矩阵论期末论文.docx-资料库

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第1页.png

第1页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第2页.png

第2页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第3页.png

第3页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第4页.png

第4页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第5页.png

第5页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第6页.png

第6页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第7页.png

第7页 / 共12页

3a036845-f123-4d58-8563-02ff1e04d398.docx.pdf-第8页.png

第8页 / 共12页

71 南京邮电大学矩阵论《矩阵论》课程论文题目：矩阵分析的应用与学习心得学专学姓院业号名指导老师手机号码

南京邮电大学矩阵论矩阵分析的应用摘要：矩阵分析作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容; 作为一种基本工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用，在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的．计算机的广泛使用和 MATLAB，MAPLE 等数学计算软件的迅猛普及为矩阵理论提供了更为广阔的发展和应用前景。本文主要通过简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。关键词：矩阵方程求解相容方程不相容方程最小二乘解满秩分解

南京邮电大学矩阵论引言用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普遍，变得也尤为的重要。在工程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻,同时随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，本文主要讲解了矩阵分析在物理上的应用。

南京邮电大学矩阵论目录矩阵分析的应用................................................................................................................................ 2 引言 .................................................................................................................................................... 3 一、相容方程和不相容方程的概念................................................................................................5 二、矩阵在相容方程求解中的应用................................................................................................5 三、矩阵在不相容方程组求解中的应用........................................................................................7 四、总结与感悟.............................................................................................................................. 10 致谢 .................................................................................................................................................11 参考文献 .......................................................................................................................................... 12

南京邮电大学矩阵论一、相容方程和不相容方程的概念对于线性方程组，若线性方程组 AX=B 有解，则称 AX=B 为相容方程组，也可以称为线性方程组 AX=B 相容。若其无解则称为不相容。二、矩阵在相容方程求解中的应用对于 n 元线性方程组来说，若已知 n 元线性方程组可以如下表示： a x  11 1  a x  21 1  ......   a x  1 1 n   a x 12 2 a x 22 2 ...   ...   a x 1 n n a x 2 n n b  1 b  2  a x 2 2 n ...   a x nn n  b n 其矩阵的表达形式如下： a 11 a 21  a 1 n       矩阵 A 可记为 a 12 a 22  a n 2    n n a 1 a 2  a nn             x 1 x 2 x n        b 1 b 2 b n             A        a 11 a 21  a 1 n a 12 a 22  a n 2    n n a 1 a 2  a nn       如果矩阵 A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量，请看下面例 1 的分析。例 1：设桥式电路中闭合回路的电流分别为 I 1 I 、、 I 2 3 ，如图 1 所示：

南京邮电大学矩阵论 R 1  ,2 R 2  ,1 R 3  ,1 R 4 已知流 ABI . 图 1：电路分析图 14 ,2   ,1 E R  5 ，计算流过中央支路 AB 的电解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：      即 IR 11 IR 23   ( IR 2 ( IR 5 1 ( IR 4 2 I  3 1 I  2 I  )  )  )  3 ( IR 4 ( IR 2 1 ( IR 5 2 I  3 2   ) 0 0   I 3 I  ) ) 1 E        I 1 4 I I 1 I  1 2 4 I  2 I  2 2    I 3 2 I 3 I 3  3 0 0  14  同样计算如下几个行列式  21 D 1 0 0 14 1  4 2  1  2  3  84  126 D 3 4 1  1  1  4 2  0 0 14  210 4 1  1  4 1  1  1  4 2  0 0 14 1  2  3 1  2  3 A D 2 所以 I 1  D 1 A  ,4 I 2  D 2 A  ,6 I 3  D 3 A  10

南京邮电大学矩阵论从而，流过中央支路 AB 的电流为 I AB  I 1  I 2 2  . 即电流是从 B 流向 A 的. 三、矩阵在不相容方程组求解中的应用但是在实际问题中，会出现 A 不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。若线性方程组 Ax b ，对于任意 m 维向量 ( ) b R A ，有使解 x A b 成立的 A 存在时，便称 A 为 A 矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足 AA A A   。设 A C m n  , b C  n , n 维向量 0x 满足对于任何一个 n 维向量 x，都有 0Ax  b 2  Ax b  2 便称 0x 是方程组 Ax b 的一个最小二乘解。 x A b 是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵 A 还需满足 Penrose-Moore 方程（1）、（3）。即满足  AA H   AA 、  A A H  A A 。有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端 b 向量的误差最小。通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。 u  min  0 x ，则 u 为最佳最小二乘解[5]。在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵 A 的伪逆矩阵 A 。伪逆矩阵是唯

南京邮电大学矩阵论一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足 Penrose-Moore 4 个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。伪逆矩阵 A 的求法一般通过矩阵 A 的满秩分解 A=BC，得到矩阵 B、C，然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过 A = 逆矩阵[4]。通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法，例 2：求矩阵 H C CC  H 1    H B B 1   H B 得到伪 A  1 4 2 0 1 2  2 6       1 5  0 0 4 0  5 5  6   14   1  7   的满秩分解。解：对矩阵 A 只做初等行变换 A  4 1 0 2 1 2  2 6       1 5  0 0 4 0  5 5  6   14   1  7             1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 10 7 5 7 0 7  29 7 25 7 0          注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为 1，并且该元素 1 所在列的其他元素必为 0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵 A 的各列向量构成矩阵 B B  4 1 2 0 1 2  2 6       1    0   4   5  以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵 C C          1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 10 7 5 7   7  29   7  25  7  容易验证 A=BC

资料库

矩阵论期末论文.docx

相关推荐

考试认证

热门标签

最新资料