第1页 / 共13页
第2页 / 共13页
第3页 / 共13页
第4页 / 共13页
第5页 / 共13页
第6页 / 共13页
第7页 / 共13页
第8页 / 共13页
2001浙江考研数学二真题及答案.doc
2001 浙江考研数学二真题及答案
一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．）
（1）
lim
1
x
3
x
x
x
2
1
2
x
＝______．
【答案】
2
6
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一：
lim
1
x
3
2
x
x
1
x
2
x
lim
1
x
)
2(1
x
1)(
x
2)
(
x
1
x
3
1
x
1
2 x
lim
x
1
1
2
2 .
6
方法二：使用洛必达法则计算
lim
1
x
3
2
x
x
1
x
2
x
lim
1
x
1
32
1
12
x
12
x
x
1
22
3
1
22
2
6
.
（2）设函数
y
)(xf
由方程
e
2
yx
cos(
xy
)
e
1
所确定，则曲线
y
)(xf
在点 )1,0( 处
的法线方程为______．
【答案】
x
2
y
02
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线
【难易度】★★
【详解】解析：在等式 2
e
x y
cos(
xy
)
2
e
x y
(2
y
')
sin(
xy
) (
y
xy
') 0,
两边对 x求导,得
e
1
将
x
,0
y
1
代入上式,得 '(0)
y
故所求法线方程为
2.
y
11
2
x
,
即 x−2y+2=0.
（3）
π
2
π
2
【答案】
3
(
x
sin
2
x
)
cos
2
d
xx
＝_______．
8
【考点】定积分的换元法
【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.
在区间[
]
2 2
,
上, 3
x
2
cos
x 是奇函数,
sin
2
x
cos
2
x 是偶函数,
故
2
2
3
x
2
sin
x
2
cos
xdx
2
2
3
x
2
cos
x
2
sin
x
cos
2
x dx
2
2
1
4
2
sin 2
xdx
1
8
2
2
(1 cos 4 )
x dx
.
8
（4）过点
1(
2
)0,
且满足关系式
arcs
y
in
x
y
1
2
x
1
的曲线方程为______．
y
【答案】
arcsin
1
2
【考点】一阶线性微分方程
x
x
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
原方程
y
'arcsin
x
y
1
2
x
1
可改写为
y
arcsin
'
x
1,
两边直接积分,得 arcsin
y
x C
x
1 .
2
arcsin
x
x
1
2
.
又由
y
1(
2
) 0,
解得
C
故所求曲线方程为：
y
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
y
'
1
arcsin
x
y
1
arcsin
.
x
1
2
x
解得
1
arcsin
x
dx
2
1
x
y
e
C
1
arcsin
x
e
1
arcsin
x
dx
2
1
x
dx
C
1
arcsin
e
x
ln arcsin
x
dx
(
C x
),
ln arcsin
x
e
1
arcsin
x
又由
y
1(
2
) 0,
解得
C
故曲线方程为：
y
arcsin
x
1 .
2
x
.
1
2
1
1
11
a
1
1
a
11
a
x
1
x
2
x
3
（5）设方程
【答案】 2
2
有无穷多个解，则 a＝______．
【考点】非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
A
1 1
a
1
1
a
1 1
a
1
1
2
1
0
a
0 1
1
a
1 1
a
2
1
a
a
2
3
1 2
a
1
0
0
a
1
0
1
a
a
1
1
a
2
a
2
3
a
2
,
2
可见,只有当a =−2 时才有秩 (
)
r A
)
r A
(
对应方程组有无穷多个解.
2 3,
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式
为零,即有
1 1
a
1
1
a
1 1
a
(
a
2)(
a
1)
2
解得
0,
2a
或 1a
.
由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当 1a 时,原方程无解,因此只能是
2a
.
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设
)(
xf
|,1
|,0
x
x
,1|
,1|
则
f
[{
f
(
xf
)]}
等于（ ）
（A）0．
（B）1．
（D）
,0
,1
|
|
x
x
,1|
.1|
（C）
,1
,0
|
|
x
x
,1|
.1|
【答案】B
【考点】复合函数
【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析：由题易知
)(
xf
1
，所以
f
[
(
xf
)]
1
，
f
[{
f
(
xf
)]}
f
1)1(
，选 B.
（2）设当
0x
时，
1(
cos
x
)
1ln(
2x
)
是比
xsin 高阶的无穷小，而
nx
xsin 是比
nx
(
2 xe
)1
高阶的无穷小，则正整数 n 等于（ ）
（B）2．
（C）3．
（D）4．
（A）1．
【答案】B
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★
【详解】解析：由题易知:
2
x
)
0
1ln(
n
x
1
2
x
4
x
1
n
0
lim
0
x
)
x
sin
2
x
n
cos
x
2
x
xx
4
1
2
1(
lim
0
x
lim
0
x
1
n
3
n
2
n
sin
x
x
lim
x
1
e
0
x
的拐点个数为（ ）
xx
lim
2
x
0
x
（C）2．
2
1
n
1
n
n
（B）1．
0
lim
0
x
1
n
x
x
0
2
（D）3．
（3）曲线
y
(
x
2
()1
x
2
)3
（A）0．
【答案】C
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】解析：
2
2
y
y
y
(2
x
(2
x
(2
x
(4
x
)3
)(1
(2
)(3
)1
x
x
x
2
)(1
)3
(4
(4)3
)(3
x
x
x
2
)3
(8
)(1
(2)3
)1
x
x
x
(8)3
(4)1
(8)3
)1
x
x
x
x
2
(2)1
x
)1
2
(24
x
)2
由
0y
得， 1x 或 3x ，带入
0y
，故 )(xf 有两个拐点.
（4）已知函数 )(xf 在区间
1(
)
1,
内具有二阶导数，
)(xf 严格单调减少，且
f
)1(
f
1)1(
，则（ ）
（A）在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
)(
xf
x
．
（B）在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
)(
xf
x
．
（C）在
1(
)1,
内，
)(
xf
x
，在
1,1( 内，
)
)(
xf
x
．
（D）在
1(
)1,
内， ( )
f x
x ，在
1,1( 内， ( )
f x
)
x ．
【答案】A
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：令
)(
xF
)(
xf
x
，则
)(
xF
xf
1)(
，
因为在区间
1(
)
1,
上，
)(xf 严格单调减少，
所以当
1( x
)1,
时，
)(
xF
f
01)1(
， )(xF 单调递增，
)(
xF
F
)1(
f
01)1(
；
当
x
1,1(
)
时，
)(
xF
f
01)1(
，
)(xF 单调递减，
)(
xF
F
)1(
f
01)1(
；
故在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
xF
0)(
，即
)(
xf
x
.
（5）设函数 ( )
f x 在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数
y
)(xf
的图形为
（ ）
【答案】D
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：由图可知 )(xf 有两个极值点，横坐标分别记作
(
xxx
1
1
,
2
，故
x
)
2
)(xf 在
且仅在这两处的值为 0 ，故选 D。其中，当 0x 时， )(xf 先增后减再增，故
)(xf 先正再
负再正，进一步排除 B.
三、（本题满分 6 分）
求
2
2(
x
d
x
)1
2
x
1
【考点】不定积分的第二类换元法
【难易度】★★★
则
dx
2
sec
udu
,
u
cos
2
u
2sin
udu
cos
2
u
【详解】解析：设 tan ,
u
x
原式
1)cos
2
du
u
u
(2 tan
sin
d
2
sin
u
arctan(sin )u C
1
arctan(
x
1
2
x
)
C
四、（本题满分 7 分）
求极限
lim
x
t
sin(
sin
t
x
x
sin
x
sin)
t
，记此极限为 )(xf ，求函数 )(xf 的间断点并指出其类型．
【考点】两个重要极限、函数间断点的类型
【难易度】★★★
【详解】解析：
)(xf
lim
x
t
sin(
sin
t
x
x
sin
x
sin
t
)
1(
lim
t
x
sin
sin
t
x
)1
sin
t
x
sin
sin
sin
t
sin
sin
x
x
x
x
sin
x
sin
t
x
sin
x
e
由此表达式知 x＝0 及 x＝k （k＝±1，±2，…）都是 f（x）的间断点．
由于
lim
0
x
)(
xf
lim
0
x
e
x
sin
x
e
，所以 x＝0 是 f（x）的可去（或第一类）间断点；而
x＝k （k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．
五、（本题满分 7 分）
设
)(x
是抛物线
y
x
上任一点
xyxM
,(
)(
)1
处的曲率半径，
s
)(xs
是该抛物线
上介于点
)1,1(A 与 M 之间的弧长，计算
2
d3
d
d(
)
2
d
s
s
2
的值．（在直角坐标系下曲率公式
为
K
|
y
|
1(
2
y
)
)
3
2
【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
【详解】解析：
y
'
1
2
x
,
"
y
1
x
3
,
4
抛物线在点 ( ,
M x y 处的曲率半径
)
( )
x
(1
1
K
3
2 2
' )
y
"
y
1
2
(4
x
3
1) .
2
抛物线上 AM 的弧长
s
( )
s x
x
1
1
2
'
y dx
x
1
1
1
4
x
.
dx
故
d
ds
3
2
4
d
dx
ds
dx
1 3 (4
2 2
x
1
1)
1
4
x
6
x
.
2
2
d
ds
d d
)
(
dx ds
6
2
x
1
ds
dx
1
1
1
4
x
6
1 4
x
.
因此
3
2
d
ds
d
)
2
ds
(
2
3
1
2
1 4
x
3
2
6
1 4
x
36
x
9.
六、（本题满分 7 分）
设函数 )(xf 在
,0[ 上可导，
)
f
)0(
0
，且其反函数为 )(xg ．若
(
xf
)
0
d)(
tg
t
x
2
x
,e
求 )(xf ．
【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
(
tgxf
d)()
0
t
(
(
xfg
))
)(
xf
解析：等式两边对 x 求导得：
(
(
xfg
))
)(
xf
x
2
xe
x
2
ex
，
又因为 )(xg 是 )(xf 的反函数，故
(
(
xfg
))
x
，
所以有
)(
xf
x
2
e
x
xe
)(
xf
x
2(
e
x
xe
)
dx
x
[
e
x
(
e
x
xe
])
dx
x
e
x
xe
C
又因为 )(xf 在 0x 处连续，由
lim
0
x
1)(
xf
fC
)0(
0
得
1C
故
)(
xf
x
e
x
xe
1
.
七、（本题满分 7 分）
设函数 )(xf ， )(xg 满足
)(
xf
)(
(
xgxg
),
e2
x
)(
xf
，且
f
)0(
0
，
g
)0(
2
，求
)(
xg
(π
1
x
0
)(
xf
)
1(
x
2
.d)
x
【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法
【难易度】★★★★
【详解】解析：因为
)(
xf
)(
(
xgxg
),
e2
x
)(
xf
，所以
f
)(
x
e2
x
)(
xf
其对应的齐次微分方程为
f
)(
x
)(
xf
0
特征方程为
012
r
，
ir
所以齐次微分方程的通解为
)(
xf
C
1
cos
Cx
2
sin
x
设非齐次微分方程的特解为
f
)(*
x
xCe
，则
*
f
)(
x
x
Ce
,
f
*
)(
x
x
Ce
,
代入微分方程得
1C ，
所以非齐次微分方程的通解为
)(
Cxf
1
cos
Cx
2
sin
xex
，
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
