FFT 变换以后时域点和频域点的对应关系 首先，横坐标是频率，纵坐标是幅值。 但要注意几点： 1、幅频特性是周期性的偶函数，FFT 之后你会发现图形是对称的。比如有 3 个点，FFT 之 后第 1 个点与第 3 个点对应的值是一样的。所以 FFT 变换得的数据一般要去掉后一半。 2、横坐标的频率的最大值是采样频率，那么每个点对应的频率值就很好算了：f(k) = [fs/(N/2)]*k (fs 是采样频率，N 是采样点数，k 表是第 k 个点）。 3、本来傅立叶变换后幅值是减半的，但 FFT 是离散变换，由于算法的原因，幅值不再是减 半了，具体什么关系我也记不清了。 4、频率为 0 的点对应的幅值就是信号中直流分量的幅值。 FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换 到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如 果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号 分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱 提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去 做，但是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用 多少点来做 FFT。 现在圈圈就根据实际经验来说说 FFT 结果的具体物理意义。 一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样 定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就 不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点， 经过 FFT 之后，就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整数次方。 假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。那么 FFT 之后结果就是一个为 N 点的复数。每一个点就对应着一个频率 点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始 信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A 的 N/2 倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量 的 N 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。 第一个点表示直流分量（即 0Hz），而最后一个点 N 的再下一个 点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第 N+1 个点，也 可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率 Fs，这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率 依次增加。例如某点 n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。 由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到的频率为 Fs/N，如果 采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024 点，则可以分辨到 1Hz。 

1024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就是说，采样 1 秒 时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 1Hz，如果采样 2 秒时 间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率 分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和 采样时间是倒数关系。 假设 FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是 An=根号 a*a+b*b，相位就是 Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果， 就可以计算出 n 点（n≠1，且 n<=N/2）对应的信号的表达式为： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。 对于 n=1 点的信号，是直流分量，幅度即为 A1/N。 由于 FFT 结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果， 即小于采样频率一半的结果。 好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的 信号来做说明。 假设我们有一个信号，它含有 2V 的直流分量，频率为 50Hz、 相位为-30 度、幅度为 3V 的交流信号，以及一个频率为 75Hz、 相位为 90 度、幅度为 1.5V 的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180) 式中 cos 参数为弧度，所以-30 度和 90 度要分别换算成弧度。 我们以 256Hz 的采样率对这个信号进行采样，总共采样 256 点。 按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个 点之间的间距就是 1Hz，第 n 个点的频率就是 n-1。我们的信号 有 3 个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第 1 个点、第 51 个点、 第 76 个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何呢？ 我们来看看 FFT 的结果的模值如图所示。 A/D 变换器输入端的反混叠技术 摘 要：论述了混叠现象的产生及其影响，进而提出了反混叠技术的两个要点：采样率选择和使用低通滤 波器，接着提出了设计低通滤波器的工程方法，最后结合全设计实例说明了低通滤波器的设计过程。 关键词：混迭 采样速率 低通滤波器 A/D 变换器 我们知道，A/D 变换器是模拟世界和数字世界之间的桥梁。这就是说，传感器从物理 世界拾取信号，并输出模拟信号至 A/D 变换器，最后由 A/D 变换器把模拟信号变换为数字信 号，并输出数字信号给计算机。 不幸的是，在 A/D 变换器所接收到的模拟信号中除了人们所希望的有效信号之外， 往往还混有人们不希望的干扰信号。因此，不可能保证采样频率总是满足采样定理的要求， 从而使得 A/D 变换器输出的数字量具有较大的误差，这是不能够允许的。 

1 混叠现象的产生 我们知道，要用计算机对现实世界中的物理信息进行处理，通常是把代表物理信息 的模拟信号(时间连续且幅度连续的信号)加到 A/D 变换器的输入端，而后每隔一定的时间间 隔 Ts 对模拟信号采样一次，随后再经过量化把采样结果变换为数字信号。上述过程可以理 解为具有一定频谱的模拟信号和以 fs(1/Ts)为速率的采样信号(周期为 Ts，宽为ΔT，高为 一个单位的脉冲量)被加在同一个系统上。根据电子技术的有关理论，系统中会产生这两 种不同频谱所包含的各频率分量的频率之和信号和频率之差信号。现假设上述 模拟信号频谱的上限为 Fco，一般情况下，所有的和频信号和(2fs-fco)以上的差 频信号为频率较高的信号，因而可以在重建输入的模拟信号时由低通滤波器消 除掉，故不会对系统构成影响。唯有(fs-fco)是对系统构成影响的差频信号。 当 fs-fco＞fco 时，即 fs＞2fco 时，此时 fs-fco 的结果也属于高频信号，可 以被信号重建时的低通滤波器消除，故不会对系统构成影响。 当 fs-fco＜fco 时，即 fs＜2fco 时，差频信号 fs-fco 进入了由 fco 所确定的有效信 号的频带范围之内，因而无法与有效信号分开，此种现象称之为混叠。图 1 是 说明混叠现象的一个实例。 注：采样后重建所要求或者说所需的范围是（-fco,fco）,即不能让和频信 号和差频信号在此范围内，以免造成混叠 2 返混叠技术 混叠会降低系统的动态性能，从而降低系统的信号噪声比 SNR。因此，必须在设计 A/D 变换器时采用反混叠技术消除混叠现象。在工程上，经常使用的反混叠技术，有过采样 技术和低通滤波技术。所谓过采样技术指的是所采用的奈奎斯特频率高于有效信号 频谱上限的情况。过采样技术的一个典型应用实例是美国模拟器件公司推出的 AD7750 型 专用集成电路。该电路是一个集 A/D 变换器和 DSP(数字信号处理器)于一体的全功能数据采 集系统，专用于构成单片式电能表，其采样速率为 900kHz，奈奎斯特频率为 450kHz，与 2kHz 的有效信号频谱上限相比，过采样率达到了 225 倍。采用过采样技术的好处是可以较好地 消除混叠，同时也降低了对 A/D 低通滤波器的要求。但是，过采样率也不可过高，因为这取 决于 A/D 变换器的采样率是否允许。同时，过高的采样率会造成的数据量过大，加重 CPU 的负担。工程上，通常是在采样率、低通滤波器和 CPU 速度诸因素之间求取一个折中的方案。 在 A/D 变换器输入端使用低通滤波器是反混叠的基本技术，但往往和过采样技术结 合使用。低通滤波器的作用在于一方面把有效信号频谱以外的信号衰减掉，从而保证采样定 理能够正确实现；另一方面也可以把施加在有效信号上的高频干扰信号抑制掉，从而保证系 统的精确度。 3 低通滤波器实现 根据低通滤波器在电路中所起的作用，其所处的位置如图 2 所示。图 2 低通滤波器 在电路结构中的位置对滤波器的设计实现来说，首先是按应用要求选定合适的参数，然后以 这些参数依据进行具体的电路设计。 

3.1 低通滤波器的参数选择 首先是选择截止频率 fco，fco，的选择与低通滤波器输入端的模拟信号的频率有关。 也就是说，模拟信号频谱的上限决定着 fco 的选择。工况上通常选择 fco 大于模拟信号频谱的 上限即可满足要求。其次是选择 A/D 变换器的采样速率 fs，fs 的选择应该是在满足采样定理 要求的基础上，从商品 A/D 变换器中选取合乎要求的品种。原则上说，fs 取得越高，系统的 反混叠性能越好，但这要受到价格及 A/D 可用品种的制约。因此，工程上总是取一个折中方 案。接着是根据系统所允许的误差确定 fs 所对应的衰减数(即负的 dB 数)。最后是选择低通 滤波器的阶数。低通滤波器阶数的选择就是使其阶数与-6dB/每阶每倍频程的乘积在 fs 处大 于等于 fs 所对应的衰减数。 3.2 低通滤波器的电路设计 如果选用一阶低通滤波器，可以用简单的 RC 网络组成无源滤波器，或者用运算放大器加 RC 网络组 成有源滤波器。如果选用二阶低通滤波器，可以使用运算放大器加 RC 网络组成有源滤波器。 如果选用高阶低通滤波器，可以选用集成电路化的低通滤波器商品。美国的 MAXIM、NS、TI 等公司 均有这种产品供应。 设计实例：设计出适合于测量 50Hz 电力系统运行参数的低通滤波器。根据工程经验，选 fco=2kHz 即可满足要求。对一阶低通滤波器以-6dB/倍频程，对二阶低通滤波器以-12dB/倍频程为衰减量计算出如下 数据，见表 1。 工程上一般认为在 f s 处有-40dB 的衰减量即可满足系统精度要求，据此，由以上计算数据可知 选择二阶低通滤波器较为合适。因此时 fs 约为 20KHz，比一阶的 130KHz 要低得多。二阶有源低通滤波器的 电路结构如图 3 所示。 根据经验，R1 和 R2 可以 10kΩ和 100kΩ之间选取，今取 R1＝R2＝51kΩ，R3＝2R2＝100kΩ。