2016年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2016 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一．选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内。） 1. 设 ( ) f x ， ( )g x 是数域 F 上的多项式，且( , f g  ，则下列命题正确的是（ ) 1 ）. (A) ( f , ) 1 fg  (C) ( ) 1 fg g  , (B) ( f  , g f ) 1  (D) ( f , f 2 g 2 ) 1  2. 设 ,A B 是 n 阶方阵，则必有（）. (A) ( A B  )  1   1 A  B  1 (B) AB BA (C) BA  T A B (D) A B   A  B 3. 设 A 是一个 m n 矩阵，Ax  是非齐次线性方程组 Ax 那么（）. b 所对应的齐次线性方程组， (A) 若 Ax b 有解，则 Ax  仅有零解； (B) 若 Ax  有非零解，则 Ax b 有解； (C) 若 Ax  仅有零解，则 Ax b 有唯一解； (D) 若 Ax b 有无穷多组解，则 Ax  有非零解. 4. 在标准欧式空间 4R 中，与矩阵 A  1 2  1 5 5  1 4 11       1 3  2 3 2 1  1 4       的每一个行向量都正交的向量的全体所构成的 4R 的子空间W 的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5. 若实二次型为（）. ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  2 x 2  2 2 x 3  2 x x 1 2  2 tx x 2 3 是正定的，则t 的取值范围 (A) 1 1t    (B) t   1 (C) 1t  (D) 0 1t  二．填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。）  是实系数多项式 1. 已知 2 一个复数根______________. 3i ( ) f x  3 x 2  6 x  15 x  的一个复数根，则 ( ) 14 f x 必有另 2. 设 A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 AA  ________________. 3. 线性方程组        x 1 2  2 x 2 x  2 3  (   1) x 3 x 3 x 3 x 3 1    2    3    (       3)( 1) 有唯一解，则 ___________________. 4．已知3 阶矩阵 A 的全部特征值为 1  ___________________.    3 2, 1,   2   ，则矩阵 22A 2   的行列式 A I 5. 已知实数域 R 上的三元二次型 1 则 1 ( q x x x 的典范形式为_________________. ) , , 2 3 3 ( q x x x 的矩阵 A 有特征值 1    3 2, 1,   ) , , 2 2   ， 3 三．（10 分）给定多项式 ( ) f x  5 x  4 x  3 6 x  14 x 2  2 x  ， 20 （1）求 ( ) f x 的有理根；（2）在有理数域Q 上将 ( ) f x 分解为不可约多项式的乘积.

D 四．（10 分）设分块矩阵     0A C B    ，其中 A ， B 为方阵，（1）求证 D A B  ; B  1 1 1 1 2  4 1 1 1 8  1 1 3  1 9 27              （2）若 A          0 0 0 3 1 0 0 2 3 1 0 0 2 3 1 0 0 2 3 1 0 0 0 2 3         求 D . 五．（15 分）给定线性方程组 x   2  x    2  2 x    2 x 1   x 1 x 1 x  3 x  3 x  3     1 1 （1）取何值时，方程组有唯一解、没有解、有无穷多组解？（2）在方程组有无穷多组解时，写出其结构式通解. 六．（15 分）给定三阶方阵 A ，已知 0A  ，且其伴随矩阵 A  1 2 1      1 1 1 1  0 2      （1）确定 A 的值；（2）求 A .

七．（16 分）设V 是数域 F 上所有 4 维列向量构成的向量空间，给定矩阵 A =       5 1 1 2 7 1 2 3 1 3 4 9 1 4 5 11       ，定义V 到V 的映射， (   )X AX ， X V 。（1）证明：是V 的一个线性变换；（2）求的核 ker( ) 的维数。八．（18 分）给定数域 F 上所有 3 维列向量构成的向量空间 3F ，对任意  ( , x y z , ) 3  ，定义 3F 的线性变换: F )  (  ( x   y z , 2 x   y , z y  z ) . （1）求出在基 1=(1, 0, 0)  ， 2=(0, 1, 0)  ， 3=(0, 0, 1)  下的矩阵；（2）求出的特征值和特征向量；（3）判定能否相似对角化九．（16 分）设 1 ,   是欧式空间 3R 的一个规范正交基， , 2 3     3    1 1 2     , 2 3  ， 3     3      1 2 1 3 2 . 子空间 W L    3  ( , , 1 2 ) （1）求W 的维数；（2）求W 的一个规范正交基；（3）求    3 2 + 1  在W 中的正投影。

十．（20 分）已知实二次型 ( f x 1 , x 2 , x 3 )  2 2 x 1 2  3 x 2 2  3 x 3  2 ax x 2 3 （ 0a  ）， f 的矩阵有一个特征值为1. （1）求 f 的矩阵的所有特征值，并确定 a 的值；（2）应用变量的正交变换将已知二次型化为标准形，并写出所用的正交变换； ( f x （3）指出 1 , x 2 , x  表示何种二次曲面。 3 ) 1

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