 x 的取值范围是（A）
)
)
2
f
1
( )
3
1
( )
3
(
a x
3
f
，则 2a 的值为（B）
3
2)
A．( 1,0)
B．(0,1)
C．(
,0)
D．(
,0)
(1,
)
9．已知二次函数
( )
f x
2
ax
bx
的导数为 '( )
x ， '(0) 0
，对于任意实数 x 都有
c
f
f
( ) 0
f x ，则
f
f
(1)
'(0)
的最小值为（C）
A．3
B．
5
2
C． 2
10．在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域 {( ,
x y
A
) |
x
D．
3
2
且 0,
1,
y
x
y
，则平面
0}
区域 {(
B
x
,
y x
y
) | ( ,
x y
)
的面积为（A）
}
A
A． 2
B．1
C．
1
2
D．
1
4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直
接填空在答题卡相应位置上
．．．．．．．．。
11．若
cos(
)
,cos(
)
，.则 tan tan
1/2
.
1
5
3
5
12．某校开设 9 门课程供学生选修，其中 ,
校规定每位同学选修 4 门，共有
x
,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学
种不同选修方案。（用数值作答）
上的最大值与最小值分别为 ,M m ，则
在区间 [ 3,3]
12
75
8
x
3
高为 2，侧棱与底面所成角为 45 ，则点 A 到侧面 PBC 的距离是
13．已知函数
M m
.
14．正三棱锥 P ABC
( )
f x
32
6 5
5
.
15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC
2
2
x
y
25 16
16．某时钟的秒针端点 A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间 0
时，点 A 与钟面上标12 的点 B 重合，将 ,A B 两点的距离 (
t s 的函数，则 d
d cm 表示成 ( )
，顶点 B 在椭圆
顶点 ( 4,0)
A
和 (4,0)
C
上，则
A
sin
sin
B
sin
t
5/4
1
C
.
)
10 sin 3t
，其中 [0,60]
t
。
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后
面第 2 位）
（1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分）
（2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分）
（3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3 次预报准确的概率；（4 分）
解：（1）
p C
2
5
4
5
2
1
3
4
5
10
1
16
25 125
0.05
（2）
P
1
C
1
5
4
5
1
4
4
5
1 0.0064
0.99
（3）
P C
1
4
4
5
1
3
4
5
4
5
0.02
18．（本小题满分 12 分）如图，已知
ABCD A B C D
1
1 1
1
是
棱长为 3 的正方体，点 E 在 1AA 上，点 F 在 1CC 上，且
AE FC
1 1
，
（1）求证：
,
E B F D 四点共面；（4 分）
,
,
1
（2）若点G 在 BC 上，
BG ，点 M 在 1BB 上，
2
3
GM BF
，垂足为 H ，求证： EM 面
BCC B ；（4 分）
1 1
1D
D
1A
E
A
1B
M
B
H
G
1C
F
C
（3）用表示截面
EBFD 和面
1
BCC B 所成锐二面角大小，求 tan。（4 分）
1 1
解：（1）证明：在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN，EN，显然四边形 CFD 1 N 是平行四边
形，所以 D 1 F//CN，同理四边形 DNEA 是平行四边形，所以 EN//AD，且 EN=AD，又
BC//AD，且 AD=BC，所以 EN//BC，EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以
CN//BE，所以 D 1 F//BE，所以
,
E B F D 四点共面。
,
,
1
（2）因为 GM BF
所以 BCF
∽ MBG，所以
MB
BC
BG
CF
，即
2
3
2
MB ，所以 MB=1，
3
因为 AE=1，所以四边形 ABME 是矩形，所以 EM⊥BB 1 又平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1
，且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内，所以 EM 面
BCC B
1 1
（3） EM 面
BCC B ，所以 EM BF， EM MH， GM BF
1 1
，所以∠MHE 就是截面
EBFD 和面
1
BCC B 所成锐二面角的平面角，∠EMH=90 ，所以 tan
1 1
ME
MH
BCF
∽ MHB ， 所 以 3 ： MH=BF ： 1 ， BF=
2
2
2
3
13
， 所 以 MH=
，ME=AB=3，
3
13
， 所 以
tan
ME
MH
= 13
19、（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
C c 任作一直线，与抛物线
过 y 轴正方向上一点 (0, )
x
相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB
和直线 :l y
c 交于 ,P Q ，
y
2
（1）若
OA OB
2
，求 c 的值；（5 分）
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线的切
A
y
P
C
O
Q
B
x
l
kx
线；（5 分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分）
c
解：（1）设过 C 点的直线为 y
x
kx
，所以
=
A
,x y ，
,
x y B x y ，OA
OB
x y
1
1
2
2
2
x x
c
c
kx
kx
，
1 2
1
2
，即 2
2
0,
2
c 所以
c
所以
y
x
x
（ 2 ） 设 过 Q 的 切 线 为
1
1
，即
kc k
,
,
1
y y
1
c
x x
1 2
2
c
,
2
2
2
2
k c
1
k
1
y
2
2
，设
0
c
，所以
x
2
kx
，即 2
0
x
c c
2
OA OB
，因为
2
x x
kc x
k x x
1 2
1 2
1
1
2
c
c
舍去
， /
2
k
x
y
， 所 以 1
c
2
x
1
x
1
2
2
c
2
， 即
， 又
12
x
c
,
y
2
x x
1
2
2
x
1
y
1
2
x x
1
2
x
1
， 它 与 y
c 的 交 点 为 M
x
1
P
所以 M
2
x
2
y
1
,
y
2
2
x
1
2
x
2 ,
2
c
2
k k
,
2 2
k
2
c
,
c
，所以 Q
k
2
,
c
，因为 1 2x x
c ,所以
c
x
1
，
x
2
,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q
x
因为 1
x
2
2
，所以 P 为 AB 的中点。
k
2
k
2
,
c
，因为 PQ x 轴，所以
kP
2
,
y
P
20 ．（ 本 小 题 满 分 16 分 ） 已 知 { }na 是 等 差 数 列 ， { }nb 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ，
a
1
,
b a
1
2
b
2
，记 nS 为数列{ }nb 的前 n 项和，
a
1
（1）若
b
k
,
a m k
m
(
是大于 2 的正整数 ) ，求证： 1
kS
(
m
1)
；（4 分）
a
1
b
（2）若 3
(i
a i
是某一正整数 ) ，求证： q 是整数，且数列{ }nb 中每一项都是数列{ }na 中
的项；（8 分）
（3）是否存在这样的正数 q ，使等比数列{ }nb 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 q 的
2
m
1
1
1
（ 1
0,
d
q
1
，
，
1
d
a
q
1
值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分）
解：设{ }na 的公差为 d ，由 1
,
a
a
b
b a
，知
1
2
1
1
ka q
11
a
m
a q
b
（1）因为 k
1
1
kq
2
1
m
m m
q
，
a
1
1
m
a m
1
1
q
1
b
a q
，由 3
1
1
2
q
i
a ，所以
1
1
q
1
k
1
q
1
q
,
a
a q a
1
1
i ，但 1
1
1
q ，
q
i ，因为 i 是正整数，所以 2i 是整数，即 q 是整数，设数列{ }nb 中任意一项
a ，
i
解得， 1q 或
0,
b
（2）
3
2
q
q
i
1 ,
q
a ）
1
a
1
2
m
所以
所以
所以
1
2
i
0
2
q
S
q
1
i
2
k
i
，设数列{ }na 中的某一项 ma
n
1
a q
1
n N
为
nb
现在只要证明存在正整数 m ，使得 n
b
有正整数解即可，
1
m
1
q
1
n
2
2
2
2
n
q
，只要考虑 3
b
2
，若 1i ，则
,
b a
1
m
q q
a
时，因为 1
整数，所以 m 是正整数，因此数列{ }nb 中任意一项为
nb
（3）设数列{ }nb 中有三项
b b b m n
m
n N
q q
a q
1
2
1
,
2
n
与数列{ }na 的第
设
1
,
n
p
p
,
a q
1
n m x p n
2
q
1 0,
q
2
q
q
n
1
2
a q
1
a q
1
m
1
x
1,
y
所 以
2
，则 3
q
5 1
2
q
舍去负值 ， 即 存 在
q
使 得 { }nb 中 有 三 项
m
a ，即在方程
n
q
m N
=
1
na q
1
1
1
1
q
b
q ，那么 2
1
n 的情况，因为 3
b
1
1 ,
m
1
q
n
a
1
a
1
m
m
11
a q
11
a q
1
1
中 m
q q
1
2
n
，所以
q
2
a b
1, 2
，当 3
b
b
1
2
a ，所以 3
i ，因此 q 是正
i
a
2
n
i
2
项相等，从而结论成立。
,
成等差数列，则有
n
q
,
p m n p N
,
,
y x y N
，因为 1
1
,
， 所 以 2
1
x
q
q ，所以 2
q ，
q
， 令
1 0
q
y
,
1
0
5 1
2
,
b b
m
m
1
,
b
m
3
m N
成等差数列。
21．（本小题满分 16 分）已知 ,
a b c d 是不全为 0 的实数，函数
,
,
( )
f x
2
bx
cx d
，
( )
g x
3
ax
2
bx
cx
， 方 程 ( ) 0
f x 有 实 根 ， 且 ( ) 0
f x 的 实 数 根 都 是
d
(
g f x 的根，反之， (
( )) 0
g f x 的实数根都是 ( ) 0
f x 的根，
( )) 0
f x ， 则 0x 是 (
0
g f x 的 根 ， 则
( )) 0
2
2
2
,
0
bx
a ，求 c 的取值范围；（6 分）
a
（1）求 d 的值；（3 分）
（2）若 0
（3）若 1,
(1) 0
f
，求 c 的取值范围。（7 分）
解 （ 1 ） 设 0x 是
0
f x 的 根 ， 那 么
0
即 0
0,
g f x
g
a ，所以
（2）因为 0
f x
=
2
cx b x
bcx
b ，则 0
（a）若 0
（b）若 0
b ，当 0
0
0
d 。
，所以
cx
bx
cx g x
，则
=0 的根也是
c
c
x bx
f x
( )) 0
f x 的根为 0，而 (
f x 的根为 0，而 (
( )) 0
c ，此时
c 时，
c
，而
bf x
f x 的根为 0 和
b
2
bc
无实数根，所以
所以当 0
b 时， 0
（3） 1,
f
a
所以
2
cx
24
b c
b 时， 0
c ；当 0
b c ，即
，所以
2
(1) 0
cx
4
c
c 。
0
f x 的根为 0 和 1，
所以 2
c
bx
4
0
0
0,0
cx
cx
0,
0
4
c
2
2
f x bf x
c
( ))
(
g f x
0
的根。
g f x 的根也是 0，所以 0
g f x 的根也是 0，当 0
c ，
c 时，
c 的根不可能为 0 和
0
c
，所以
bf x
b
c 必
0
，从而 0
c
c
4
（a）当 0
c 时，t =
2cx
cx
=
h t 恒成立，又
h t
0
2
t
ct
c
0
c
=0 必无实数根，
c x
c
4
21
2
t
c
4
c
2
，即函数
h t
2
t
ct
在
c
t ，
c
4
2
c
2
c
4
，所以 min
h t
h
c
4
0
，
所以
0
c ；
即
2
c
16
c
0,
2
c
4
c 时，t =
（b）当 0
2cx
cx
=
16
3
c x
h t 恒成立，又
h t
0
2
t
ct
c
c
4
2
21
2
t
c
4
c
2
，即函数
h t
2
t
ct
在
c
t ，
c
4
c
2
c
4
，所以 min
h t
h
c
2
0
，
c
2
c
4
0 ，而 0
c ，所以
b 这时
0 ，所以 c 不可能小于 0，
g f x
f x 的根为一切实数，而
c
2
c
4
0
c 则 0,
（c） 0,
要求。
所以
0
c
16
3
0
，所以 0,
c 符合
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