2020考研数学一真题及答案.doc-资料库

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2020考研数学一真题及答案一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x  0 时，下列无穷小阶数最高的是 A.  xet2 1dt B.  x ln1+ t 3dt sin xsint 2dt   sin3tdt 1cos x D. C. 0 0 0 0 1.答案：D 2.设函数 f (x) 在区间（-1，1）内有定义，且 lim f (x)  0, 则（ x0 ） A. 当 lim 0  x f (x)  0, f ( x)在x  0 处可导. | x | B.当 lim x0 f (x)  0, f ( x)在x  0 处可导. x2 C.当 f (x)在x  0处可导时,lim  x 0 D. 当 f (x)在x  0处可导时,lim x0 f (x)  0. | x | f (x)  0. x2

2.答案：B f (x)  0lim f (x)  0 lim f (x)  0, lim f (x)  0 x0 x x0 x 解析:lim x0 x2 x0 | x | lim f (x)  0, lim f ( x)  0 lim f (x)  f (0)  lim f (x)  0  f (0) x0 x0 x x0 x  0 x0 x  f (x) 在 x  0 处可导选 B A. lim ( x, y )(0,0) | n  ( x, y, f ( x, y)) |  0存在 B. lim ( x, y )(0,0) C. lim ( x, y )(0,0) D. lim ( x, y )(0,0) x2  y2 | n ( x, y, f ( x, y)) |  0存在 x2  y2 | d  ( x, y, f ( x, y)) |  0存在 x2  y2 | d ( x, y, f ( x, y)) |  0 x2  y2 3.答案：A 解析：  f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0 lim x0 y0 即 lim x0 y0 f (x, y)  f (0, 0)  f x(0, 0)  x  f y(0, 0)  y x2  y2  0 f (x, y)  f x(0, 0)  x  f y(0, 0)  y x2  y2  0  n   x, y, f (x, y)   f x(0, 0)x  f y(0, 0) y  f (x, y) nx, y, f (x, y) x2  y2

 lim ( x, y )(0,0)  0 存在 选 A. 4.设 R 为幂级数a r 的收敛半径，r 是实数，则（ n n  n1 ） A.  a r 发散时，| r | R n n B. a r 发散时，| r | R n n C.| r | R 时，  a r 发散 n n  n1  n1  n1  n1   n1 D.| r | R 时，  a r 发散 n n 4. 答案：A 解析： ∵R 为幂级数 a x 的收敛半径. n n  n1 ∴ a x 在 (R, R) 内必收敛. n n ∴ a r 发散时，| r | R . n n n1 ） ∴选 A. 5.若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（ A. 存在矩阵 P，使得 PA=B B. 存在矩阵 P，使得 BP=A C. 存在矩阵 P，使得 PB=A D. 方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解 5.答案：B 解析： A 经初等列变换化成 B. 存在可逆矩阵 P1 使得 AP1  B  A  BP1令P  P1 1 1

 A  BP.选B. 已知直线 L : x  a2  y b2  2 c2 与直线 L : x  a3  y b3  2 c3 相交于一点，法 6. 1 a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 向量 a  b  ,i  1,2,3. 则 ai   i ci  i A. a1 可由 a2,a3 线性表示 B. a2 可由 a1,a3 线性表示 C. a3 可由 a1,a2 线性表示 D. a1,a2,a3 线性无关 6. 答案：C 解析：令 L 的方程 1 c1 x  a2 = y  b2  z  c2  t a1  a2   2  c   2   x  y   b  t b  = t    z    2 1 即有 b1 a1  1   c   1   a3   3  c   3  由 L 的方程得 2  x   y    b   t b  = t    z     a2  2   c   2  3 2 由直线 L1 与 L2 相交得存在 t 使2  t1 3  t2 4 ，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为即3  t1  (1 t)2 ，3 可由1,2 线性表示，故应选 C. 7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P(A)  P(B)  P(C)  1, P(AB)  0 P( AC)  P(BC)  1 12 3 4 2 3 1 2 A. B. C.

5 12 D. 7.答案：D 解析： P( ABC )  P( ABUC)  P( A)  P[ A(BUC)]  P( A)  P( AB  AC)  P( A)  P( AB)  P( AC)  P( ABC)  1  0  1  0  1 4 6 12 P(BAC )  P(BAUC)  P(B)  P[B( AUC)]  P(B)  P(BA)  P(BC)  P( ABC)  1  0  1  0  1 4 6 12 P(CBA)  P(CBUA)  P(C)  P[CU (BUA)]  P(C)  P(CB)  P(CA)  P( ABC)  1  1  1  0  1 4 12 12 12 P( ABC  ABC  ABC)  P( ABC )  P( ABC )  P( ABC)  1  1  1  5 12 6 6 12 选择 D 8.设 X1, X 2,…, X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P(X  0)  P(X  1)  1 ,(x) 表 2 示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P   Xi  55 的近似值为  100  i1   A.1 (1) B. (1) C.1 (2) D. (2) 8.答案：B 解析：由题意 EX  1 , DX  1 4 2

  100 E  Xi  X 100EX  50. D  Xi  100DX  25  i1  100  i1    由中心极限定理 Xi ~ N (50, 25) 100  i1  Xi  55  100 ∴ P  Xi  55  P i1  100  5  i1     55 50  5   (1)   故选择 B 二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上. 9.lim  1  x0  ex 1  ln(1 x)  1     1 9. 解析： 1  lim ln(1 x)  x0  ex 1   lim ln(1  x)  e x 1 x0(e 1) ln(1 x)  x ln(1 x)  e x 1  lim x0 x2 1  ex  lim 1 x 2x x0  1  10.设  x  t 2 1 y  ln(t  t 2 1) 10. 解析： d 2 y 2 |t 1 ，则 dx dy dx dy 1 t  t 2 1  1    t t 2 1   dt  dx dt   t t 2 1 1 t

d  dy   dt    dt dx dt   12 t t t 2 1   t 2 1 3 t d  dy   dt    dx   dy2 dx2 得 dy2 dx2 t 1   2 11. 若函数 f (x) 满足 f (x)  af (x)  f (x)  0(a  0), 且f (0)  m, f (0)  n ，则   f (x)dx  0 11. 解析：特征方程为 2  a1 0 特征根为 1,2 ，则 1 2  a,1 2  1 ，特征根 1  0,2  0  f (x)dx    [ f (x)  af (x)]dx  0  0  [ f (x)  af (x)] | 0  n  am 12. 设函数 f (x, y)   e dt ，则 xy xt 2 0 2 f xy  (1,1) 12. 解析： f  ex(xy)2  x  xex3y2 y 2  f      f   y  =ex3y  3x3y2ex3y2 xy x 2 f xy (1,1) =e+3e  4e. 13. 行列式 a 0 1 1 0 a 1 1 1 1 a 0  1 1 0 a

13. 解析： 0 a 1 1 a 0 1 1 1 1 a 0 1 1 0 a a 1 a2 0  0 a 1 1 0 0 a a2  2 1 a a  0 1 a 1 0 a 1 1 a 0 0 a 1 1   a 0 0 a 1 1 0 a 1 a a 1 a2 1 1 a   a 0 2 0 14. 设 X 服从区间 1 1  a 4  4a 2. a  ,  上的均匀分布， Y  sin X ，则Cov(X ,Y )   14. 解析：解 f (x)     0  1  2   x   2 其他 cov( X ,Y )  EXY  EXEY  E( X sin X )  EXE(sin X )    2 xsin x 2 1   1 1    dx  2 2 2 xdx 2 sin xdx   2 1   2x sin xdx  0 0 2   2 ( x)d cos x 0  2   x cos x 2   2cos xdx    2 0  sin x    2 2  0      0   0   三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证

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